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2023-2024小升初数学知识点汇编
第一章 数与代数
一．数的意义和性质
1.数的分类
正整数 正整数 正数
自然数
整数 零
正分数（正小数）

1 负整数数 负整数 2 数 负数
负分数（负小数）
正分数（正小数）
分数（小数）

负分数（负小数） 零
纯小数
按整数部分是否为0
带小数
有限小数
3 小数的分类
无限不循环小数
按小数部分的位数是否有限
无限小数 纯循环小数
循环小数 混循环小数
2.数的意义
意义
像…-3、-2、-1、0、1、2、3…这样的数统称为整数；整数有无限个；
整数
没有最小的整数，也没有最大的整数。
像 1、2、3、…这样的数叫做正整数；像…-3、-2、-1 这样的数叫做负
正整数和负整数 整数；最小的正整数是 1，没有最大的正整数；最大的负整数是-1，没
有最小的负整数。
用来表示物体个数的 0、1、2、3、4、5…叫做自然数；最小的自然数
自然数 数是 0，没有最大的自然数；自然数都是整数；自然数可以表示个数或
次序。
像+5、125 3、π、 、1.26…这些大于 0 的数叫做正数；
4
正数和负数 5
像-8、-20、-π、 、 3.14…这些小于 0 的数叫做负数；
7
0 既不是正数也不是负数。
小数 把单位“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份…，这样的一份或几份
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可以用分母是 10、100、1000、…的分数来表示，也可以用小数来表示。
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或
百分数
百分比。
3.数位
整数部分 小
数 小数部分
… 亿级 万级 个级
点
千 百 十 千 百 十 十 百 千 万
数 亿 万 千 百 十 个
… 亿 亿 亿 万 万 万 分 分 分 分 …
位 位 位 位 位 位 位
位 位 位 位 位 位 位 位 位 位
计 · 十 百 千 万
数 千 百 十 千 百 十 分 分 分 分
… 亿 万 千 百 十 个 …
单 亿 亿 亿 万 万 万 之 之 之 之
位 一 一 一 一
4.性质
性质
分数 分子和分母同乘或除以相同的数（0 除外），分数大小不变。
末尾添去 0，大小不变。
右移 1 位、2 位、3 位…扩大为原来的 10 倍、100 倍、1000 倍…。
小数
小数点移动 1 1 1
左移 1 位、2 位、3 位…缩小为原来的 、 、 。
10 100 1000
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二.数的读写
读法 写法
先把数分级，再从 从高位到低位，一
高位起，一级一级 级一级地写，哪一
2502502500
地读，每一级末尾 个数位上一个单 三亿零二百万三
读作：二十五亿零
整数 的 0 都不读，每一 位也没有，就在那 千
二百五十万二千
级中间有 1 个 0 或 个数位上写 0。 写作：302003000
五百
连续几个 0，都只读
一个零。
整数部分按照整数 整数部分按照整
的读法读，小数点 数的写法来写，小
250.025 一百八十二点零
读作“点”，小数 数点写在个位右
小数 读作：二百五十点 零七三
部分从左向右顺次 下角，小数部分顺
零二五 写作：182.0073
读出每一位数位上 次写出每一个数
的数字。 位上的数字。
先读分母再读“分 1 先写分数线，再写
10 三分之一
之”然后读分子， 分母，最后写分
读作：十分之一 1
分子和分母按照整 子，按照整数的写 写作： 3
分数 3 1数的读法来读。 法来写。
10 二又五分之一[]
读作：三又十分之 写作： 2 1
5
一
先读百分之，再读 在原来的分子后
25%
百分号前面的数， 面 加 上 百 分 号 百分之十点五
百分数 读作：百分之二十
读数时按照整数的 “%”来表示。 写作：10.5%
五
读法来读。
“+”读作正，“+” 在 数 的 前 面 加
后面十几就读几。 +50 “+”，“+”可以省 正三
正数
读作：正五十 略不写。 写作：+3
负二分之一
“-”读作负，“-” -20 在 数 的 前 面 加
负数 1
后面十几就读几。 读作：负二十 “-”，“-”不可以 写作：
2
省略。
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三.数的改写
1.四舍五入（≈）
在求近似数时，如果被舍去部分的首位数字小于 5，就直接舍去；如果被舍去部分的首位数字等于 5 或大于
5，就在保留部分的末位上加 1。
要求把小数保留到哪一位，先看这一位后一位上的数字，再按“四舍五入”法省略。
