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(诚信无价!不要传播!!!)2008年高考数学科考前指导意见
2008年高考就要开始了，后阶段如何更有效地备考是我们每一位高三教师急需思考的问题.高考备考研究组的专家共同探讨08年高考命题趋势，做出如下备考意见，供老师们在高考前对学生进行指导.
理科
三角函数：
高考命题趋势分析：近几年广东高考第一道大题都是三角题，主要考查三角函数的性质、解三角形（与向量的综合应用）.与多边形有关的问题还未涉及.此外三角函数的应用问题在教材中有相当的试题，其他省份也作了很好的尝试，因此我们要准备这方面的问题.
题例 如图，在平面四边形中，已知，，且△为正三角形.
（Ⅰ）将四边形的面积表示为的函数；
（Ⅱ）求得最大值及此时的值.
命题意图：强化一下三角在解三角形中的应用。
思考与建议：07年海南、宁夏题中就是考查的三角在实际问题中的应用，同为新课表地区的广东，三角题今年是否会突破以前的传统，变成了一个应用题？
解：（Ⅰ）△的面积，正△的面积
∴四边形的面积为
.
（Ⅱ）由，当，即时，四边形的面积最大，且最大值为.
参考题例1如图，是沿湖南北方向道路,为太中观光岛屿, 为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h．
(Ⅰ)设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
(Ⅱ)设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．
解：(Ⅰ) 如图，作,为垂足．
,，，
在△中，
(km),
=(km)．
在△中，
(km) ．
设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为 km/h，则
(h),
（h）．
由已知得：，，∴．
∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达．
(Ⅱ)在△中，
(km),(km)．
∴(km)．
∴＝．
∵,
∴令得：．
当时，；当时，．
∵在上是减函数，
∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．
参考题例2如图，是佛山市一环东线的一段，其中、、分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量陈村花卉世界位于点的北偏东方向处，位于点的正北方向，位于点的北偏西方向上，并且．
(Ⅰ) 求佛陈路出口与花卉世界之间的距离；（精确到0.1km）
(Ⅱ) 求花卉大道出口与花卉世界之间的距离．（精确到0.1km）
(参考数据：，，，，， ，)
解：（Ⅰ）设，则由余弦定理，
即，解得， 舍去．所以.
故佛陈路出口B与花卉世界之间的距离约为．
（Ⅱ）在(ABD中，由正弦定理得，所以.
在(CBD中，，
由正弦定理得，.
花卉大道出口与花卉世界之间的距离约为．
概率
高考命题趋势分析： 07年广东高考概率统计确实解放了一下思想，线性回归出现了一道大题，今年的概率题是继续解放思想还是回归传统，我们将拭目以待。
题例 甲、乙进行乒乓球比赛，比赛规则：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先得2分的一方为胜方.
（Ⅰ）根据以往战况，双方在每一分的争夺中甲胜的概率为，求甲以8：9落后的情况下最终以12：10获胜的概率；
（Ⅱ）在五局比赛中，记甲以8：9落后的情况下最终以12：10获胜的局数为，求的期望.
命题意图：传统的概率题，学生比较容易掌握.但要关注二项分布及条件概率等平时较为忽视的知识.
思考与建议：因为要解放思想，所以条形图、频率分布直方图、正态分布、独立性检验等相关知识出现在高考大题中也不要觉得奇怪。这方面的相关知识学生要熟悉。如果是传统概率题，注意到表达的规范性。此外也要关注考查独立性检验，要求学生有一定的数据处理能力、对独立性检验的基本步骤要熟悉.
解：（Ⅰ）比分从8：9到12：10只有以下三种情况：
①8：9//8：10，9：10，10：10，11：10，12：10；
②8：9//9：9，9：10，10：10，11：10，12：10；
③8：9//9：9，10：9，10：10，11：10，12：10.
由此可以看出，最后两分必是甲得分且必出现10平，所以甲以8：9落后的情况下最终以12：10获胜的概率为.
答：甲以8：9落后的情况下最终以12：10获胜的概率为.
（Ⅱ）因为，所以.
答：的期望为.
参考题例 某研究机构为了研究人脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，得到如下数据：
（Ⅰ）若“身高大于175厘米”的为“高个”，身高“小于等于175厘米”的为“非高个” ; “脚长大于42码”的为“大脚”， “脚长小于等42码”的为“非大脚”。请根据上表数据完成下面的列联表：
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中表格的数据，若按的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系？
（Ⅲ）若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差：将一个标有数字的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求：
①抽到12号的概率；②抽到“无序号（超过20号）的概率.
立体几何
高考命题趋势分析： 07年广东高考立体几何考查难度比较大，08年可能会有所改变，估计今年难度不大，但由于考试说明中要求有探究性问题的出现，因此今年可能以探究性问题为主，加强线面垂直、平行位置关系的考查。
题例 已知点是正方形两对角线的交点，⊥平面，⊥平面，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段上找一点，使三棱锥为正三棱锥；
（Ⅲ）试问在线段(不含端点)上是否存在一点,使得∥平面,若存在,请指出点的位置；若不存在,请说明理由.
