资源简介

Ⅰ．考试性质
普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取．因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．
Ⅱ．命题原则及指导思想
2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学学科的命题，将按照“有利于科学选拔人才，有利于促进学生健康发展，有利于维护社会公平”的原则，遵循“注重能力考查，体现课改理念，力求平稳推进”的指导思想，依据《2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》和《2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明》规定的范围和要求命制试题．命题坚持以能力测试为主导，在考查考生基本知识、基本能力的同时，注重考查考生综合运用所学知识解决实际问题的能力和科学探究能力，突出考查学科意识、学科思维、科学素质和人文素养，力求做到科学、准确、公平、规范．
Ⅲ．考试内容
一、考核目标与考查要求
数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识．具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》确定．
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间内在联系的深刻性，包括各部分知识的纵向联系和横向联系．数学学科的考试要从本质上体现这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构．
数学学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力体现对考生综合数学素养和数学学习现状及潜能的考查．
2015四川高考理科数学考试说明
1．数学知识
知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.
各部分知识的整体要求参照《课程标准》相应模块的有关说明．
对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．
（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它．
“了解”层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等．
（2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力．
“理解”层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等．
（3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决．
“掌握”层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等．
对数学基础知识的考查既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体．考查应注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度设计问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度．
2．数学能力
能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识和创新意识．
（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．
空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察研究所给的图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志．
（2）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.
抽象概括能力要求在对具体的、生动的实例进行抽象概括的过程中，能够发现研究对象的本质，从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断．
（3）推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性的初步的推理能力．推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．
中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．
（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算．
运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估算和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力．
（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断、解决给定的实际问题．数据处理能力主要依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题．
数据处理能力主要依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并确定给定的实际问题．
（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决．
（7）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．
创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强．
对数学能力的考查就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，体现对考生各种数学能力的要求．高考的数学命题，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．能力的考查以推理论证能力和抽象概括能力的考查为核心，全面涉及各种数学能力，并要切合考生实际，强调其科学性、严谨性、抽象性，强调探究性、综合性和应用性．对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力．
对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式．应用问题的命题要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要充分考虑中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合考生具有的实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的实际水平．