2.多位数改写为“万”、“亿”…
（1）直接改写：改写为“万”，小数点左移 4 位，后面加万；改写为“亿”，小数点左移 8 位，后面加亿；
（2）近似改写：先四舍五入省略掉“万”或“亿”后面的尾数，再在后面加“万”或“亿”。
3.假分数、带分数、整数互化
（1）假分数 整数、带分数
余数
余数 零，则假分数=商
分子 分母=商 余数 分母
余数=零，则假分数=商
（2）带分数 假分数
带分数整数部分 带分数分母+带分数分子
假分数=
带分数分母
4.小数、分数、百分数互化
（1）小数 分数
先改写成分母是 10、100、1000…的分数，再约分；
（2）分数 小数
分子÷分母；
（3）小数 百分数
先把小数点右移两位，再添加“%”；
（4）百分数 小数
先把小数点左移两位，再去掉“%”；
（5）分数 百分数
先把分数化成小数，再写成百分数；
（6）百分数 分数
先写成分数，再约分。
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四.比较大小
比较方法 举例
整 位数不同时，位数多的整数大； 235＞28
数 位数相同时，同一高位上的数越大，这个整数就越大。 6370＞6356
整数部分大的小数越大；
小 整数部分相同时，看小数部分，十分位上的数大的那个数 3.15＞1.2
数 就越大；十分位上相同的，百分位上的数大的那个数就越 2.56＞2.55
大…
（1）真分数或假分数，分母相同时，分子越大的分数越大； 3 2
5 5
分子相同时，分母越小的分数越大；分子或分母不同时， 3 3

先化为同分母或同分子的分数再比较。 5 7
分
（2）带分数，先比较整数部分，整数部分大分数越大；
3 3 2 3 2 1 5数 2
整数部分相同时，比较分数部分。 5 7 6 6
（3）带分数或假分数，先统一成带分数或假分数，再进行 7 8

比较。 4 7
拓展：分数比较大小的方法
通分子 分子相同，分母越小，分数越大。
通分母 分母相同，分子越大，分数越大。
比倒数 倒数大的分数小。
交叉相乘法 a d
比较 和 的大小：如果 ac bd a d，说明 大，反之 大。
b c b c
基准数法 1 1与 、 等特殊数比较。
2
两个真分数，如果分子与分母差相同，则分子和分母都大的分数比较大；
投篮法
两个假分数，如果分子与分母差相同，则分子和分母都小的分数比较大。
作差法 差大于 0，则被减数大；不够减，则减数大。
作商法 商大于 1，则被除数大；商小于 1，则除数大。
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五.因数、倍数、质数、合数
1.因数、倍数
如果a b c (a、b、c均为正整数且b 0)，除得的商是整数而没有余数：
（1）我们就说 a能被 b整除，或者说 b能整除 a；
（2） a是b、c的倍数， b、c是 a的因数。
（3）倍数和因数是相互依存的。
特殊数整除性判定
除数 被除数特点 举例
末 2 个位能否被 2、5 偶数，个位为：0、2、4、6、8
一 整除 个位为：0、5
5
位
末 4 最后两位能否被 最后两位为：00，08，16，20，24…
末位判断法 二 4、25 整除 最后两位为：00，25，50，75
25
位
末 8 最后三位能否被 最后三位为：000，008，016…
三 8、125 整除 最后三位为：000，125，250，500，625，
125
位 750，875
各数位数字和能 12345：1+2+3+4+5=15，15 能被 3整除，
3
否被 3、9 整除 所以 12345 能被 3 整除。
数字和判断法
123453：1+2+3+4+5+3=18，18 能被 9 整
9
除，所以 123453 能被 9 整除。
2.奇数、偶数
奇数：在自然数中，不是 2 的倍数的数,如 1、3、5、7、9、11…；
偶数：在自然数中，是 2 的倍数的数,如 0、2、4、6、8、10…。
3.质数、合数
质数：只有 1 和它本身两个因数的数。100 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、
37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；
合数：除了 1 和它本身外还有别的因数的数，如 4、6、8、9、12…。
1 既不是质数也不是合数；2 是最小的质数，也是唯一的偶数质数；
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质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫做这个合数的质因数；
例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；
2
例如把 28 分解质因数： 28 2 2 7 2 7 。