命题意图：第1题指导思想是以正方体内的线面关系作为出发点，不给出完整的正方体，只给出局部图形，考查学生整理化归的能力，鉴于前几次从正面探究线面平行、线面垂直问题，这次从几何体形状的判断、如何说明不平行、不垂直这些角度入手命制题目，考查学生思维的严谨性和说理能力，也更贴近新增内容“推理与证明”中反证法的思想。在近期的模拟试卷中，也有探究与两个相交平面同时平行的直线的。
思考与建议：作为四大能力之一，对空间能力的考查是其它学科知识代替不了的，其在解答题中所处的位置（第三道，中间位置）清楚表明数学要取得较好的成绩，立体几何这一题必须要有突破，具体的训练方法，一是熟悉常见几何体中的位置关系，二是退到初始状态如何从线线平行到线面平行再到需要的线线平行，如何从线线垂直构造线面垂直、面面垂直直至需要的线线垂直、线面垂直．
参考题例 在圆柱中，是其下底面的内接正三角形，、是其上底面的点，且平面，平面.已知，.
（Ⅰ）求几何体与圆柱的体积之比；
（Ⅱ）在上运动，当在何处时，有平面；
（Ⅲ）当平面时，求二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）因为，，所以圆柱的母线，底面半径为，所以.
而，
所以.
（Ⅱ）当点是中点时，有平面.
证明如下：连接交于点，连接.
于是为的中点，而为中点，
所以是的中位线，所以，
而平面，平面，
所以平面.
（Ⅲ）以为坐标原点，、所在的直线为轴、轴，过点在平面内作直线，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
因为，，，所以，.
设为平面的法向量，则有，令，则，，所以平面的一个法向量为.
而平面的法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为.
解析几何
高考命题趋势分析：以前解析几何的解答题多是求曲线方程与动点轨迹、求参数范围、确定定值或最值等，且常与向量知识相结合．解几这部分在新课标中教学要求发生了较大的变化，高考考试的考试重点和难度降低到什么程度值得思考。
题例 已知椭圆的右焦点为,上顶点为,为上任一点, 是圆的一条直径.若与平行且在轴上的截距为的直线恰好与圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若的最大值为49，求椭圆的方程. ( )
命题意图：本题考查了直线方程、椭圆的方程和几何性质、圆的方程、直线和圆的位置关系、向量的数量积等多个知识点，本题立意较新，强化解几中的数形结合、转化化归、二次齐次式的运算等基本方法，讲评时可用多种方法讲解，理科考生还可用参数方程的方法求解。
思考与建议：广东卷连续3年解析几何的解答题都难度降低，且06、07 年都处于第4题，这与新课标 对解几要求降低有关， 08年解几是否还会延续这样一种思路值得思考.
参考题例1已知椭圆,直线为圆一条切线,记椭圆的离心率为.
(Ⅰ)若直线的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右焦点,求的大小；
(Ⅱ)是否存在这样的,使得 (ⅰ) 椭圆的右焦点在直线上；(ⅱ)原点关于直线的对称点恰好在椭圆上同时成立.若存在,请求出的大小；若不存在,请说明理由.
分析：此题虽然以椭圆为背景，但实际考查的是直线和圆的重点知识，题目立意较新，难度较大，大家可适当挖掘这种类型的题目，以备不时之需。
参考题例2如图，平面直角坐标系中，和为两等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．设和的外接圆圆心分别为,．
（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
（Ⅲ）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）圆心．
∴圆方程为，
直线CD方程为．
∵⊙M与直线CD相切,
∴圆心M到直线CD的距离d=,
化简得： （舍去负值）．
∴直线CD的方程为．
（Ⅱ）直线AB方程为：，圆心N ．
∴圆心N到直线AB距离为．
∵直线AB截⊙N的所得弦长为4，
∴．
∴a=±(舍去负值) ．
∴⊙N的标准方程为．
（Ⅲ）存在．
由（Ⅱ）知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴当且仅当圆N半径,即a=4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为 ．
此时， ⊙N的标准方程为．
函数与导数
高考命题趋势分析：结合前几年考查的函数大题，我们认为函数综合问题应该常与方程及不等式知识结合，突出考查多种数学语言的转换、整体考虑函数的性质等重要思想．三次函数如何考查？二次函数还能从什么角度考查？而三次函数的考查受分解因式代数变形等制约，试题的命制困难很大。对一般函数的考查，是考查函数的性质图像？还是其性质与不等式有机结合问题？或与绝对值结合的问题？另外抽象函数可以怎么考？
导数方法如何考查？导数方法的考查无非是该对哪一个函数求导数，即导数作用于哪一个函数，受求导法则的限制，导数方法考查的突破可能性不大。最重要的是导数作为一种工具可以解决函数的许多问题.
题例 已知函数.
（Ⅰ）当时,是否存在最小值,若存在,请求出相应的值；若不存在,请说明理由.
