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5.1.2 数列的递推公式 同步练习
一、单选题
1．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知数列满足，，等于的个位数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ）

A． B． C． D．
5．若数列满足：，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
8．数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．是周期数列 C． D．
9．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则从开始出现数字2 B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字4
三、填空题
10．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是 .
11．斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么是斐波那契数列中的第 项．
四、解答题
12．2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．

13．根据下列条件，写出各数列的前项，并归纳猜想数列的通项公式．
(1)，；
(2)，.
14．已知数列的前n项和为.
(1)求，；
(2)求这个数列的通项公式.5.1.2 数列的递推公式同步练习解析
一、单选题
1．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】数列满足，，
则，.
故选：A.
2．已知数列满足，，等于的个位数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由，则，，
又，则，.
故选：B.
3．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，
则，
则，
则，
故选：D
4．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，，，，，，
等式两边同时累加得，即，也符合该式，
所以第个图形中小正方形的个数是．
故选：C
5．若数列满足：，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，
所以数列是以为周期的数列，
又因为，所以，
故选：A．
6．已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时，有，所以，
当时，由，，
两式相减得，
此时，，也满足，
所以的通项公式为.
故选：B.
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】由“冰雹猜想”可知：若，则，，
若为偶数，则；若为奇数，则；
综上所述：或.
故选：D.
二、多选题
8．数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．是周期数列 C． D．
【答案】ABC
【详解】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
9．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则从开始出现数字2 B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字4
【答案】BCD
【详解】对于A项，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，故A项错；
对于B项，，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故B项正确；
对于C项，，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“个，个”，
即，显然的描述应该是“ 2个1 ”，矛盾，不合乎题意，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字，故D项正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是 .
【答案】66
【详解】依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列，则，，
所以，
上式相加得，
所以，
则第11个三角形数是.
故答案为：66.
11．斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么是斐波那契数列中的第 项．
【答案】2016
【详解】由，，，……，，
可得：
故是斐波那契数列中的第2016项．
故答案为：2016
四、解答题
12．2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．

【答案】，为数列的一个递推关系．
【详解】依题意，可知，，，，，，
而且，由图可知，在第个“三角形数”图案的下面添加个小圆，即得到第个“三角形数”图案，
因此，为数列的一个递推关系．
13．根据下列条件，写出各数列的前项，并归纳猜想数列的通项公式．
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)，，，，归纳猜想
(2)，，，，归纳猜想
【详解】（1）因为，，
则，，，
归纳猜想.
（2）因为，，则，
，，
归纳猜想.
14．已知数列的前n项和为.
(1)求，；
(2)求这个数列的通项公式.
【答案】(1)18，；(2).
【详解】（1）因为数列的前n项和为，
所以，则；
（2）当时，，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式.

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