对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查．在考试中通过创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题进行考查．试题设计要注重问题的多样化，体现思维的发散性，着眼数学主体内容、体现数学素质；试题主要以反映数、形运动变化及其相互联系的问题出现，主要为研究型、探索型、开放型等类型的问题．
3．数学方法与数学思想
数学方法主要包括归纳推理、类比推理、演绎推理、综合法、分析法、反证法等．
（1）归纳推理：归纳推理就是从个别事实中推演出一般性的结论，依据特殊现象推断出一般现象，从已知的特殊的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题等的推理．简言之，归纳推理是由特殊到一般的推理．
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
（3）演绎推理：演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．
（4）综合法：综合法就是利用已知条件和数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．即PQ1→Q1Q2→Q2Q3 →…→QnQ（其中P表示已知条件，Q表示结论）．综合法是“执因导果”，从已知出发，顺着推理，逐渐地靠近结论．
（5）分析法：分析法就是从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）的证明方法．即QP1→P1P2→P2P3→…→．分析法是“执果索因”，从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知．
（6）反证法：反证法就是假设原命题不成立，经过正确的推理，得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法．它是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得，主要步骤是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立．
数学思想主要包括函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、有限与无限思想等．
（1）函数与方程的思想：函数思想就是利用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获解．方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程问题，然后通过解方程（组）使问题获解．函数与方程的思想既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想．
（2）数形结合的思想：数形结合的思想就是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合思想是数学的规律性与灵活性的有机结合，通过“以形助数，以数辅形”，变抽象思维为形象思维，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的．
（3）分类与整合的思想：分类与整合就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．分类与整合就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想．
（4）化归与转化的思想：化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某些数学知识，将问题进行等价转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而达到解决问题的数学思想．
（5）特殊与一般的思想：特殊与一般的思想就是通过对问题的特殊情形（如特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解决，寻求一般的、抽象的、运动变化的、不确定的等问题的解决思路和方法的数学思想．
（6）有限与无限的思想：有限与无限的思想就是通过对有限情形的研究和解决，使无限情形的问题得以解决；反之当积累了解决无限问题的经验之后，也可以将有限问题转化成无限问题来解决，即无限化有限，有限化无限的解决问题的数学思想．
对数学方法与数学思想的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查．考查时，必然要与数学知识相结合，从数学学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，从而反映考生对数学方法与数学思想的掌握程度．
4．个性品质
个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观. 要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义．
就考试而言，要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神．
二、考试内容
考试内容
要求层次
A
B
C
集合与常用逻辑用语
集合
集合的概念
√
集合的表示方法
√
集合间的基本关系
√
集合的基本运算
√
（续表）
考试内容
要求层次
A
B
C
集合与常用逻辑用语
常用逻辑用语
命题的概念
√
“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题
√
四种命题的相互关系
√
充分条件、必要条件与充要条件
√
简单的逻辑联结词
√
全称量词与存在量词
√
函数概念与指数函数、对数函数、幂函数
函数
函数的概念
√
映射的概念
√
函数的表示法
√
二次函数的图象及其性质
√
函数的单调性、最大（小）值及其几何意义
√
函数的奇偶性
√
运用函数图象理解和研究函数的性质
√
指数函数
有理指数幂的概念
√
实数指数幂的概念
√
幂的运算
√
指数函数的概念、图象及其性质
√
对数函数
对数的概念
√
对数的运算性质
√
对数换底公式
√
对数函数的概念、图象及其性质
√
指数函数与对数函数互为反函数（且）
√
幂函数
幂函数的概念
√
简单幂函数（）
√
函数的应用
实系数一元二次方程根的分布
√
函数的零点与方程的根
√
二分法
√
函数模型及其应用
√
（续表）
考试内容
要求层次
A
B
C
三角函数、三角恒等变换、解三角形
任意角的三角函数
任意角和弧度制
√
任意角的正弦、余弦、正切的定义
√
单位圆中的三角函数线及其应用
√
诱导公式
√
同角三角函数的基本关系式
√
三角函数的
图象与性质
周期函数的定义
√
函数的图象和性质
√
函数的图象和性质
√
三角函数的简单应用
√
三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
√
二倍角的正弦、余弦、正切公式
√
简单的三角恒等变换
√
解三角形
正弦定理、余弦定理
√
正弦定理、余弦定理的简单应用
√
数列
数列的概念及其表示法
数列的概念
√
数列的表示法
√
数列与函数的关系
√
等差数列、
等比数列
等差数列的概念
√
等比数列的概念
√
等差数列的通项公式与前n项和公式
√
等比数列的通项公式与前n项和公式
√
等差数列、等比数列的简单应用
√
不等式
不等式与
不等关系
不等式的性质
√
一元二次
不等式
一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系
√
一元二次不等式的解法
√
简单的线性
规划