4.最大公因数、最小公倍数
最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因
数。
例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有 1、2、3、6、9、18；
其中，1、2、3、6 是 12 和 18 的公因数，6 是它们的最大公因数。[]
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍
数。
求两个数的最大公因数或最小公倍数：
（1）枚举法：先分别列举出这两个数的因数，再从中找出它们的公因数或公倍数。
例：2 的倍数有 2、4、6、8、10、12、14、16、18…；
3 的倍数有 3、6、9、12、15、18…；
其中 6、12、18…是 2、3 的公倍数，6 是它们的最小公倍数；
例：6 的因数有 1、2、3、6；
9 的因数有 1、3、9；
其中 1、3 是 6、9 的公因数，3 是它们的最大公因数。
（2）短除法：先用这两个数公有的质因数同时去除这两个数，直到所得的商互质为止。
最大公因数乘半边，最小公倍数乘半圈。
例：求 8 和 12 的最大公因数和最小公倍数。
最大公因数乘一边：2×2=4
最小公倍数乘一圈：2×2×2×3=24
（3）特殊情况:
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数；
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数；
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
互质：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
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①1 和任何自然数互质；
②相邻的两个自然数互质；
③两个不同的质数互质；
④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；
⑤两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数互质；
⑥如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
⑦如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1。
六.数的运算
1.四则运算的意义
整数 小数 分数
加法 求两个加数的和 同整数 同整数
减法 已知和和一个加数,求另一加数 同整数 同整数
乘法 求几个相同加数的和的简便运算 同整数 同整数
除法 已知乘积和一因数,求另一因数 同整数 同整数
2.四则运算的方法
整数 小数 分数
相同数位对齐,从低位加起, 同分母相加减，分母不变,
加法 小数点对齐,按照整
满十向高位进一。 分子相加减;异分母相加
数加减法计算,结果
相同数位对齐,从低位减起, 减,先通分，然后按同分母
减法 小数点对齐。
不够向高位借一。 法则计算;结果化简。
先按照整数乘除法计 分数乘整数，用分数的分子
从低位到高位分别用一个因
算,再看看因数中一 和整数相乘的积作分子，分
数的每一位去乘另一个因
乘法 共有几位小数,就左 母不变；分数乘分数，用分
数,积的末位和一位数因数
起数几位点商小数 子相乘的积作分子，分母相
末位对齐,乘积相加。
点。 乘的积作分母;化简。
从被除数的最高位除起,除 除数是整数，先按照
数有几位，就看被除数的前 整数除法法则去除，
几位，如果前几位比除数小， 商的小数点和被除数
甲数除以乙数（0 除外），
除法 就多取一位再除,除到哪一 的小数点对齐；除数
等于甲数乘乙数的倒数。
位，商就写在哪一位的上面; 是小数，先把它变成
如果哪一位商不够商 1，就在 整数，除数扩大相同
哪一位写“0”占位；余数必 的倍数，然后按照除
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须比除数小。 数是整数的除法法则
进行计算。
3.四则运算的顺序
(1)运算等级
第一级:加减法
第二级:乘除法
(2)运算顺序
先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。
4.运算律和运算性质
（1）运算律
说明 字母表示
加法交换律 交换两个加数位置和不变。 a b b a
先把前两个数相加,再加第三个数，或者先
加法结合律 a b c a b c
后两个数相加，再加第一个数，和不变。
乘法交换律 交换两个因数位置积不变。 a b b a
先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先
