资源简介

信阳市2023-2024学年高二上学期11月期中教学质量检测
数学试题
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿细和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：
“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论不正确的是（ ）
A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件
C.E，G不是互斥事件 D.G，R是互斥事件
3.已知直线：，：，若，则m等于（ ）
A. B. C.3 D.或3
4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%.我们通过设计模拟实验的方法求概率.利用计算机产生一组随机数：
907 966 191 924 274 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 986
若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，不共面，，则（ ）
A.，，A，B，C，M四点共面 B.，，A，B，C，M四点不共面
C.，，A，B，C，P四点共面 D.，，A，B，C，四点共面
6.已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线l：与圆C：，点，则下列说法不正确的是（ ）
A.若直线l与圆C相切，则 B.若，则直线l与圆C相离
C.若，则直线l与圆C相交 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
8.已知，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.6
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若方程表示圆，则m的取值可以为（ ）
A.2 B.0 C. D.
10.如图是一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中，，，，则（ ）
A. B. C.事件A与B互斥 D.事件A与B相互独立
11.在棱长为2的正方体中，M是底面的中心，Q是棱上的一点，且，，N为线段的中点，则（ ）
A.C，M，N，Q四点共面
B.三棱锥的体积为定值
C.当时，过A，M，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为4
D.不存在使得直线与平面垂直
12.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆.现有，，.以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则（ ）
A.点A的轨迹方程为
B.点A的轨迹是以为圆心，3为半径的圆
C.面积的最大值为12
D.当时，的内切圆半径为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.圆恒过的定点是______.
14.第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023年10月在北京召开.某记者与参会的3名代表一起合影留念（四人站成一排）.则记者站在两端的概率为______；若记者与代表甲必须相邻，则此两人站在中间的概率为______.（第一空2分，第二空3分）
15.已知圆C：，直线l：，M为直线l上的动点，过点M作圆C的两条切线，，则四边形面积的最小值为______.
16.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线l的方程为，则到直线l的距离为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.
（1）在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；
（2）在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.
18.（本小题满分12分）
已知，，.求：
（1）过点A且与平行的直线方程；
（2）边垂直平分线方程；
（3）过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程.
19.（本小题满分12分）
在三棱锥中，，，，M，N分别为，的中点，设，，.
（1）用，，表示，并求；
（2）求与所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录.甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为0.9，乙每次射中十环的概率为p，在每次射击中，甲和乙互不影响.已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为0.98.
（1）求p；
（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环3次的概率.
21.（本小题满分12分）
正三棱柱中，，M是的中点，M到平面的距离为.
（1）求；
（2）在上是否存在点P，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知圆C经过点，，且直线被圆C所截得的弦长为.点P为圆C上异于A、B的任意一点，直线与x轴交于点M，直线与y轴交于点N.
（1）求圆C的方程；
（2）探求是否为定值，若为定值，求出此定值，若不是定值，说明理由；
（3）过点的动直线l与圆C交于不同的两点E，F.记线段的中点为R，则当直线l绕点D转动时，求动点R的轨迹长度.
信阳市2023-2024学年高二上学期11月期中教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B C A D A C AB AD ABD ACD
1.D解析：直线的斜率为，倾斜角为，故选D.
2.B解析：E，F是对立事件，选项A正确；G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；E，G不互斥，选项C正确；G，R为互斥事件，选项D正确.故选B.
3.B解析：，解得.故选B.
4.C解析：20个随机数中，至少有两天下雨有907，191，932，569，431，257，393，556，730，113，537，所求概率为，故选C.
5.A解析：，，，A，B，C，M四点共面.故选A.
6.D解析：圆锥的高，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，.，，
设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角为，，则，
即与平面所成角的正弦值为.故选D.
7.A解析：圆心到直线l的距离.若直线l与圆C相切，则，解得，故A错误；若，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若，则，所以，则直线l与圆C相交，故C正确；
若点在直线l上，则，即，，直线l与圆C相切，故D正确.故选A.
8.C解析：设点为直线l：的动点，
则，
可看作与点，的距离之和.关于直线l的对称点为，
则.
即的最小值是.故选C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AB解析：配方，得，方程表示圆的充要条件为，故选AB.
10.AD解析：；选项A正确；
，；选项B错误；
，，所以A与B不互斥，选项C错误；
，，，
所以事件A与B相互独立，选项D正确.故选AD.
11.ABD解析：连接，，则M，N分别为，的中点，为的中位线，，，M，N，Q四点共面，故A正确.
为定值，故B正确.
当时，过A，M，Q三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
如图所示，过Q作的垂线，垂足为G.则：
，.，故C错误.
建立如图所示的直角坐标系，则：
，，，，，，，
，，.
若存在使得直线与平面（即平面）垂直，则，
解得，不合.不存在使得直线与平面垂直.故D正确.
故选ABD.
12.ACD解析：，，设，，，
即，化简得（），
即，
点A的轨迹是以为圆心，3为半径的圆（除去，），故选项A正确，选项B错误.
当且仅当边上的高为圆的半径时的面积最大，此时，选项C正确.
当时，，即，，的内切圆半径为，选项D正确.故选ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.解析：圆方程化为，
由解得故圆恒过点.
答案：
14.解析：四个位置，记者站在两端，有2种站法，所求概率为（或）；
设记者为A，另两位代表记作1，2.记者与甲必须相邻的情况有12种：A甲12，A甲21，甲，甲，甲2，甲1，1甲，2甲，甲，12甲A，甲，21甲A.两人站在中间，有4种站法，所求概率为（或）.
答案：：，
15.解析：圆心，.当且仅当时，四边形面积取最小值，
此时，，，
.
答案：8
16.解析：直线l的方程标准化：，直线l过点，方向向量为.
，，，
M到直线l的距离
答案：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.解：（1）样本空间，
记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有9个，则.
（2）样本空间，
记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有7个，则.
18.解：（1），过点A且与平行的直线方程为，
即.
（2）的中点，，边垂直平分线方程为，
即.
（3）设直线倾斜角为，则，，
所求直线方程为，即.
19.解：（1）
，，，
，，，
.
（2），，
，
，，
.
所以，与所成角的余弦值为.
用其他方法求得正确结果，同样给分.
20.解：（1），解得
（2）设，分别表示甲两次射中十环一次，两次的事件，
设，分别表示乙两次射中十环一次，两次的事件.则，，
，.
设“甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次”，则
.
故甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次的概率为0.3744.
21.解：（1）取的中点O，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取，得，M到平面的距离
解得，即.
（2），设，
则，
，
设平面的法向量，
则
取，得，
由，得，解得，或（舍去）.
故在上存在点P，当时，可使平面与平面夹角的余弦值为.
22.解：（1）易知点C在线段的中垂线上，故可设，圆C的半径为r.
直线被圆C所截得的弦长为，且，
到直线的距离，由，得
，.
圆C的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，.
当直线的斜率存在时，如图，设，
直线的方程为，令得.
直线的方程为，令得.
.
故为定值8.
（3）解法一：设的中点为Q，则，
因为线段的中点为R，所以，即，所以，
设，则，
如图，设圆与的交点为G，H
显然是边长为2的正三角形，
所以所求弧长的长度即为以为圆心，以2为半径的圆的为.
解法二：设的中点为Q，则，
因为线段的中点为R，所以，即，所以，
设，则，
如图，设圆与的交点为G，H
联立，可得，，
则，，
因为点R在圆内，
所以点R的轨迹方程为，，
因为，所以，
同理，所以，
所以，圆弧的长度为.

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