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第三章 指数运算与指数函数 测试卷
一、单选题
1．由下面的两串有理指数幂逐渐逼近，可以得到的数为
(1)，，，，，
(2)，，，，，
A． B．
C． D．
2．设函数，则使得的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数是指数函数
B．函数的值域是
C．若，则
D．函数的图象必过定点
5．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．的化简结果是
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．是周期函数 B．函数在定义域上是单调递增函数
C．函数是偶函数 D．函数的图象关于点对称
11．下列函数是偶函数且值域为[0,＋∞)的是（ ）
A．y＝|x|； B．y＝x3； C．y＝2|x|； D．y＝x2＋|x|.
12．函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．计算：＝ .
14．已知常数，函数的图像经过点、，若，则 ．
15．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为 .
16．已知指数函数f（x）的图象过点（–2，4），则不等式f（x）>1的解集为 ．
四、解答题
17．已知为奇函数.
（1）求证：为增函数；
（2）求的值域.
18．如果函数在其定义域内存在实数,使得（为常数）成立，则称函数为“对的可拆分函数”.
（1）判断是否是“对2的可拆分函数”；
（2）若是“对3的可拆分函数”，求实数的取值范围；
（3）若是“对2的可拆分函数”，求实数的取值范围.
19．（1）已知奇函数的定义域为,且在区间上递减，求满足的实数的取值范围；
（2）已知为定义在上的偶函数，当时，，求的解集.
20．若，求的值.
21．已知函数（其中）为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值．
22．设,求函数的最值及相应的的值．
参考答案
1．C
【分析】由题意结合的不足近似和过剩近似即可确定所得的数.
【详解】的不足近似值为1.7，1.73，1.732，1.7320，1.73205，…；
过剩近似值为1.8，1.74，1.733，1.7321，1.73206，…；
故由（1）（2）．两串有理指数幂逼近得到的数为.
故选C.
【点睛】本题主要考查不足近似与过剩近似的含义与应用等知识，意在考查学生对基本概念的理解与应用.
2．C
【分析】判断函数的奇偶性，再由函数在上的单调性，脱去“f”建立不等式求解.
【详解】的定义域为，
，
为偶函数，且当时，单调递增，
由可得，
再由单调性可得，，即，
化简可得，解得.
故选：C
3．D
【分析】利用指数幂的运算性质求解．
【详解】解：原式＝.
故选：D．
4．B
【分析】对A根据指数函数定义判断；对B根据二次函数值域判断；对C根据指数函数的单调性判断；对D根据指数函数恒过定点判断.
【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.
选项B. 当时，，故B正确.
选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.
选项D. 由，可得的图象恒过点，故D不正确.
故选：B
5．C
【分析】由以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对讨论求解即可.
【详解】由可得，
当时，由可知无实数解，故舍去；
当时，在上恒成立，所以，解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.
6．C
【分析】根据给定函数列出不等式组求解即得定义域.
【详解】函数有意义，则，即，解得，
所以原函数定义域为.
故选：C
7．A
【分析】根据常见函数的单调性可选出答案.
【详解】在定义域上单调递增，满足题意
、、在定义域内都不是单调递增的.
故选：A
8．B
【解析】利用指数幂的运算性质计算即可.
【详解】原式.
故选：B.
【点睛】本题考查指数幂的化简计算，考查运算求解能力，属于基础题.
9．ACD
【分析】根据各函数的性质直接判断即可.
【详解】对A: 为一次函数且在上单调递增，故A正确；
对B: 为对钩函数且在单调递增，单调递减，
单调递减，上单调递增，故B错误；
对C: 在上单调递增，故C正确；
对D: 在上单调递增， 上单调递增，
且，所以在上单调递增，故D正确,
故选: ACD.
10．ABD
【分析】根据正弦函数周期判断A，由指数函数、反比例函数的单调性判断B，根据奇偶性定义判断C，由函数中心对称充要条件判断D.
【详解】令，则，所以函数为周期函数，故A正确；
因为，
因为在定义域上单调递减，且，
所以由复合函数的单调性质可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；
令，则，所以函数是奇函数，故C错误；
因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：ABD
11．AD
【分析】首先根据函数的奇偶性排除选项B，再根据函数的值域排除C，进而求解.
