资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题三十二 椭圆及其性质
知识归纳
一、椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、、 、、、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为,换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径：又焦半径： 上焦半径：下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
方法技巧与总结
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
典例分析
题型一、椭圆的标准方程充要条件
【例1-1】“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【答案】C
【解析】因为（）是焦点在轴上的椭圆，
所以,解得：，由可得成立，反之不能推出成立.
所以”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．
【例1-2】“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是,
显然“，”是“”既不充分也不必要条件，
故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当时，满足“，”，此时题中方程可化为：,表示的曲线是圆而不是椭圆，当时，不满足“，”，只是题中方程可化为：,表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，
故：“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件.
【例1-3】已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述错误的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆 B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆 D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
【答案】B
【解析】由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或．其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
题型二、椭圆的定义与标准方程
【例2-1】（多选题）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
【答案】BD
【解析】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.
【例2-2】已知、动点满足，则动点的轨迹方程_______．
【答案】
【解析】因为，所以，点的轨迹是以、的椭圆，
且，则，，则，
因此，动点的轨迹方程为.
【例2-3】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)经过点，；
(3)一个焦点为，一个顶点为；
(4)一个焦点为，长轴长为4；
(5)一个焦点为，离心率为；
(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2.
【解析】（1）由题设，，又焦点在y轴上，故椭圆标准方程为；
（2）设椭圆方程为，又，在椭圆上，
所以，即，故椭圆标准方程为.
（3）由题设，，则，又焦点为
所以椭圆标准方程为.
（4）由题设，，则，又焦点为
所以椭圆标准方程为.
（5）由题设，，则，，又焦点为
所以椭圆标准方程为.
（6）由题设，，则，故，
所以椭圆标准方程为或.
【例2-4】已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【答案】或
【解析】，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
故顶点的轨迹方程为或
【例2-5】过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且.
设它的标准方程为，
因为，且，故①，
又点在所求椭圆上，所以②
由①②得，，所以所求椭圆的标准方程为.
【例2-6】已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，所以点轨迹方程是．
【例2-7】动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，
所以，即，整理可得：，即.
【例2-8】已知定点,直线相交于点，且它们的斜率之积为，则动点的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】设点，
动点的轨迹方程为
【例2-9】设F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
【答案】x2＋y2＝4
【解析】由题意，延长F1D，F2A并交于点B，
易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，
又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，
从而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，
设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.
【例2-10】已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
【答案】()．
【解析】由圆，圆得到，半径，，半径，
设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：，
∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴，
∴，即到和到的距离之和为定值，
∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以，
∴动圆圆心的轨迹方程为，
又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上，
所以所求轨迹方程为：.
【例2-11】如图，已知△ABC的两顶点坐标，，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】由题意结合切线长定理可得，，，
所以，
所以动点C的轨迹是以，为焦点的椭圆（不在x轴上），
且该椭圆满足，，所以，所以该椭圆方程为.
【例2-12】已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设的中点为，切点为，
连，，则三点共线，
且，
取关于轴的对称点，连，
根据中位线的性质有．
且当在时也满足题意.
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆．
其中，，，则动点的轨迹方程是．
【例2-13】已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，所以为的中点，
又因为，所以，
过点O作OM⊥AB于点M，则，
根据，可得，所以，
因为A为上顶点，所以
根据双曲线定义可知：，所以，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，即，
所以，故，
所以椭圆方程为：
【例2-14】已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．
【答案】
【解析】因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，
又，
所以，由椭圆的定义可得，
设直线l与交于点M，则M为的中点，且，
所以
，
解得或1（舍去），所以，，则C的方程为：．
【方法技巧与总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
题型三、椭圆的简单几何性质问题
【例3-1】已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的方程为，
所以，，，又椭圆的离心率为
所以，解得，所以,
所以椭圆E的长轴长为．
【例3-2】椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】在椭圆中，，，.
易知.又，所以为等边三角形，
即，所以，即.
【例3-3】已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的左焦点为，所以，又垂直于轴，在椭圆上，
故可设，所以，又，所以，又
所以．，解得从而.
【例3-4】椭圆的焦距为4，则m的值为___________.