乘法结合律 a b c a (b c)
把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。
两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分
乘法分配律 a (b c) a b a c
别与这个数相乘，再把两个积相加。
（2）运算性质
说明 字母表示
一个数减去两个数的和，等于这个数依次减 a b c a b c [ ]
减法性质
去这两个数。
一个数除以两个数的积，等于这个数依次除 a (b c) a b c
除法性质
以这两个数。
七.解决问题
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1.基本应用题
类型 公式
和倍 “1”=和÷（倍+1）
差倍 “1”=和÷（倍-1）
和差倍
大数=（和+差）÷2
和差
小数=（和-差）÷2
正归一 单一量×份数=总量
归一问题
反归一 总量÷单一量=份数
还原问题 逆运算推导原数
基本 间距数=总长÷间距长
两端都种：棵树 =间距数+1
植树问题 直线植树 两端都不种：棵树=间距数-1
一端种一端不种：棵树=间距数
环形植树 棵树=间距数
盈亏问题 份数=（盈+亏）÷分配差
盈亏问题 盈盈问题 份数=（大盈-小盈）÷分配差
亏亏问题 份数=（大亏-小亏）÷分配差
年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题
假设全是鸡，少了几条腿；
鸡兔同笼 假设法
除以腿的差，就是兔的数。
算术平均数 数量和÷数量=算术平均数
平均数
加权平均数 （部分×权数）总和÷权数和=加权平均数
基本行程 速度×时间=路程
相遇问题 速度和×相遇时间=路程和
追及问题 速度差×追及时间=路程差
行程问题
顺水速度=船速+水速
流水行船 逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
火车过桥 路程和=车长+桥长
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2.分百应用题
类型 公式
量率对应 分率=分率对应量÷单位“1”
利润=售价－成本
利润率=利润÷成本×100%
利润问题
=(售价÷成本－1)×100%
经济问题
打八折：按定价的 80%出售
利息=本金×利率×时间
利息问题
利息税=本金×利率×时间×税率
溶液重量=溶质重量＋溶剂重量
浓度=溶质重量÷溶液重量×100%
浓度问题
溶液重量×浓度=溶质重量
溶质重量÷浓度=溶液重量
工程问题 工效×工时=工总“1”
3.常用单位换算
换算方法
1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米
长度
1 米=100 厘米 1 厘米=10 毫米
1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米
面积
1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米
1 立方米=1000 立方分米=1000 升 1 立方分米=1000 立方厘米
体（容）积
1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升
重量 1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克=1 公斤 1 斤=500 克
人民币 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分
1 世纪=100 年 1 年=12 月；
一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八；
时间 平年 365 天，闰年 366 天；
1 小时=60 分钟 1 分钟=60 秒 1 小时=3600 秒；
十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪。
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八.式与方程
1.用字母表示数
意义和作用：
（1）用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果；
（2）用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何图形的计算公式。
2.简易方程
（1）方程和方程的解
方程：含有未知数的等式叫做方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
