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专题1.4 解直角三角形实际应用-三大模型
模块1：学习目标
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模块2：知识储备
图1 图2 图3 图4 图5
如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值
如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值
如图5，45°-60°-75°三边比值。
上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并熟记一些特殊角度三角形的三边比值。
模块3：核心模型与典例
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．

【答案】
【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，∴，

在中，∵，，∴，
在中，∵，∴，
∴，∴，
∴A，C两港之间的距离为，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
例2、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）（参考数据：，，）

【答案】
【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长
【详解】过作于点，

，米，米，，米，
在中，，，
米，
米，
答：教学楼的高度约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．
例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．∴．
∵，∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
例4．（2023年四川省达州市中考数学真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度为．
【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，∴，，
∵秋千链子的长度为，∴，∵，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；
如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；
如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；
如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1.（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【答案】文峰塔的高度约为38米
【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．
【详解】解：延长交于点G．

由题意得：米，米，．
设米．在中，，
∴（米）．∴米．
在中，，∴，解得．
经检验：是原方程的根．∴（米）．
答：文峰塔的高度约为38米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．
例2.（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米．（参考数据：）

(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米）
(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米）
【答案】(1)A、B两栋楼的楼间距约为米；
(2)对面B栋楼的高度约为米．
【分析】（1）过点P作，交的延长线于点E，根据题意得，，根据三角形的外角性质得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点P作，交的延长线于点E，

由题意得：，，
∵是的一个外角，∴，
∴，∴米，
在中，（米），
∴米，∴A、B两栋楼的楼间距约为米；
（2）解：如图：由题意得：米，米，，
在中，，∴（米），
∴（米），∴对面B栋楼的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）

【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，

依题意得：，，，
又和均为等腰直角三角形，，，
，，，
，，，四边形为矩形，
，，，，
为等腰直角三角形，，
设，则，，
，在中，，
即：，，解得：，
检验：是原方程的根．，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
例4．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

【答案】垂直高度约为米
【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，，可以求出长度，即可求出．
【详解】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，，

在中，，，
则（米），米，
在中，，米，则米，
米．答：垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算．
模型3、拥抱模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023 包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）
【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，
tan∠ADB＝tan53°＝≈，tan∠CBD＝tan30°＝，
解得DF＝4.5，BF＝6，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝≈，解得AB＝6+8≈19.8，
∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．
例2．（2022 巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．
例3．（2022 泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，
∵∠ACD＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AC＝AD＝20m，
∵BC＝AC﹣4，∴BC＝20﹣4＝16（m），
在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，∴BE＝BC tan37°≈16×0.75＝12（m），
答：办公楼的高度EB为12m．
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；
②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，，∴．即的长为．
（2）解：①在中，，∴．
在中，由，，，
则.∴．即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，∴四边形是矩形．
∴，．可得．
在中，，，∴．即．
∴．答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东泰安·模拟预测）为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解求出米，则米，再解即可得到．
【详解】解：由题意得，，
在中，米，∴米，
在中，，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确求出米是解题的关键．
2．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，
∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
3．（2023·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（　　）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
【答案】D
【分析】先利用斜坡的坡度求出，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出，之后利用正切求出的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度．
【详解】解：如图：过点D作于点F，过点E作于点G，过点E作于点H
∵斜坡的坡度∴可设，
∵在中，，∴
∵在中，
∵在中，
故选：D．
【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长度是解题关键．
4．（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（　　）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由题意可知i=PH：CH=5：12，然后设PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，则可得，利用正切函数的知识可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函数可得关于x的方程，从而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的长度，进一步可求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程．
【详解】解：如图：过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，
设PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，
，BC=90米，则，即，∴AB=180(米)，
在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，
∴，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，
故此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程是：(米)，故选：D．
【点睛】本题考查了仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
5．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：， 解得，故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
6．（2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，根据题意可得，
在中，，，
在中，，，
．故则这栋楼的高度为．故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
7．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，

在中，，在中，，
点到桌面的最大高度，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
8．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，，在中，，
，，
灯塔的高度AD大约是．故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．
9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米
【答案】B
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．∴山高CD为（600﹣250）米．故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；待定系数法的应用．
10．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（　　）
A．米 B．米 C．10米 D．5米
【答案】B
【分析】由题意得米，分别在和中，利用三角函数求出，即可得解．
【详解】解：由题意得，米，米，
在中，，，
在中，，，
米．故选B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023年山东省济宁市中考数学真题）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．

【答案】/
【分析】结合三角形外角和等腰三角形的判定求得，然后根据特殊角的三角函数值解直角三角形．
【详解】解：由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，

∴，，
在Rt中，，在Rt中，，
∴，∴，∴，
在Rt中，，即，解得，
∴故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形应用--仰角俯角问题，要求能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
12．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，）．

【答案】9.5
【分析】通过解直角三角形，求出，再根据求出结论即可．
【详解】解：根据题意得，四边形是矩形，∴
在中，∴,
∴故答案为：9.5
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
13．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：）

【答案】
【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．
【详解】∵，，，
∴，∴，又∵，∴，
∵，∴解得，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．
14．（2023.江苏中考模拟）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）

【答案】2.7．
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
15．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
【答案】
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，根据题意可得：，，
∴，∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，∴，，，
在中，，∴，∴，
∴，∴，∴，
在中，即，
∴解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题关键．
16．（2023年湖北省荆州市中考数学真题）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）

【答案】13.8//
【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
在中，，，
在中，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
17．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为 米．（结果保留根号）