【答案】7或11
【解析】在椭圆中，由已知可得，解得.
若椭圆的焦点在x轴上，可得，解得；
若椭圆的焦点在y轴上，可得，解得.
因此，或11.
【例3-5】已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，，
所以该圆的方程为：，
由，消去y得：解得，
又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上，
由于的左右顶点横坐标分别为-3和3，
∴为使为锐角，的取值范围是
又动点坐标在第一象限．
【例3-6】已知椭圆满足，长轴上2021个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；则4042条直线的斜率乘积为___________．
【答案】
【解析】由椭圆的对称性可知：，
同理可得：，
所以4042条直线的斜率乘积为.
【例3-7】（多选题）已知为坐标原点，椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点，（在第一象限），，P为轴上一点，，面积的最大值为1，且直线与椭圆的另一个交点为，则当的面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A． B．点为椭圆的右焦点
C． D．的面积为
【答案】AD
【解析】如图，取椭圆的右焦点为，连接
由对称性可得，
所以，则椭圆C的方程为，
又由题可知，将代入椭圆方程，
得，
得点M的坐标为，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因为面积的最大值为1，所以，得，则，
当的面积最大时，，则，，，
故直线NP的方程为，代入椭圆方程，得，则，
因为，所以与MQ不垂直；
又，点Q到直线的距离为，
故的面积为
综上可知A，D正确，B，C错误；故选：AD．
【例3-8】已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在y轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，
双曲线的左顶点为，右顶点为，
由于椭圆以，为顶点，则，该椭圆的离心率为，
所以，，解得，所以，椭圆的方程为，
设点，由于，则点，
由于点在椭圆上，点在双曲线上，
所以，，联立得：，解得或，
当，所以，此时点与点重合，不满足题意舍去；
当，所以，所以.
【例3-9】（多选题）已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．点到直线的距离为
D．直线，的斜率之积为
【答案】ABD
【解析】由题知，，，，
所以，，的中点为，
所以，的垂直平分线的方程为，
因为，，三点共线，所以，整理得，
所以，即
所以，，故A选项正确；
所以，即，解得或（舍）
所以，椭圆的离心率为，故B选项正确；
因为直线的方程为，即，
所以，点到直线的距离为，故C选项错误；
设，则，故，
由于，
所以，故D选项正确；故选：ABD
【方法技巧与总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
题型四、椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【例4-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
【答案】
【解析】椭圆，所以，即、，
直线过左焦点，所以，，，
所以.
【例4-2】设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.
【答案】
【解析】由，且，
在中，∠
.
【例4-3】椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，．
【例4-4】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，点P为椭圆的上顶点，若的面积为1，则右焦点的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知，解得，故右焦点的坐标为.
【例4-5】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【解析】因为，
，所以，又
记，则，
②2-①整理得：，所以
【例4-6】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
又，解得，
.
【例4-7】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
【例4-8】已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
【例4-9】若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为________.
【答案】
【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，所以，，
此时，，满足，
所以为等腰直角三角形，所以．
【例4-10】已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．
【答案】10
【解析】椭圆的方程为，∴，，，
连接，，则由椭圆的中心对称性可得
的周长，
当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，．
【例4-11】已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.
【答案】
【解析】由已知条件得，，，
则（－1，0），（1，0）.
设点P的坐标为（，），则，
，即①，
∵第一象限点P在C上，∴则，即②，
联立解得，由椭圆的定义得
设的内切圆半径为r，则
又∵，∴，即.
【例4-12】设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，
此时的面积为 ，
设内切圆半径为r,则,
即；
三角形内切圆半径公式的推导：
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时,此时，由为等腰三角形，
可知,则，
的面积为，
则,即，
综合可得的内切圆半径为或，故选：D
【例4-13】已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
设的内切圆半径为，
所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以
因为，所以，可得，
又椭圆的长轴长为4，即，
由，求得，所以的面积的故选：A
【例4-14】设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，又，
由以上两式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，所以.