（2）解方程（五步法）
4
步骤 说明 示例： x
1
x 9 5
3 3
去分母 “=”两边同乘分母的最小公倍数 4x x 9 15
去括号 括号前是减号，去括号要变号 4x x 9 15
移项 过桥要变号！“+”、“-”互变 4x x 15 9
合并同类项 含有 x的项合并，数与数合并 3x 6
系数化为 1 “=”两边同时除以 x的系数 x 2
3.列方程解应用题（审、设、列、解、验、答）
步骤 说明
审 仔细读题，分析应用题所属类型，找等量关系
设 设未知数，一般问谁设谁，复杂题目缺谁设谁
列 列方程，根据应用题中的等量关系列方程
解 五步法解方程
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验 检验答案是否满足方程，是否符合题目实际要求
答 写出答案
九.比和比例
1.比的意义和性质
比 比例
意义 表示两个数相除 表示两个比相等的式子
各部分
名称
比的前项和后项同时乘或除以相
基本 内项之积=外项之积同的数（0 除外），比值不变
性质
作用：化简比 作用：解比例
2.比与分数、除法的关系
联系 性质 举例
比 前项 比号(:) 后项 比值[] 基本性质 2:3
2
分数 分子 分数线(—) 分母 分数值 基本性质
3
除法 被除数 除号（÷） 除数 商 商不变 2÷3
3.求比值和化简比
意义 方法 结果
一个整数、分数或小
求比值 前项除以后项所得的商 前项除以后项
数
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化简比 最简整数比 前项和后项同除以最大公因数 一个比
4.正比例、反比例
不同点
相同点
意义 变化方向 关系式
x 都是两种相关联的
正比例 两种量商一定 相同 k（k一定）
y
量，其中一种量随另
反比例 两种量积一定 相反 xy k （k一定） 一种量变化而变化
5.比例尺
图上距离:实际距离=比例尺
数值比例尺
按表现形式
线段比例尺
比例尺
缩小比例尺
按将实际距离放大还是缩小 放大比例尺
6.按比例分配
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比
例分配。
方法：先求一份量，再求部分量。
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第二章 图形与几何
一．图形的认识与测量
1.平面图形的认识
（1）图形的分类


三角形

平行四边形 长方形 正方形平面图形 四边形
梯形
图形 圆环 圆
扇形
长方体 正方体
立体图形 圆柱

圆锥
（2）直线、射线、线段
图形 意义 特点
线段 直线上两点间部分 两个端点，可以度量
射线 线段一端无限延伸 一个端点，不可度量
直线 线段两端无限延伸 没有端点，不可度量
（3）垂直与平行
垂直：相交成直角（ 90 ）。
平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线之间距离处处相等。
（4）角的分类
图形 特点
锐角 大于 0 小于 90
直角 等于 90
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钝角 大于 90 小于180
平角 等于180
周角 等于 360
（5）三角形
意义 三条线段首尾顺次连接围成的封闭图形
名称 边、顶点、内角
锐角三角形 三个角都是锐角
按
分类 直角三角形 有一个角是直角
角
钝角三角形 有一个角是钝角
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不等边三角形 三边都不相等
按
等腰三角形 有两条边相等
边
等边三角形 三边都相等
性质 三角形具有稳定性
内角和 三角形的内角和是180
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
三边关系
直角三角形中，斜边大于直角边。
（6）四边形
图形 特征
一般四边形 四条边围成。
两组对边分别平行且相等，两组
平行四边形
对角分别相等。
两组对边分别平行且相等，四个
长方形
角都是直角。
四条边都相等，四个角都是直
正方形
角。
梯形 只有一组对边平行。
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（7）圆
图形
意义 圆是一种封闭的曲线图形
名称 圆心O、半径 r、直径 d
在同圆或等圆中，d 2r ，即直径是半径的 2 倍，所有的半径都相等，所
特征 有的直径都相等。
圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴，圆有无数条对称轴。
圆周长与直径的比值，用“ ”表示。 是无限不循环小数，一般近似取
圆周率
≈3.14。
扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
2.平面图形的周长和面积
图形 周长 C 面积 S
正方形 4a a2
长方形 2(a b) ab
ah
三角形 a b c
2
平行四边形 2(a b) ah
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(a b)h
梯形 a b c d
2
圆 2 r、 d r 2
n d
d n r
2
扇形
360 360
S R2 2圆环 环 r
S阴影 r
2 2r 2
外圆内方
( 2)r 2
S 2 2阴影 4r r
外方内圆
(4 )r 2
3.不规则平面图形周长和面积求法
（1）周长：平移法、箭头法；
（2）面积：公式转换法、割补法、整体减部分法等。
二.立体图形
1.立体图形的认识
（1）长方体和正方体
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相同点 不同点
主 俯 左
图形 顶 面的
面 棱 面的特点 棱长 视 视 视
点 大小
图 图 图
相对的
相 对
棱长度
的 面
相等且
完 全 长 长 长
6 个面都是 互相平
长方体 相 方 方 方
长方形 行，相
同 ， 形 形 形
交的棱
面 积
6 12 8 互相垂
相等
个 条 个 直
6 个 12条棱
面 完 长度都
6 个面都是 正 正 正
全 相 相等，
正方体 完全相同的 方 方 方
同 ， 棱长总
正方形 形 形 形
面 积 和 是
相等 12a
（2）圆柱和圆锥
图形 特征 主视图 俯视图 左视图
1.上下是圆，侧面展开是长方
形；
圆柱
2.以长方形一条边所在直线为
轴旋转一周形成圆柱。
1.底面是圆，侧面展开是扇形；
2.以直角三角形一条直角边所
圆锥
在直线为轴旋转一周形成圆
锥。
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2.立体图形的表面积和体积
图形 表面积 体积
正方体 6a2 a3
长方体 2(ab ah bh) abh
圆柱体 2 rh 2 r 2 r2h
2
圆锥体 r 2 rl r h
[]
3
3.不规则立体图形体积求法
(1)排水法：物体体积=上升（或下降）那部分水的体积（物体要浸没在水中）；
(2)转化法：利用体积不变，化不规则为规则。
三.图形的变换与运动
图例 特征
轴对称 沿对称轴折叠，完全重合
平移 沿直线运动，形状、大小不变
旋转 绕一个点移动，形状、大小不变
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放大缩小 按一定的比得到相似图形
四.图形与位置
上北下南，左西右东；
方向 东北、西北、东南、西南
东偏北、西偏北、东偏南、西偏南
1.有序数对，如（3，5）
位置描述
2.角度+距离，（北偏西 23°，距离观测点 200 米）
路线描述 先按照什么方向走多少距离到达 A 地，然后按照什么方向······
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第三章 统计与概率
一.知识梳理
数据的收集、整理与分析

单式统计表
统计表 复式统计表

统计 条形统计图（单式和复式）

统计图 折线统计图（单式和复式）
扇形统计图
统计量 平均数
二.步骤与方法
1.确定调查主题和需要调查的数据；
2.设计调查表或统计表；
3.确定调查的方法：实地调查、问卷调查、网上搜集信息等；
4.进行调查，做好记录；
5.分析数据，作出判断和预测。
三.统计表
1.统计表的意义
把统计数据填写在一定格式的表格中，用来反映情况，说明问题，这样的表格叫做统计表。
2.单式统计表：直有一组统计项目的统计表。
3.复式统计表：有两组或两组以上统计项目的统计表。
四.统计图
条形统计图 折线统计图 扇形统计图
用一个单位长度表示一定的数量 用整个圆的面积表示总数，
特点
用直条的长短表示数 用折线的起伏表示数量 用圆内的扇形面积表示各
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量的多少。 的增减变化。 部分数量占总数量的百分
比。
便于直观了解数据的 便于直观了解数据的变 便于直观了解各部分数量
作用 大小及不同数据的差 化趋势，也便于了解数 占总数量的百分比，以及各
异。 据的大小。 部分之间的大小关系。
1.根据图纸的大小，画 1.根据图纸的大小，画出 1.先算出各部分数量占总量
出两条互相垂直的射 两条互相垂直的射线； 的百分之几；
线； 2.在水平射线上，适当分 2.再算出表示各部分数量的
2.在水平射线上，适当 配折线的位置，确定直 扇形的圆心角度数；
分配条形的位置，确定 线的宽度和间隔； 3.取适当的半径画一个圆，
直线的宽度和间隔； 3.在与水平射线垂直的 并按照上面算出的圆心角
制作