二元一次不等式组表示的平面区域
√
简单的二元线性规划问题
√
基本不等式
基本不等式及其应用
√
（续表）
考试内容
要求层次
A
B
C
导数及其
应用
导数概念及其几何意义
导数的概念
√
导数的几何意义
√
导数的运算
常见基本初等函数的导数公式
√
导数的四则运算法则
√
简单复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数
√
导数在研究函数中的应用
函数单调性与导数
√
函数的极值、最大（小）值与导数
√
数系的扩充与复数的引入
复数的概念
与运算
复数的基本概念及复数相等的充要条件
√
复数的代数表示法及几何意义
√
复数代数形式的四则运算
√
复数代数形式的加、减法的几何意义
√
平面向量
平面向量
平面向量的概念、平面向量相等的含义
√
平面向量的几何表示
√
平面向量的
线性运算
平面向量的线性运算及其几何意义
√
平面向量共线的条件
√
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理
√
平面向量的正交分解及其坐标表示
√
平面向量线性运算的坐标表示
√
平面向量共线的坐标表示
√
平面向量的
数量积
平面向量数量积及其物理意义
√
平面向量数量积与向量投影的关系
√
平面向量数量积的坐标表示
√
平面向量数量积的运算
√
两个平面向量的夹角的数量积表示
√
平面向量的
应用
平面向量的简单应用
√
（续表）
考试内容
要求层次
A
B
C
平面解析
几何初步
直线与方程
直线的倾斜角和斜率
√
过两点的直线斜率的计算
√
两条直线平行或垂直的判定
√
直线方程的点斜式、两点式及一般式
√
两条相交直线的交点坐标
√
两点间的距离公式、点到直线的距离公式
√
两条平行线间的距离
√
圆与方程
圆的标准方程与一般方程
√
直线与圆的位置关系
√
两圆的位置关系
√
用直线和圆的方程解决简单的问题
√
圆锥曲线与方程
圆锥曲线
椭圆的定义、标准方程及简单几何性质
√
双曲线的定义、标准方程及简单几何性质
√
抛物线的定义、标准方程及简单几何性质
√
直线与圆锥曲线的位置关系及其简单应用
√
曲线与方程
曲线与方程的概念及对应关系
√
立体
几何
初步
空间几何体
柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征
√
简单空间图形的三视图
√
简单空间图形的直观图
√
柱、锥、台、球的表面积和体积
√
点、直线、
平面间的位置关系
空间线、面的位置关系
√
公理1、公理2、公理3、公理4、
定理
√
空间线、面平行或垂直的判定
√
空间线、面平行或垂直的性质
√
异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念
√
空间图形的位置关系的简单命题的证明
√
（续表）
考试内容
要求层次
A
B
C
空间向量与立体几何
空间
直角坐标系
空间直角坐标系
√
空间两点间的距离公式
√
空间向量
及其运算
空间向量的概念
√
空间向量基本定理及其意义
√
空间向量的正交分解及其坐标表示
√
空间向量的线性运算及其坐标表示
√
空间向量的数量积及其坐标表示
√
用数量积判定空间向量的共线与垂直
√
空间向量
的应用
直线的方向向量及平面的法向量
√
空间线、面平行与垂直关系的证明
√
空间线线、线面、面面的夹角的计算
√
算法
初步
算法及程序框图
算法的概念
√
程序框图的三种基本逻辑结构
√
基本
算法语句
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句
√
计数
原理
加法原理、
乘法原理
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
√
分类加法计数原理、分步乘法计数的简单应用
√
排列与组合
排列、组合的概念
√
排列数公式、组合数公式
√
排列与组合的简单应用
√
二项式定理
二项式定理及其简单应用
√
统计
随机抽样
简单随机抽样
√
分层抽样和系统抽样
√
用样本估计
总体
频率分布表、直方图、折线图、茎叶图
√
样本数据的基本数字特征（众数、中位数、平均数、方差、标准差等）
√
用样本估计总体分布和数字特征
√
变量的
相关性
相关关系及散点图
√
线性回归方程
√
概率
事件与概率
随机事件的概率
√
两个互斥事件的概率加法公式
√
古典概型
古典概型
√
几何概型
几何概型
√
随机变量及其分布
取有限值的离散型随机变量及其分布列
√
超几何分布
√
条件概率
√
事件的独立性
√
n次独立重复试验与二项分布
√
取有限值的离散型随机变量的均值
√
Ⅳ．考试形式与试卷结构
一、考试形式
考试采用闭卷、笔试形式．考试时不允许使用计算器．
二、考试时间及分值
考试时间为120分钟，试卷满分为150分．
三、试卷结构
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
试卷结构如下：
卷别
题型
题数
分值
说明
第Ⅰ卷
选择题
10
50
四选一型的单项选择
第Ⅱ卷
填空题
5
25
只需直接填写结果，不必写出具体解答过程
解答题
6
75
要求写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程
四、试题难度
试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度系数在0.7以上的试题为容易题，难度系数为0.4～0.7的试题是中等难度题，难度系数在0.4以下的试题为难题．试卷由三种难度的试题组成，并以中等难度题为主．命题时根据有关要求和教学实际合理控制容易题、中等难度题和难题三种试题的分值比例及全卷总体难度．
Ⅴ．题型示例
一、选择题
1．设集合，，则集合等于
（A）{(2} （B）{2}
（C）{(2,2} （D）
2．设，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：，则
（A）p： （B）p：
（C）p： （D）p：
3．已知为实数，且，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4．若，，则一定有
（A） （B） （C） （D）
5．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有a的值为
（A） （B）1,2,3 （C）1,3 （D）
6．设a=6，，，则
（A）c>b>a （B）b>c>a （C）a>c>b （D）a>b>c
7．已知函数，若存在唯一的零点，且，则a的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
8．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图象大致为
（A） （B）
（C） （D）
9．设函数的最小正周期为，，则
（A）在区间上单调递减
（B）在区间上单调递减
（C）在区间上单调递增
（D）在区间上单调递增
10．已知等比数列满足，，则
（A）64 （B）81 （C）128 （D）24
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m=
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
12．不等式组的解集记为D，现有下列四个命题：
其中的真命题是
（A）p2，p3 （B）p1，p4 （C）p1，p2 （D）p1，p3
13．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是