【例4-15】（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则 D．的取值范围为
【答案】CD
【解析】根据题意:可得，的最小值为1，所以，
则，所以椭圆方程
当为该椭圆顶点时，此时,所以存在点，使得，故A错误；
当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形，
又因为，，所以满足的点有两个，
同理，满足的点有两个，故B错误.
若，则，所以C正确.
因为,
分析可得，，所以D正确.
题型五、椭圆的最值问题
【例5-1】已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．
【答案】1
【解析】由椭圆C：知：，故，
所以，所以，的最小值为.
【例5-2】已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，
于是得，
因，则当时，，所以的最大值为.
【例5-3】已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
【答案】1
【解析】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以,即的最小值为1.
【例5-4】设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.
【答案】
【解析】由题可知，＝1，设，
，，
则
，
∴当时，.
【例5-5】（多选题）已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△PF1F2的周长为8+2
C．|PF1|的取值范围为[，4） D．tan∠F1PF2的最大值为3
【答案】ABD
【解析】对于，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在轴上，故正确；
对于，因为，而的周长为，故B正确；
对于，因为不在轴上，所以，
所以的取值范围为，故C不正确；
对于，设椭圆的上顶点为，则，
所以的最大值为.设，则，且，
而，所以的最大值为，故D正确.
【例5-6】已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
【答案】9
【解析】根据题意可得：
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点
∴，即
∵，即点A在椭圆内
，
当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
【例5-7】设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可得，，则，
因为，则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
如上图，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
如上图，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
【例5-8】已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,,故,
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
【例5-9】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________
【答案】
【解析】记椭圆的左焦点为，
由椭圆的定义可得，，
所以，
由得，
即圆的圆心为，半径为，
作出图形如下：
由圆的性质可得，，
（当且仅当四点共线时，等号成立.）
【例5-10】过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
【答案】
【解析】，，，
易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
【例5-11】已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．
【解析】由椭圆方程可得，则，
如图所示：
设锐角，在中，，
因为，即，故，
所以.
【例5-12】为椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意，圆心为椭圆的右焦点，圆的半径为，
因为为圆的任意一条直径，
，
由椭圆的定义可得，
所以．
【例5-13】若平面向量满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，且，
不妨设，
则，
由，即，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，
∴，
则，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
即，故.故选：D.
【例5-14】（多选题）已知点，，为圆上的点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A，以为两个焦点，长轴长为的椭圆可表示为：，
由得：，
若椭圆与圆有交点，则可设交点横坐标为，则，
，解得：，
则此时可令一交点为，则，A正确；
对于B，（当且仅当在线段延长线上时取等号），
当时，，B正确；
对于C，设，，则，
；
，
，当时，，C错误；
对于D，，令
，
，
在上单调递增，且，，
，使得，则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
又，，
，即的最大值为，D错误.故选：AB.
题型六、离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
【例6-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意四边形为平行四边形，
又由四点共圆，可得平行四边形为矩形，即
又直线的倾斜角为，则有
则，，则，即
则椭圆的离心率
【例6-2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】由椭圆的光学性质可知，都经过，
且在中，，
如图，
所以，
由椭圆的定义可知，即，又，
可得，在中，，
所以，所以.
【例6-3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】如图所示：延长，交于点Q，
∵PA是的外角平分线，
，，
又O是的中点，，且.
又，
，，∴离心率为.
【例6-4】已知椭圆的左 右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】连接，，，设，
因为，所以四边形为平行四边形，
而，故四边形为矩形，故.
又，
由椭圆的定义可得，，
，即，
解得，∴是短轴的端点，且，，.
【例6-5】设，是椭圆：的左、右焦点，过点斜率为的直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因过点斜率为的直线交椭圆于点，则有，，
因此，在中，，
令椭圆半焦距为c，于是得，，
由椭圆定义得：，，
所以椭圆的离心率是.
【例6-6】已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
所以，则，
由椭圆的定义可得，
所以，因为，
所以，解得，，
在中，，
在中，，
因为，所以，即，所以
所以.
【例6-7】设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】
【解析】设椭圆 ，，
设 由椭圆的定义可得，
可得
取 的中点 ，连接 ，则
由勾股定理可得
即为
将带入上式化简可得，所以，
所以，所以或者，所以或（舍），所以 .