3.在与水平射线垂直的 深线上根据数据大小的 的度数，在圆里画出各个扇
步骤
深线上根据数据大小 具体情况，确定单位长 形；
的具体情况，确定单位 度表示多少； 4.在每个扇形中标明所表示
长度表示多少； 4.按照数据的大小描出 的各部分数量名称和所占
4.按照数据的大小画出 各点，再用线段顺次连 的百分数，并用不同颜色或
长短不同的直条，并注 接起来，并注明数量。 条纹把各个扇形区别开。
明数量。
五.平均数
意义 在保证几个数和不变的情况下，通过移多补少，将这几个数变得相等。
特点 反映一组数据的集中趋势
求法 总数量÷总份数=平均数
六.可能性
不确定事件 生活中，有些事件的发生是不确定的，一般用“可能发生”来描述。
确定事件 有些事件的发生是确定的，一般用“一定发生”或“不可能发生”来描述。
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第四章 数学思考
一.常用数学思想和方法
说明
转化法 把陌生问题、复杂问题转化为已学简单问题；
数形结合法 把抽象的数学语言与直观几何图形结合起来；
对应法 实际问题中存在着一些相关联的对应量；
列表法 用表格分析问题，使问题条理化、明朗化；
观察法 观察数字、图形、位置变化规律；
分析法 由“问题结论”探求“已知条件”；
综合法 由“已知条件”到“可知”再到“未知”。
二.常见数列规律
举例 解释
等差数列 1，3，5，7，9，11，… 后面一个数减去前一个数，差相等
等比数列 1，2，4，8，16，32，… 后面一个数除以前一个数，商相等
差后等差数列 0，1，3，6，10，15，… 后一个数和前一个数的差形成等差数列
差后等比数列 0，1，3，7，15，31，… 后一个数和前一个数的差形成等比数列
平方数列 0，1，4，9，16，25，… 连续自然数的平方
乘积数列 0，2，6，12，20，30，… 相邻两个自然数的乘积
三角数列 1，3，6，10，15，21，… 最常用的差后等差数列
兔子数列 0，1，1，2，3，5，8，… 从第三个数起，每个数都是前面两个数的和
求和取个位 3，5，8，3，1，4，… 从第三个数起，每个数都是前面两个数和的个位
求积取个位 2，3，6，8，8，4，… 从第三个数起，每个数都是前面两个数积的个位
三.计数方法
1.加法原理（加法分类、类类独立）
如果完成一件事情有 N 类方法，每一类方法数分别为 A1，A2，A3， ，An ，则完成这件事一共有
A1 A2 A3 An 种方法。
注意：每一类方法都可以独立完成事件。
例：小明衣柜里有蓝、黑、灰三种颜色的裤子，其中 3 种款式的蓝裤子、2 种款式的黑裤子、2 种款式的灰
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裤子，那么小明共有 3+2+2=7 种选择裤子的方法。
2.乘法原理（乘法分步，步步相关）
如果完成一件事情需要 n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，…，做第 n步
有mn种不同的方法，则完成这件事一共有m1 m2 mn 种不同的方法。
例：小明衣柜里有 5 件上衣、4 件裤子，如果小明想上衣、下衣各选一件，那么小明一共有 5×4=20 种搭配
方式。
3.排列（先选后排）
Amn ：从 n个不同元素中任取m个元素，按照一定的顺序排成一列的不同的方法数。
Amn n(n 1)(n 2) (n m 1)
例：从 5 名同学中任选 3 名（不能重复选），然后给这 3 名同学排列顺序，共有 A35 5 4 3 60种不同的方
法。
4.组合（只选不排）
Cmn ：从 n个不同元素种任取m个元素（不用排序）的方法数。
m 个数
Am
Cm n n (n 1) (n 2) (n m 1)n m Am m (m 1) (m 2) 2 1
3
例：从 5 名同学中任选 3 名（不能重复选），共有C3 A5 5 4 35 3 10 种不同的选择方法。A3 3 2 1
四．抽屉原理
1.简单抽屉原理
把 n 1或多于 n 1个苹果放在 n个抽屉里，其中一定有抽屉里至少有两个苹果。
2.复杂抽屉原理
把苹果放在抽屉里，一定有抽屉里至少有:
余数 0 商
苹果 抽屉=商 余数 个苹果。
余数 0 商+1
3.最不利原则（最倒霉原则）
最不利原则：极限讨论，考虑最不利或最倒霉的情况。
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例：盒子里有 3 个白球和 4 个黑球，每次任取一个，至少要取多少次，才能保证一定能取到白球？
答：考虑最不利的情况，先将 4 个黑球全部取出，再多取 1 个，一定能取到白球，因此至少要拿 4+1=5 次，
才能保证一定能拿到白球。
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