（A）1800元 （B）2400元 （C）2800元 （D）3100元
14．复数
（A）1 （B）(1 （C） （D）
15．平面向量，，()，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则
（A） （B） （C） （D）
16．过点(3,1)作圆(x(1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为
（A）2x+y(3=0 （B）2x(y(3=0
（C）4x(y(3=0 （D）4x+y(3=0
17．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则
（A） （B） （C）4 （D）
18．已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，为C的实轴长的2倍，C的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
19.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△ ABO与△ AFO面积之和的最小值是
（A） （B） （C） （D）
20．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为
（A） （B） （C） （D）
21．已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为
（A） （B） （C） （D）
22．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为
（A） （B） （C） （D）
23．如图，在正方体-中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
24．执行如图的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于
（A）[-3,4] （B）[-5,2] （C）[-4,3] （D）[-2,5]
25．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有
（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个
26．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如下图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是
（A）46，45，56 （B）46，45，53
（C）47，45，56 （D）45，47，53
27．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：
甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
，分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有
（A）， （B），
（C）， （D），
28．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是
（A） （B） （C） （D）
29．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯． 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮． 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：直接填写结果，不必写出具体解答过程．
1．的值是________．
2．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2－4x． 那么，不等式f(x+2)<5的解集是__________．
3．设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______．
4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_______m．
（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，
，，）
5．设的内角所对边的长分别为．若，则角_________．
6．等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________．
7．已知函数f（x）=4x+（x>0,a>0）在x=3时取得最小值，则a=___________．
8．设D,E分别是(ABC的边AB,BC上的点，,,若 (为实数)，则的值为 ________．
9．椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点、．当△的周长最大时，△的面积是 ．
10．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是_______．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
12．如图所示，在正方体中，M、N分别是棱CD、的中点，则异面直线与DN所成的角的大小是 ．
13．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果________．
14．已知（1+ax）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a=______．
15．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图．由图中数据可知 ．若要从身高在[ 120 , 130)，[130 ，140), [140, 150]三组内的学生中，用分层抽样方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ．
16．设P1，P2，…，Pn为平面(内的n个点，在平面(内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．现有下列命题：
① 若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③ 若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是__________．（写出所有真命题的序号）
17．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．现有如下命题：
① 设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”；
② 函数的充要条件是有最大值和最小值；
③ 若函数，的定义域相同，且，则；
④ 若函数（，）有最大值，则．
其中的真命题有_______．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
1．在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．
2．已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．