【例6-8】已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
方向2：利用与建立一次二次方程不等式
【例6-9】设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
【例6-10】椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，
化简得，即，则，，
因为 ，所以,解得或（舍）.
【例6-11】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得如图椭圆，是直角三角形，
，不妨设，则，
因为，
所以，
，
所以离心率．
【例6-12】已知椭圆）的左 右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，所以，即.
【例6-13】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意作图如下：
设 ， ，则有 ， ，
， ， ， ，得：…① ，
化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上，
即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点
（与右顶点重合显然不满足题意），
圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外，
，即 ，因为是椭圆，所以 ；故选：A.
【例6-14】设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A
(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为( )
A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]
【答案】D
【解析】如图：设椭圆的另一个焦点为，
因为，所以
由，所以，
所以，即，所以.
因为点在椭圆内，所以，所以，
所以，解得，因为，所以.
【例6-15】已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 因为，，不妨设，，，
由椭圆定义可知：，，
由勾股定理可知：，即，化简可得：，
点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：.
令在上单调递增，所以，解得：，，又，且在椭圆内部，所以，则，.
方向3：利用最大顶角满足
【例6-16】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当和垂直于时，恰有4个点满足是直角三角形，
由条件可知，点不是直角顶点，则以为直径的圆与椭圆无交点，
则，得，解得：，
所以椭圆离心率的取值范围是.
【例6-17】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知：，在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，故，
所以，，解得：.
方向4：坐标法
【例6-18】已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线，
切线斜率，所以PM的斜率，直线PM的方程为，
令，得，所以，由题， ，所以，．
【例6-19】已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，故，，
由点在椭圆上，故，整理得，故离心率.
【例6-20】已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点，，中，，
而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得，
令椭圆半焦距为c，，
由得：，解得，
而，因此，即，又，则，
整理得，而，则有，解得，
所以该椭圆的离心率为.
【例6-21】已知椭圆的左 右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
【答案】
【解析】如图，设与轴的交点为，连接，
因为平行于轴，故为的中点，且，
故，又，故，
因为，故，所以，
故四边形为：
，故即离心率为.
【例6-22】若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，
所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以所以
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【例6-23】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，解得或（舍去）.
【例6-24】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
【答案】
【解析】设关于平分线的对称点为Q，则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
【例6-25】已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，，过作外角平分线的垂线交的延长线于N点．若，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设与外角平分线的交点为,设，
由于，,所以,进而，所以,
设，则，在中，由余弦定理得,，两式联立得，即，解得或，
由于，故，
【例6-26】分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在轴上方分别与交于、两点，若与之间的距离为，且（表示面积，为坐标原点），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知直线、的斜率一定存在，
设、，过点作于点，
由题意知，，
所以，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
同理在中利用余弦定理可得，
因为，所以，即，即，所以.
【例6-27】已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，,故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，
所以椭圆离心率为.
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【例6-28】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
【例6-29】已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
【例6-30】过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率.
方向7：利用基本不等式
【例6-31】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为.
【例6-32】设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，
则，，因为，
所以
，
所以，则，解得.
【例6-33】已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴,即，
∴，即，所以，
故椭圆离心率的最大值为.
【例6-34】已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.
【答案】；
【解析】设为椭圆的另一焦点，如图，连接，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形，
又因为，所以.
在中，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即，
又因为，所以，
又因为，故.
方向8：利用焦半径的取值范围为．
【例6-35】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率.
【例6-36】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，，
由题意可得，解得，又，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
【例6-37】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】设点的横坐标为，，则由椭圆的定义可得，
，由题意可得，
，，，
则该椭圆的离心率的取值范围是，．
【例6-38】已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
方向9：利用椭圆第三定义．
【例6-39】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法1：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，所以，即，
所以椭圆的离心率.
解法2：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，由椭圆第三定义得：，故
所以椭圆的离心率.
【例6-40】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，所以．
题型七、椭圆的中点弦问题
【例7-1】已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点、，则的中点为，
则，可得.
