资源简介

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1.1集合
【备考指南】 1
【思维导图】 1
【考点梳理】 7
考点一：集合中元素的特性 7
考点二：空集 8
考点三：子集与真子集 9
考点四：交、并、补混合运算 10
考点五：Venn图 11
考点六：集合的应用 12
考点七：集合新定义 14
【真题在线】 15
【专项突破】 16
考点 考情分析 考频
集合的运算 2023年新高考Ⅰ卷T1 2023年全国甲卷T1 2023年全国乙卷T2 2022年新高考Ⅰ卷T1 2022年新高考Ⅱ卷T1 2022年全国甲卷T3 2021年Ⅰ卷T1 2021年Ⅱ卷T2 2021年全国甲卷T1 2021年全国乙卷T2 3年10考
集合间的关系 2023年新高考Ⅱ卷T2 2022年全国乙卷T1 3年2考
预测：
1：主要考察集合间的关系与集合的运算，重点考察集合的交、并、补的混合运算.
考点一：集合中元素的特性
【典例精析】（2022·重庆·统考模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东济南·统考二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·广东汕头·统考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·上海·统考模拟预测）已知复数z是方程的一个根，集合，若在集合M中任取两个数，则其和为零的概率为 ．
5．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数
.
【解题技巧】
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
考点二：空集
【典例精析】（多选）（2021·广东肇庆·统考三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【变式训练】
一、单选题
1．（2014·全国·统考一模）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017上·四川泸州·高一统考期末）已知集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016·辽宁·统考模拟预测）已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021上·福建龙岩·高一福建省长汀县第一中学校考阶段练习）已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2020·上海浦东新·统考三模）已知集合，若，则实数的取值范围是
【解题技巧】
1.空集是不含任何元素的集合；
2.{0}是含有元素0的集合.
3.集是任何集合的子集.所以在处理子集与真子集的问题时一定要考虑是否为空集的情况.
考点三：子集与真子集
【典例精析】（多选）（2021下·辽宁·高三校联考阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
2．（2021·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
二、填空题
4．（2022·上海普陀·统考一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 .
5．（2020上·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）已知集合，，若，则实数值集合为 ．
【解题技巧】
1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：
①不能忽视集合为空集的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.
考点四：交、并、补混合运算
【典例精析】（多选）（2021上·江苏宿迁·高三沭阳县修远中学校考阶段练习）已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林·统考一模）已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东·校联考模拟预测）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知全集，集合，集合，则 ．
5．（2020·山西·统考三模）设全集为，集合，，则 .
【解题技巧】
1.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.
3.由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
考点五：Venn图
【典例精析】（多选）（2021·山东济南·统考二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
3．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·江西九江·校考模拟预测）学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 ．
5．（2022·甘肃·统考二模）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中 ； ； .
【解题技巧】
1. 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.
考点六：集合的应用
【典例精析】（多选）（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）下列选项中，不正确的是（ ）
A．对于任何两个集合，恒成立
B．“对于，”的否定是“，”
C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D．一元线性回归模型中，其中的，叫做，的最小二乘估计
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·校联考一模）学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为
A．20 B．17 C．14 D．23
2．（2022·浙江宁波·统考二模）已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）设非空集合，满足，则（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
二、填空题
4．（2021·江苏扬州·统考模拟预测）对于有限数列，定义集合，，其中且，若，则的所有元素之和为 .
5．（2022·上海徐汇·高三统考期中）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是 .
【解题技巧】
知识综合性强，要灵活的运用各类知识点处理问题.
考点七：集合新定义
【典例精析】（多选）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京房山·统考一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
二、填空题
4．（2013下·湖南长沙·高二阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．
5．（2022·上海·统考模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时， ．
【解题技巧】
对于集合新定义问题，首先是要认真读题，审题，清楚的知道新定义的具体含义；然后从特殊到一般进行综合的分析；最后解决问题并进行验证.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·山东烟台·校联考三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
5．（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）设集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·北京·校考模拟预测）设是中两个子集，对，定义：，若对任意，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合有15个真子集，则的一个值为 .
10．（2023·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是 ．
11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知集合，则 ．
四、解答题
12．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合，
.
(1)求;
(2)从下面（1）（2）中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围.
①；②；③.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知集合，集合，集合
(1)设全集，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
14．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知集合，，且，若，.
(1)求集合A、B；
(2)求p，q，r.