（Ⅱ）当时,若的图象上存在两点,使得直线轴，求实数的取值范围. ( )
命题意图：指导思想是从常见函数入手，表层是对导数工具作用（切线和单调性）的考查，深层是对二次函数不等式结合点的考查，但题目情境新，考查了学生的审题和转化能力，理清本题中的函数与方程的关系、函数与不等式的关系是顺利求解的关健．第（１）问的入手难度不高，但后续工作比较困难，学生如果不能对该函数有整体把握，错误在所难免；第（２）问需要理解转化，否则无从下手或求解混乱。
参考题例1已知函数满足下列条件：
①函数的定义域为[0，1]；
②对于任意；
③对于满足条件的任意两个数
（1）证明：对于任意的；
（2）证明：于任意的；
（3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.
（1）证明：对于任意的
即对于任意的
（2）证明：由已知条件可得
所以对于任意的
（3）解：取函数
则显然满足题目中的（1），（2）两个条件，
任意取两个数
即不等式
参考题例2 设函数f（x）＝sinx＋cosx和g（x）＝2sinxcosx．
（Ⅰ）若a为实数，试求函数F（x）＝f（x）＋ ag（x），x∈[0，]的最小值h（a）；
（Ⅱ）若存在x0∈[0，]，使 | a f（x）－g（x）－3|≥ 成立，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）F（x）＝sinx＋cosx＋2asinxcosx，
令sinx＋cosx＝t，t∈[1，]，则2sinxcosx＝ t2－1，
F（x）＝m（t）＝at2＋t－a，t∈[1，]．
①当a＜0时，m（t）＝at2＋t－a＝a（t＋）2＋－a是开口向下，对称轴t＝－的抛物线．
若t＝－≥，即1－≤a＜0， 则h（a）＝ m（1）＝1．
若t＝－＜，即a＜ 1－，则h（a）＝ m（）＝ a＋．
②当a＝0时，m（t）＝at2＋t－a是[1，]上的增函数，h（a）＝ m（1）＝1．
③当a＞0时，m（t）＝at2＋t－a＝a（t＋）2＋－a是开口向上，对称轴t＝－＜0的抛物线，故在区间[1，]上是增函数，所以h（a）＝ m（1）＝1．
综上所述，
（Ⅱ）令sinx＋cosx＝t，t∈[1，]，
| a f（x）－g（x）－3|＝| a（sinx＋cosx）－2sinxcosx－3|
＝| t2－at＋2|≥，t∈[1，]，
∴ t2－at＋2≥，或t2－at＋2≤－．∴ a≤t＋，或a≥t＋．
当t∈[1，]时，t＋∈[，]，t＋∈[，]．
∴ a≤，或a≥．
数列
高考命题趋势分析：高考对数列的考查是必不可少的，这是后继学习的需要．对递推关系的考查突破了以往的仅写前几项的要求.数列可以与函数、解析几何和不等式结合在一起考查，数列与不等式的结合考查其难在不等式的解决方法思考上．在二轮的复习中，每个学校对数列综合题的训练力度较大。今年对数列的考查是从考查等差或等比数列的基本量入手，还是继续考查由递推数列的有关问题值得思考．另外数列的表达式可分段给出值得注意。
题例 已知数列的前项和满足：为正整数，（其中表示不大于的最大整数）.
（Ⅰ）试证数列为等差数列，并求；
（Ⅱ）求数列的前和；
（Ⅲ）求证：..
答案： （1）是等差数列,
命题意图：指导思想是考查等差等比数列本质的知识和的关系，实际上这也是对数列最根本的考查．其第（1）问是对的关系进行考查，由易入手，第（2）问是对等差数列求和公式和求和方法的考查，要求有所提高，解决方法通过分类的方法弄清数列的构成，再选用合适的公式，而第（3）问的难度加大，是对学生思维高要求的考查，但其方法依然是数列中裂项求和，需要化成部分分式后实施不等变形．
参考题例1已知数列{an}中，a1＝－1，且 ，，n 成等差数列．
（Ⅰ）设，求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式；
（Ⅲ）若 对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．
Ⅰ）证明：，
∵，
，
∴数列{bn}是等比数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即．
∴．
（Ⅲ）∵，
∴，即．
设，，，
则cn 随着n的增大而减小，
∵=，
∴n≥5时，<0, dn随着n的增大而减小，
则n≥5时，en随着n的增大而减小．
∵c1＝，c2＝，c3＝，c4＝，c5＝，
d1＝－，d2＝0，d3＝，d4＝，d5＝，
∴e1＝0，e2＝，e3＝，e4＝，e5＝．
则e1＜e2＞e3＞e4＞e5>……．
∴e2＝最大．
∴实数k的取值范围k≥．
参考题例2数列中,,其前项的和为.
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）求证：.
（I）证明：
∵
∴
∵，
∴＝
是首项为2，公差为1的等差数列.
(II)解:
=,
=.
(III)证明: ，
.
.

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