(Ⅰ) 证明：；
(Ⅱ) 是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
3．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(Ⅰ) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；
(Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
4．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐
获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(Ⅰ) 设每盘游戏获得的分数为X，求的分布列；
(Ⅱ) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(Ⅲ) 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若，，求向量在方向上的投影．
6．如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，．
(Ⅰ) 求索道AB的长；
(Ⅱ) 乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(Ⅲ) 为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(Ⅰ) 在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(Ⅱ) 设(Ⅰ) 中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A—A1M—N的余弦值．
8．如图所示，在三棱锥中，∠APB=90，
∠PAB=60，，平面PAB⊥平面ABC．
(Ⅰ) 求直线PC与平面ABC所成的角的正弦值；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值．
9．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且．
(Ⅰ) 证明：P是线段BC的中点；
(Ⅱ) 求二面角A-NP-M的余弦值．
10．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
(Ⅰ) 求k的取值范围；
(Ⅱ) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
11．已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ) 求C的方程；
(Ⅱ) l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
12．已知椭圆C：的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(Ⅰ) 求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ) 设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
(ⅰ) 证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
(ⅱ) 当最小时，求点T的坐标．
13．已知函数满足；
(Ⅰ) 求的解析式及单调区间；
(Ⅱ) 若，求的最大值．
14．已知函数其中a是实数．设A，B为该函数图象上的两点，且．
(Ⅰ) 指出函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ) 若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且，求的最小值；
(Ⅲ) 若函数f(x)的图象在A，B处的切线重合，求a的取值范围．
15．已知函数，其中，为自然对数的底数．
(Ⅰ) 设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
(Ⅱ) 若，函数在区间内有零点，求的取值范围．
16．已知函数．
(Ⅰ) 讨论的单调性；
(Ⅱ) 设，当时，，求的最大值；
(Ⅲ) 已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
Ⅵ．题型示例参考解答
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．D 5．C
6．D 7．B 8．C 9．A 10．A
11．C 12．C 13．C 14．B 15．D
16．A 17．B 18．B 19．B 20．A
21．B 22．B 23．B 24．A 25．A
26．A 27．B 28．D 29．C
二、填空题
1．1 2．((7,3) 3． 4．60
5． 6．(49 7．36 8．
9．3 10．5 11． 12．90°
13．495 14．(1 15．0.030，3 16．①④
17．①③④
三、解答题
1．设该数列的公差为，前n项和为Sn．
由已知，可得
，．
所以，，，
解得或，即数列{an}首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3．
所以，数列的前项和或．
2．(Ⅰ) 由题设知，，
两式相减得，
由于，所以．
(Ⅱ) 由题知，，可得．
由(Ⅰ)知，．
令，解得．
故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，，
因此存在，使得为等差数列．
3．(Ⅰ) 当日需求量时，利润．
所以y关于n的函数解析式为：．
(Ⅱ) （i）可能的取值为，，，并且
．
的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
的数学期望为
．
的方差为：．
（ii）答案一：
花店应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
．
Y的方差为
DY==112.04．
由以上的计算结果可以看出，DX答案二：
花店应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望为
．
由以上的计算结果可以看出，EX4．(Ⅰ) 可能的取值为：10，20，100，．根据题意，有
，，
，．
所以的分布列为
10
20
100
-200
(Ⅱ) 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1,2,3），则
．
所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
(III) 的数学期望为 ．
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
5．(Ⅰ) 由，得
，
即，
则，即．
(Ⅱ) 由，，得，
由正弦定理，有，所以，．
由题知，则，故，
根据余弦定理，有，
解得或（舍去）．
故向量在方向上的投影为．
6．(Ⅰ) 在△ABC中，，
，
．
,
．
所以索道AB的长为1040米．
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 及已知有，米．
设乙出发分钟后，甲到了处，乙到了E处,
则有,．
根据余弦定理,
即.