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1.1 集合
【备考指南】 1
【思维导图】 1
【考点梳理】 7
考点一：集合中元素的特性 7
考点二：空集 10
考点三：子集与真子集 12
考点四：交、并、补混合运算 15
考点五：Venn图 18
考点六：集合的应用 21
考点七：集合新定义 24
【真题在线】 27
【专项突破】 32
考点 考情分析 考频
集合的运算 2023年新高考Ⅰ卷T1 2023年全国甲卷T1 2023年全国乙卷T2 2022年新高考Ⅰ卷T1 2022年新高考Ⅱ卷T1 2022年全国甲卷T3 2021年Ⅰ卷T1 2021年Ⅱ卷T2 2021年全国甲卷T1 2021年全国乙卷T2 3年10考
集合间的关系 2023年新高考Ⅱ卷T2 2022年全国乙卷T1 3年2考
预测：
1：主要考察集合间的关系与集合的运算，重点考察集合的交、并、补的混合运算.
考点一：集合中元素的特性
【典例精析】（2022·重庆·统考模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答.
【详解】集合，，
则当时，有，当时，或，当时，或，
所以，集合B有中5个元素.
故选：A
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求解即可
【详解】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
2．（2022·山东济南·统考二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【详解】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
3．（2023·广东汕头·统考二模）已知集合，，且，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.
【详解】由题意可得：或
若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；
若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；
故.
故选：B
二、填空题
4．（2022·上海·统考模拟预测）已知复数z是方程的一个根，集合，若在集合M中任取两个数，则其和为零的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意解出，根据复数的乘方以及集合的互异性确定，根据古典概型处理运算．
【详解】，即，解得
当时，
则，，，
当时，
则，，，
则集合有4个元素：，，，，即
若在集合M中任取两个数，共有如下可能：，共6个基本事件，其和为零的有，共2个基本事件，则其和为零的概率为
故答案为：．
5．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数 .
【答案】
【分析】根据得或，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可.
【详解】由，可得或，
当时，集合不满足集合的互异性；
当时，或1（舍去），集合，符合题意.
综上，.
故答案为：.
【解题技巧】
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.
考点二：空集
【典例精析】（多选）（2021·广东肇庆·统考三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
【变式训练】
一、单选题
1．（2014·全国·统考一模）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【详解】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
选:D.
2．（2017上·四川泸州·高一统考期末）已知集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.
【详解】∵，∴，所以选项A、B、D错误，
由空集是任何集合的子集，可得选项C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.
3．（2016·辽宁·统考模拟预测）已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据集合间的计算及集合间的关系直接判断即可.
【详解】因为，为数集，是任何集合的子集，所以A选项，D选项正确； ，B选项正确；所以空集不属于数集，C选项错误；
故选：C.
4．（2021上·福建龙岩·高一福建省长汀县第一中学校考阶段练习）已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
故选：D.
二、填空题
5．（2020·上海浦东新·统考三模）已知集合，若，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据指数函数是单调增函数解不等式，得到集合,再根据交集的定义和空集的定义得有公共元素,进而得到.
【详解】由，根据指数函数是单调增函数，可得
又∵集合，，则有公共元素，
所以
故答案为：.
【点睛】本题考查集合的交集的运算，涉及利用指数函数的单调性解指数不等式，属基础题.
【解题技巧】
1.空集是不含任何元素的集合；
2.{0}是含有元素0的集合.
3.集是任何集合的子集.所以在处理子集与真子集的问题时一定要考虑是否为空集的情况.
考点三：子集与真子集
【典例精析】（多选）（2021下·辽宁·高三校联考阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．的真子集个数是7
【答案】ACD
【分析】求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.
【详解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
故选：C
2．（2021·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数
【详解】解：集合，
所以集合中的元素个数为9，
故其真子集的个数为个，
故选:
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
【分析】求出集合中的元素，再由子集的定义求解．
【详解】由题意，
因此其真子集个数为．
故选：D．
二、填空题
4．（2022·上海普陀·统考一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 .
【答案】
【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.
【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，
若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，
若集合中只含个偶数，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.
因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；
若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；
若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
5．（2020上·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）已知集合，，若，则实数值集合为 ．
【答案】
【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可.
【详解】因为，故；
则的子集有，，，，
当时，显然有；
当时，；
当，；
当，不存在，
所以实数的集合为；
故答案为．
【解题技巧】
1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：
①不能忽视集合为空集的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.
考点四：交、并、补混合运算
【典例精析】（多选）（2021上·江苏宿迁·高三沭阳县修远中学校考阶段练习）已知、均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】首先根据已知条件得到集合与集合的包含关系，然后通过交并补运算逐一验证选项即可.
【详解】∵∴，
若是的真子集，则，故A错误；
由可得，故B正确；
由可得，故C错误，D正确．
故选：BD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的并集运算和补集运算可得.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以.