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；
故直线的斜率存在，且，
由于A、两点都在椭圆上，则，
两式相减得，即，
因为在直线AB上，故，故，即，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【例7-2】若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为______．
【答案】
【解析】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，
设椭圆方程为，
由，消去，得，
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，则
由题意知，解得．所求椭圆方程为．
法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，
设椭圆的方程为．
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则得，
即，又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得，解得，
故所求的椭圆方程为．
【例7-3】已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．
【例7-4】已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，则的面积是 ．
【答案】
【解析】因为直线过点、，
所以，所以直线，
设，，则，，所以、，
所以，即
所以，即，又，所以，
又，，所以，所以椭圆方程为，
联立直线AB与椭圆方程为，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
题型八、椭圆与直线的综合问题
【例8-1】已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为__________．
【答案】
【解析】由题知，
所以椭圆的焦点坐标为
所以，由得，
所以，为等边三角形，且
因为，当时，解方程得，
所以，直线过点，且倾斜角为，即，
所以，直线为为等边三角形中角的角平分线，
所以，直线为边的中垂线，
所以，
因为
所以，的周长为
，
【例8-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______.
【答案】
【解析】因为椭圆的离心率，所以，，
所以椭圆的方程为，即，
在中，，，所以为正三角形，
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
所以DE为线段的垂直平分线，直线DE的斜率为，
所以直线的方程为，
设，，由，
得，
所以，，
所以，解得，
所以，
因为为线段的垂直平分线，所以，，
所以的周长为.
【例8-3】已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，
由题意可得，解得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）若直线与轴重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可得，即.
联立消去得，即，
．
设、，则，．
所以，
．
令，则，则，
当且仅当时等号成立，此时，．
故的最大值为．
【例8-4】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，所以.
设椭圆方程为，将代入，得.
故椭圆方程为.
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴，
另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，则，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
综合②可知，的取值范围为.
【例8-5】已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由题可知，解得
故椭圆的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，
由，，得，
同理，当,时，得，所以，
当直线l的斜率存在时，即时，
设直线的方程为，
联立，消去y得.
因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以，
即①.
设，则②，
则，
由，得③，
③代入②得，
化简整理得④，
将④代入①得，化简得，解得或.
综上，m的取值范围为.
【例8-6】已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
（1）求C的标准方程；
（2）点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设椭圆C的焦距为，由题意得，解得，
∴C的标准方程为．
（2）由题可知，，设，，
则，设：．
联立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵点P为直线AM'和BN的交点，
∴，
故
，
∴，故：．
联立消去y得，
因此，点Q位于定直线上．
【例8-7】如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．过点的直线与该椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）依题意可知，，
所以椭圆的方程为：；
（2）(方法一)设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，
则，则，所以点的坐标为，
同理，可解得点的坐标为，
当时，此时，因为，则，
当时，此时，
由三点共线，得，化简有，
由题知同号，所以，故存在，使得成立．
(方法二)当直线垂直于轴时，点的坐标分别为，
所以此时直线与的斜率分别为，有，
由此猜想：存在满足条件，下面证明猜想正确．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
联立方程组，
，，
，，
由此可得猜想正确，故存在，使得成立．
【例8-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)；(2)点或
【详解】（1）∵△为等边三角形，且，∴，
又∵，∴，设椭圆的方程为，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由已知得，设，,
则直线的斜率为，直线的方程为，即点坐标为，
直线的斜率为，直线的方程为，即点坐标为,
∵,∴,∴，
又∵，，
∴，即，
整理得，
①若直线的斜率存在时,设直线的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立得，
其中，
，，
即，，，所以或，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
②若直线的斜率不存在时，
由得，即，解得或，
此时直线的方程为或，所以此时直线恒过点或，
综上所述，直线恒过点或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题三十二 椭圆及其性质
知识归纳
一、椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围 且 且
顶点 、、、 、、、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为,换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径 左焦半径：又焦半径： 上焦半径：下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
方法技巧与总结
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
典例分析
题型一、椭圆的标准方程充要条件
【例1-1】“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【例1-2】“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例1-3】已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述错误的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆 B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆 D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
题型二、椭圆的定义与标准方程
【例2-1】（多选题）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
【例2-2】已知、动点满足，则动点的轨迹方程_______．
【例2-3】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)经过点，；
(3)一个焦点为，一个顶点为；
(4)一个焦点为，长轴长为4；
(5)一个焦点为，离心率为；
(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2.