当时，有最小值．
故乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短．
(Ⅲ) 设甲所用时间为，乙所用时间为，乙步行速度为．
由题意,
,
所以，．
解不等式得．
故为使两位旅客在C处相互等待的事件不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：米/分钟）范围内．
7．(Ⅰ) 如图所示，在平面ABC内，过P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．
由已知，AB=AC，D是BC的中点，
所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l．
又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交．
所以直线l⊥平面ADD1A1．
(Ⅱ) 解法一：
连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF．
由(Ⅰ) 知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN．
所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE．
所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF．
故∠AFE为二面角A—A1M—N的平面角（设为θ）．
设AA1=1，则由AB=AC= 2AA1，∠BAC=120°,有∠BAD=60°，AB=2，AD=1．
又P为AD的中点，所以M为AB的中点，且，AM=1，
所以，在Rt△AA1P中，A1P=；在Rt△A1AM中，A1M=．
从而=，=，
所以sin( =．
所以cos( ===．
故二面角A—A1M—N的余弦值为．
解法二：
设AA1=1，如图所示，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz（点O与点A1重合）．
则A1(0，0，0)，A(0，0，1)．
因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，
故M()，N()，
所以，，．
设平面AA1M的一个法向量，则
即故有
从而
取，则，所以．
设平面A1MN的一个法向量，则
即故有
从而
取，则，所以．
设二面角A—A1M—N的平面角为θ,又θ为锐角，
则cosθ===．
故二面角A—A1M—N的余弦值为．
8．法一：
(Ⅰ) 设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO、CO、CD．
由已知，为等边三角形．
所以．
又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，
所以平面ABC．
所以为直线PC与平面ABC所成的角．
不妨设AB=4，则PD=2，，OD=1，．
在Rt△OCD中，，在Rt△POC中，．
所以在Rt△POC中，．
故直线PC与平面ABC所成的角的正弦值为．
(Ⅱ) 如图所示，过D作DE⊥PA于点E，连结CE．
由已知可得，平面PAB，故．
又，，
故平面CDE．
所以．
所以∠DEC为二面角的平面角．
由(Ⅰ) 知，CD=，又在正△ADP中，DE=，
在Rt△CDE中，CE=，所以．
故二面角的余弦值为．
法二：
(Ⅰ) 设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD．
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，
所以PO⊥平面ABC．
所以PO⊥CD．
由AB=BC=CA ，知CD⊥AB．
设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图所示，以O为坐标原点，的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2．
所以O（0,0,0），A（(1,0,0），C（1,2,0），P（0,0,）．
所以，而为平面ABC的一个法向量．
设为直线PC与平面ABC所成的角，
则sin===．
故直线PC与平面ABC所成的角的正弦值为．
(Ⅱ) 由(Ⅰ) ，有，．
设平面APC的一个法向量为，则
从而
取，则，所以．
设二面角的平面角为，易知为锐角．
而平面ABP的一个法向量为m，则
．
故二面角的余弦值为．
9．(Ⅰ) 如图，取BD中点O，连接AO，CO．
由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，
因此AO⊥BD，OC⊥BD．
因为AO，OC平面AOC内，且AOOC，
所以BD⊥平面AOC．
又因为AC平面AOC，所以BD⊥AC．
取BO的中点H，连接NH，PH．
又M，N分别为线段AD，AB的中点，所以NH∥AO，MN∥BD．
因为AO⊥BD，所以NH⊥BD．
因为MN⊥NP，所以NP⊥BD．
因为NH，NP平面NHP，且NHNP，所以BD⊥平面NHP．
又因为HP平面NHP，所以BD⊥HP．
又OC⊥BD，HP平面BCD，OC平面BCD，所以HP∥OC．
因为H为BO中点，
故P为BC中点．
(Ⅱ) 解法一：
如图，作NQ⊥AC于Q，连接MQ．
由(Ⅰ)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP．
因为MN⊥NP，所以为二面角A-NP-M的一个平面角．
由(Ⅰ)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以．
由俯视图可知，AO⊥平面BCD．
因为OC平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰Rt△AOC中，．
作BR⊥AC于R，
在△ABC中，AB=BC，所以.
因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，所以NQ∥BR．
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，
因此．
同理，可得．
所以在等腰△MNQ中，．
故二面角A-NP-M的余弦值是．
解法二：
由俯视图及(Ⅰ)可知，AO⊥平面BCD．
因为OC，OB平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.
又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．
如图，以O为坐标原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．
则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)．
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，
又由(Ⅰ)知，P为线段BC的中点，
所以，，．
于是，，
，．
设平面ABC的一个法向量，则
即 有 从而
取，则，，所以．
设平面MNP的一个法向量，则
即有从而
取，所以．
设二面角A-NP-M的大小为，
则==．
故二面角A-NP-M的余弦值是．
10．(Ⅰ) 由已知条件，直线l的方程为
，
将其代入椭圆方程，得
，
整理得
． ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于
，
解得
或，
即k的取值范围为．
(Ⅱ) 设，，则
．
由方程①，可得
． ②
又 ， ③
而，，，所以与共线等价于
．
将②③代入上式，解得．
由(Ⅰ) 知或，故没有符合题意的常数k．
10．(Ⅰ) 由椭圆定义知，
，
所以．
又由已知，c=1，
所以椭圆C的离心率．
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，椭圆C的方程为=1．
设点Q的坐标为(x,y)．
（1） 当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1），（0，(1）两点，
此时点Q的坐标为．
（2） 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2．
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1, kx1+2)，(x2,kx2+2)，则
|AM|2=，|AN|2=．
又 |AQ|2==，
由，得
，即
． ①
将y=kx+2代入=1中，得
． ②
由△=，得．
由②可知，，，
代入①中并化简，得 x2=． ③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简，得
．
由③及k2>，可知0又满足，故．
由题意，点Q（x，y）在椭圆C内，所以(1≤y≤1．
又由，有
且(1≤y≤1，则.