故选：D
2．（2023·吉林·统考一模）已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的运算，先求得，然后根据并集的运算，即可得到结果.
【详解】由全集，，则，
又，所以．
故选：A．
3．（2023·山东·校联考模拟预测）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集、并集基本运算即可求出结果.
【详解】由集合，，，
可得，
所以．
故选：A．
二、填空题
4．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知全集，集合，集合，则 ．
【答案】/
【分析】根据集合的运算法则计算可得.
【详解】因为全集，集合，集合，
所以，所以.
故答案为：
5．（2020·山西·统考三模）设全集为，集合，，则 .
【答案】
【分析】利用集合交集和补集的运算即可得答案.
【详解】因为，
所以，
又因为
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，属于基础题.
【解题技巧】
1.解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
2.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.
3.由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
考点五：Venn图
【典例精析】（多选）（2021·山东济南·统考二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案
【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解指数不等式，再结合Ven图求集合的交、补运算即可.
【详解】由Ven图可知，阴影部分表示为，
因为，或，
所以，
所以，
故选：C.
2．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）

A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】B
【分析】根据集合间的运算分析判断.
【详解】因为表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ，
所以表示与集合A的公共部分，即为Ⅱ.
故选：B.
3．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数性质求集合A，解一元二次方程求集合B，根据韦恩图、集合的并、补运算求结果.
【详解】由题设得，则，
由图知：阴影部分为.
故选：D
二、填空题
4．（2022·江西九江·校考模拟预测）学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 ．
【答案】
【分析】依题意画出韦恩图，计算可得；
【详解】解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有人；
故答案为：
5．（2022·甘肃·统考二模）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中 ； ； .
【答案】
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：；；.
【解题技巧】
1. 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.
考点六：集合的应用
【典例精析】（多选）（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）下列选项中，不正确的是（ ）
A．对于任何两个集合，恒成立
B．“对于，”的否定是“，”
C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D．一元线性回归模型中，其中的，叫做，的最小二乘估计
【答案】CD
【分析】根据集合间的关系以及含有量词的命题的否定，相关系数的概念和最小二乘估计的概念依次判断即可．
【详解】解：对于任何两个集合，都有，所以恒成立，故A正确；
“对于，”的否定是“，”，故B正确；
对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故C错误；
一元线性回归模型中，其中的，叫做b，a的平均值，，叫做b，a的最小二乘估计，故D错误.
故选：CD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·吉林长春·校联考一模）学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为
A．20 B．17 C．14 D．23
【答案】B
【分析】两次运动会总人数减去两次运动会都参加的人数，即为所求结果.
【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，
所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.
故选B
【点睛】本题主要考查集合中元素个数的问题，熟记集合之间的关系即可，属于基础题型.
2．（2022·浙江宁波·统考二模）已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的基底定义求解.
【详解】因为，
，
，
，
，
，
所以能作为集合的基底，
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3．（2021下·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考开学考试）设非空集合，满足，则（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
【答案】B
【分析】由已知可得即可判断.
【详解】，，，有.
故选：B.
二、填空题
4．（2021·江苏扬州·统考模拟预测）对于有限数列，定义集合，，其中且，若，则的所有元素之和为 .
【答案】660
【分析】可得，得出中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.
【详解】
，
则中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，
每个被选出的次数是相同的，
若被选中，则共有种选法，即每个被选出的次数为，
则的所有元素之和为.
故答案为：660.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出中的每个元素就是从中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.
5．（2022·上海徐汇·高三统考期中）若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：
①；
②；
③；
④.
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是 .
【答案】②④.
【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：①，③，因此①③都不是；②④满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②④是，从而得到答案.
【详解】①；而，故①不是集合X上的拓扑的集合；
②，满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此②是集合X上的拓扑的集合；
③；而，故③不是集合X上的拓扑的集合；
④.满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，因此④是集合X上的拓扑的集合；
故答案为②④.
【点睛】本题主要考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意.本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高，此题是基础题.
【解题技巧】
知识综合性强，要灵活的运用各类知识点处理问题.
考点七：集合新定义
【典例精析】（多选）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义,举例或举反例一一判断每个选项，可得答案.
【详解】对于A，因为，，故A错误；
对于B，若，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则，
则，而内也有有理数，
则，故C错误；
对于D，若，，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据题中条件，直接进行计算即可.
【详解】因为，，
所以，故的元素的个数为4．
故选：
2．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合新定义可知，求得，进而根据补集的定义求解即可.
【详解】结合新定义可知，又，
所以．
故选：A
3．（2022·北京房山·统考一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆
①A1∩A2=0
②A1A2=U
③的元素个数不是中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．15
【答案】A
【分析】由真分拆的定义及规定即可求解.