【详解】函数为偶函数，因为函数，所以函数函数的值域为，故选项A成立；
因为函数为奇函数，故排除选项B；
函数为偶函数，因为函数，所以函数的值域为，故排除选项C；
函数为偶函数，因为函数，所以函数的值域为，故选项D成立，
故选：AD.
12．BCD
【分析】使用换元法，将原函数转化为二次函数，由二次函数的性质对各选项依次进行辨析即可.
【详解】∵，
∴令（），则，
由已知，，
∵，∴由二次函数的性质可知，
当且仅当，即时，；当且仅当，即时，，
∴，，故选项A错误，选项C正确，选项D正确；
设集合，
由二次函数的性质，若当时，值域为，
则，∴由指数函数的单调性知，，故选项B正确.
故选：BCD.
13．44
【分析】利用分数指数幂运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案是：44.
14．5
【分析】首先将点代入函数，并且变形为，，两式相乘计算结果.
【详解】由条件可知，得 ①
，得 ②
①②得，
，又，得.
故答案为：5
【点睛】本题考查函数的综合应用，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.
15．或
【分析】由函数的单调性与奇偶性求解．
【详解】因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为或
故答案为：或．
16．（–∞，0）
【分析】设指数函数且,将点代入可得,再由不等式求解即可
【详解】设函数为且,将代入可得,
,即,
由于在上单调递减,,即解集为
故答案为
【点睛】本题考查指数函数的定义,考查指数的计算,考查解不等式
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，进而可证得结论成立；
（2）利用奇函数的定义求出实数的值，可得，令，可得出，由可得出关于的不等式，进而可求得函数的值域.
【详解】（1）函数的定义域为，任取、且，
，
，，，，
即，所以为增函数；
（2）为奇函数，，即
整理得，解得，
所以，.
令，可得，由，可得，解得.
因此，函数的值域为.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
18．（1）不是“对2的可拆分函数”；（2）；（3）.
【解析】（1）根据新定义，验证是否有解即可；
（2）根据新定义，有解，分类参数得，求右边函数的值域即得参数的取值范围；
（3）根据新定义，有解，分类参数得，求右边函数的值域即得参数的取值范围.
【详解】解：（1）若，则，
由，，可知恒成立，
故函数在其定义域内不存在实数,使得成立，
故不是“对2的可拆分函数”；
（2），则，
由是“对3的可拆分函数”可知，有解，
即有解，
又，则有解，而，故.
所以实数的取值范围为；
（3），则，，
由是“对2的可拆分函数”可知，有解，
即有解，又，则有解.
设，则，有解，
对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
即时，，取得最大值为.
所以.
【点睛】关键点点睛：
本题是新定义题，解题关键在于对新定义的理解，通过满足方程有解，将问题转化成有解问题来突破难点即可.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）（2）由函数的奇偶性与单调性转化后列不等式组求解
【详解】（1）是奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减，
可化为，
则，解得．
（2）由题意是偶函数，故，得，
且时，，故在上单调递增，在上单调递减，
可化为，解得
20．
【分析】先由题中条件，根据指数幂的运算法则，求出，再求出，即可得出结果.
【详解】由两边平方，得，再平方，
又
所以.
【点睛】本题主要考查指数幂的化简求值，属于基础题型.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据求得，并根据奇函数的定义检验；
（2）根据的单调性可得的值域，令，整理得原题意等价于对于恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为为奇函数，且的定义域为，
可知，解得，则，
且，即，
可得为奇函数，所以.
（2）由（1）可知：，
因为在内单调递增，可知在内单调递增，
且，则，
令，则，
对于不等式，即，
则，
原题意等价于对于恒成立，
且，当且仅当，即时，等号成立，
则，解得
所以实数的最小值.
22．时，; 时，．
【分析】，设得到根据二次函数的单调性得到答案.
【详解】，
设，且，
由于，
则在上为减函数，在上为增函数，
∴当，则，即时，
又，即，
∴当，则，即时，．
【点睛】本题考查了函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键.

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