【答案】/
【分析】过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点，

∵，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，在中，，，
∴；∴，
在中，，，∴；
∴（米）；故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形实际应用，矩形的性质与判定．解题关键是添加辅助线，构造直角三角形．
18．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是 _______cm．
【答案】 90cm
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，根据，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接，判断当AP＝MP时，，此时最小，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，
在Rt△BCE中，∵，∴设CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，
∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，
∴，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案为：90cm；
（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，
当AP＝MP时，，此时最小，
∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴，点在AB边上，
连接，此时，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：

由题意知，在中，，则，即，；
（2）解：如图所示：
，在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，由，
即，解得，气球离地面的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
20．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固．图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．

【答案】探究1：四边形是菱形，；探究2：①；②
【分析】探究1：根据图形即可判断出形状；根据等腰三角形性质可求出长度，利用勾股定理即可求出长度，从而求出值．
探究2：①根据十二边形的特性可知，利用特殊角正切值求出长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值．②根据正多边形的特性可知的度数，利用特殊角正切值求出和长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值．
【详解】解：探究1：四边形是菱形，理由如下：
由图1可知，，，为平行四边形．
桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形每条边上的高相等，
∵的面积等于边长乘这条边上的高，每条边相等，为菱形．
②如图1，过点作于点．

由题意，得，．∴．
在中，，∴．
∴．故答案为：．
探究2：①如图2，过点作于点．

由题意，得，．
．
又四边形是菱形，∴．∴．
故答案为：．
②如图3，过点作于点．由题意，形成的多边形为正边形，外角．
在中，．
又，∴．
形成的多边形的周长为．故答案为：．
【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
21．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
【答案】(1)(2)能，见解析
【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．．
，．．
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）能，理由如下：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．，
，．，
．小若垫起脚尖后头顶的高度为．
小若头顶超出点N的高度．小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
22．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）
(1)连结，求线段的长．(2)求点A，B之间的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）过点C作于点F，根据等腰三角形的性质可得， ，再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，即可求解．
(1)解：如图2，过点C作于点F，
∵，∴，平分．∴，
∴，∴．
(2)解：如图3，连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C．∴，，∴AB∥DE．
过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，∴DG∥l， EH∥l，∴，
∵，BE⊥CE， ∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
23．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．(1)求∠BAD的度数．(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】(1)47°(2)3.3米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；（2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．
(1)解：，，，
答：的度数是．
(2)解：在Rt△ABC中，，∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，∴．∴，∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．
24．（2022·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为．
（1）点F的高度为______m．（2）设，则与的数量关系是_______．
【答案】 9
【分析】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．
【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G．∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
∴四边形ABEG是矩形，∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，∴FG=AG=EB=8m，∴EF=FG+EG=9(m)．故答案为：9；
（2）．理由如下：∵∠E=∠EG=∠EG=90°，
∴四边形EG是矩形，∴EG==1m，G=E=，
∴tan∠FG=，∴∠FG=60°，∠FG=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠FM=2n，
∵ 光线是平行的，∴AN∥M，∴∠GAN=∠GM，∴45°+2m=30°+2n，解得n-m=7.5°，
根据光路图，得，∴，
故，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．
25．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点米．在东西各拉一根钢索和，已知等于214米．吊装时，通过钢索牵拉，主塔由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时，此时一名工作人员在离M米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．正好是他的身高米．（1）主塔的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，与水平桥面的最大张角在到之间即，的取值范围是 _____．（注：，）．
【答案】 82 ##
【分析】（1）过点Q作交于G点，得到，则，再由，可得，求出，再求米，即求的长；（2）在中，，在中，米，米，，再由，由题可知，则．
【详解】解：过点Q作交于G点，
∵米，米，∴，∴，
∵，∴，
∵米，∴，解得米，∴米，
∵米，∴米，故答案为：82；
（2）解：在中，，在中，米，米，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值定义，准确计算是解题的关键．
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专题1.4 解直角三角形实际应用-三大模型
模块1：学习目标
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模块2：知识储备
图1 图2 图3 图4 图5
如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值
如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值
如图5，45°-60°-75°三边比值。
上面五个结论在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。最后希望大家能够自己动手计算并熟记一些特殊角度三角形的三边比值。
模块3：核心模型与典例
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．

例2、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）（参考数据：，，）

例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

例4．（2023年四川省达州市中考数学真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；
如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1.（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

例2.（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米．（参考数据：）
(1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米）
(2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米）

例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）

例4．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

模型3、拥抱模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023 包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈）
例2．（2022 巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
例3．（2022 泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东泰安·模拟预测）为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是( )
A． B． C． D．
2．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（　　）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
4．（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（　　）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）
A． B． C． D．
5．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
7．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A． B． C． D．
9．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米
10．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（　　）
A．米 B．米 C．10米 D．5米
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023年山东省济宁市中考数学真题）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点，在点和建筑物之间选择一点，测得．用高的测角仪在处测得建筑物顶部的仰角为，在处测得仰角为，则该建筑物的高是 ．

12．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 米（结果精确到0.1米，）．

13．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：）

14．（2023.江苏中考模拟）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）

15．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
16．（2023年湖北省荆州市中考数学真题）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）

17．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为 米．（结果保留根号）

18．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是 _______cm．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）

20．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固．图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．

21．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
22．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）
(1)连结，求线段的长．(2)求点A，B之间的距离．
23．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” ）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．(1)求∠BAD的度数．(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
24．（2022·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为．
（1）点F的高度为______m．（2）设，则与的数量关系是_______．
25．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点米．在东西各拉一根钢索和，已知等于214米．吊装时，通过钢索牵拉，主塔由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时，此时一名工作人员在离M米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．正好是他的身高米．（1）主塔的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，与水平桥面的最大张角在到之间即，的取值范围是 _____．（注：，）．
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