【详解】解：由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有；
；；；，共5种，
故选：A.
二、填空题
4．（2013下·湖南长沙·高二阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．
【答案】7
【解析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解.
【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，
则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，，共7个．
故答案为：7.
【点睛】本题主要考查集合的新定义的应用，其中解答中正确理解新定义，合理转化求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
5．（2022·上海·统考模拟预测）对于复数a、b、c、d，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时， ．
【答案】
【分析】由题意可得，，结合题意分类讨论确定集合．
【详解】∵，则，即，则
若，则取，则
若，则取，则，
经检验满足题意
∴
故答案为：．
【解题技巧】
对于集合新定义问题，首先是要认真读题，审题，清楚的知道新定义的具体含义；然后从特殊到一般进行综合的分析；最后解决问题并进行验证.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集，集合，所以，
又，所以，
故选：A.
3．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
8．（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
9．（2022·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
10．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
11．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
12．（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
13．（2021·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
14．（2021·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
15．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
16．（2021·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出即得.
【详解】集合，，则，
所以集合中元素的个数为3.
故选：B
2．（2023·山东烟台·校联考三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】集合为绝对值不等式的解集, 根据绝对值的意义解出, 再求交集即可.
【详解】已知集合,，
则,故选B正确；A错误；
, 故选项C错误；
., 故选项D错误；
故选：B.
3．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将集合A化简，再根据集合的并集运算得解.
【详解】因为，，
故.
故选：C．
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】B
【分析】根据题意得到，再结合求解即可.
【详解】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B
5．（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）设集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，根据题意转化为，结合集合间的包含关系，即可求解.
【详解】因为集合，可得，
又由集合，要使得，可得，则满足.
故选：C.
6．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的含义得到集合，，然后求并集即可.
【详解】，，所以.
故选：B.
二、多选题
7．（2023·北京·校考模拟预测）设是中两个子集，对，定义：，若对任意，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由时，，或时，求解.
【详解】解：因为，且对任意，，
所以m，n的值一个为0，另一个为1，即时，，或时，，
所以的关系为或，
故选；AC
8．（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
三、填空题
9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合有15个真子集，则的一个值为 .
【答案】（或，或，填其中一个即可）
【分析】根据题意，得到集合中含有4个元素，则有4个因数，则除1和它本身外，还有2个因数，即可求解.
【详解】由集合有15个真子集，
可得集合中含有4个元素，则有4个因数，则除1和它本身外，还有2个因数，
所以的值可以为，故的一个值为6（或8，或10）.
故答案为：（或，或，填其中一个即可）.
10．（2023·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是 ．
【答案】
【分析】先确定集合中的元素，然后结合子集的概念，分，两种情况讨论即可得出结果．
【详解】集合，，
当，即时，显然满足条件；
当时，即，则，
因为，所以或，即或，解得或，
综上，实数a的取值组成的集合是．
故答案为：．
11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知集合，则 ．
【答案】
【分析】解分式不等式得到集合，求交集即可.
【详解】对于集合，解不等式，
所以，即，等价于，
解得或，所以，
，则.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合，
.
(1)求;
(2)从下面（1）（2）中选择一个作为已知条件，求实数的取值范围.
①；②；③.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）解不等式结合集合的运算计算即可；
（2）结合所选条件判定集合间的关系，注意分类讨论解含参不等式一一计算即可.
【详解】（1）由，得，
由，即，
所以；
（2）因为的两根分别为，
若选择①，由（1）得，，故.
当，即时，，满足题意；
当，即时，，
由，得，解得，所以；
当，即时，，不满足.
综上可知，实数的取值范围为.
若选择②，由（1）得，，故，
当，即时，，满足题意;
当，即时，，
由，得，解得，所以;
当，即时，，
由，得，解得，所以.
综上可知，实数的取值范围为.
若选择③，由（1）得，
当，即时，，满足题意；
当，即时，，此时成立，
满足题意，所以；
当，即时，，显然不满足.
综上可知，实数的取值范围为.
13．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知集合，集合，集合
(1)设全集，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由集合的基本运算求解即可；
（2）得，分类讨论求解即可.
【详解】（1）由，解得，
由，解得
，
（2）∵，∴，
当时，
当时，或
解得
综上，实数m的取值范围为
14．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知集合，，且，若，.
(1)求集合A、B；
(2)求p，q，r.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据集合交集的性质和并集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合（1）的结论进行求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以有且，或，
当且且时，此时，因为，所以；
当且且时，因为，所以，
因为，所以不存在，
综上所述：
（2）由（1）可知：，
所以有，，，
即.
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