【例2-4】已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【例2-5】过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
【例2-6】已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【例2-7】动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________.
【例2-8】已知定点,直线相交于点，且它们的斜率之积为，则动点的轨迹方程为_______．
【例2-9】设F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
【例2-10】已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
【例2-11】如图，已知△ABC的两顶点坐标，，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨迹方程为___________.
【例2-12】已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．
【例2-13】已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-14】已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．
【方法技巧与总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
题型三、椭圆的简单几何性质问题
【例3-1】已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A． B． C． D．
【例3-2】椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【例3-3】已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
【例3-4】椭圆的焦距为4，则m的值为___________.
【例3-5】已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________．
【例3-6】已知椭圆满足，长轴上2021个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；则4042条直线的斜率乘积为___________．
【例3-7】（多选题）已知为坐标原点，椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点，（在第一象限），，P为轴上一点，，面积的最大值为1，且直线与椭圆的另一个交点为，则当的面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A． B．点为椭圆的右焦点
C． D．的面积为
【例3-8】已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在y轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-9】（多选题）已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．点到直线的距离为
D．直线，的斜率之积为
【方法技巧与总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
题型四、椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【例4-1】已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
【例4-2】设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.
【例4-3】椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【例4-4】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，点P为椭圆的上顶点，若的面积为1，则右焦点的坐标为___________.
【例4-5】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．9
【例4-6】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-8】已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【例4-9】若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为________.
【例4-10】已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．
【例4-11】已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.
【例4-12】设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【例4-13】已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【例4-14】设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A． B． C． D．
【例4-15】（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则 D．的取值范围为
题型五、椭圆的最值问题
【例5-1】已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．
【例5-2】已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
【例5-3】已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
【例5-4】设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.
【例5-5】（多选题）已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△PF1F2的周长为8+2
C．|PF1|的取值范围为[，4） D．tan∠F1PF2的最大值为3
【例5-6】已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
【例5-7】设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5-8】已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【例5-9】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________
【例5-10】过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
【例5-11】已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．
【例5-12】为椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________．
【例5-13】若平面向量满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5-14】（多选题）已知点，，为圆上的点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
题型六、离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
【例6-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．
【例6-3】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【例6-4】已知椭圆的左 右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________.
【例6-5】设，是椭圆：的左、右焦点，过点斜率为的直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例6-6】已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-7】设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．
【例6-8】已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是( )
A． B． C． D．
方向2：利用与建立一次二次方程不等式
【例6-9】设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-10】椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【例6-11】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例6-12】已知椭圆）的左 右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-13】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6-14】设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A
(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为( )
A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]
【例6-15】已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方向3：利用最大顶角满足
【例6-16】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例6-17】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
方向4：坐标法
【例6-18】已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-19】已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-20】已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-21】已知椭圆的左 右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
【例6-22】若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【例6-23】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-24】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
【例6-25】已知椭圆C：，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，，过作外角平分线的垂线交的延长线于N点．若，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
【例6-26】分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在轴上方分别与交于、两点，若与之间的距离为，且（表示面积，为坐标原点），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-27】已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【例6-28】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-29】已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【例6-30】过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
方向7：利用基本不等式
【例6-31】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例6-32】设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-33】已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【例6-34】已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.
方向8：利用焦半径的取值范围为．
【例6-35】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-36】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【例6-37】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【例6-38】已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
方向9：利用椭圆第三定义．
【例6-39】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例6-40】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
题型七、椭圆的中点弦问题
【例7-1】已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为______．
【例7-3】已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例7-4】已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，则的面积是 ．
题型八、椭圆与直线的综合问题
【例8-1】已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为__________．
【例8-2】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______.
【例8-3】已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【例8-4】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
【例8-5】已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.
【例8-6】已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
（1）求C的标准方程；
（2）点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．
【例8-7】如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．过点的直线与该椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【例8-8】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