所以，点Q的轨迹方程为，其中，．
11．由已知得圆M的圆心为M（(1,0），半径；圆N的圆心为N（1,0），半径．
设圆P的圆心为P（x,y）,半径为R．
(Ⅰ) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
．
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为．
(Ⅱ) 对于曲线C上任意一点，
由于，所以R2，
当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R=2，所以当圆P的半径最长时，
其方程为．
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得．
若l的倾斜角不为90°，则知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则，可求得Q（(4,0），所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切，
解得k=±.
当k=时，将y=x+代入，并整理得，
解得，所以.
当k=时，由图形的对称性可知，.
综上所述，.
12．(Ⅰ) 由已知可得
解得，，
所以椭圆C的标准方程是．
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)可得，F的坐标是，设T点的坐标为．
则直线TF的斜率kTF．
当时，直线PQ的斜率kPQ．直线PQ的方程是．
当时，直线PQ的方程是，也符合的形式．
设，，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得，
其判别式．
所以，，
．
所以PQ的中点M的坐标为．
所以直线OM的斜率kOM ，
又直线OT的斜率kOT ，所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ．
（ⅱ）由（ⅰ）可得，
|TF|，
|PQ|
．
所以≥．
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．
所以当最小时，T点的坐标是或．
13．(Ⅰ) 对函数求导，可得．
令得．
故,且有．
因此，．
由此可得，．
记，则，
所以在上单调递增．
即当时，；当时，．
综上所述，的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为．
(Ⅱ) 记．
由已知，可得．
（1）当时，当且时，，与矛盾．
（2）当时，．
（3）当时，
对求导可得．
若，则；若，则．
故当时，．
则有．
令，则．
当时，；当时，．
所以，当时，；
从而．
当时，．
综上，的最大值为．
14．(Ⅰ) 函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和．
(Ⅱ) 由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有．
当x<0时，对函数f(x)求导，得．
因为时， 所以，
所以，．
因此，
当且仅当，即时等号成立．
所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，的最小值为1．
(Ⅲ) 当或时，，故．
当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为
，即．
当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为
，即．
两切线重合的充要条件是
由①及知，．
由①②得，．
设，则．
所以，是减函数．
则，
所以．
又当且趋近于(1时，无限增大，
所以a的取值范围是．
故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是．
15．(Ⅰ) 由，有．
所以．
因此，当时，．
当≤时，≥0，所以在上单调递增，
因此在上的最小值是；
当≥时，≤0，所以在上单调递减，
因此在上的最小值是；
当＜时，令，得．
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
于是，在上的最小值是．
综上所述，当≤时，在上的最小值是；
当＜时，在上的最小值是；
当≥时，在上的最小值是．
(Ⅱ) 设为在区间(0,1)内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则不可能恒为正，也不可能恒为负．
故在区间内存在零点．
同理在区间内存在零点．
所以在区间内至少有两个零点．
由(Ⅰ)知，当≤时，在上单调递增，故在内至多有一个零点．
当≥时，在上单调递减，故在内至多有一个零点．
所以＜＜．
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增．
因此，，必有
＞0，＞0．
由有＜2，有
＞0，＞0．
解得 ＜＜1．
当＜＜1时，在区间内有最小值．
若≥0，则≥0（），
从而在区间单调递增，这与矛盾，所以＜0．
又＞0，＞0，
故此时在和内各只有一个零点和．
由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以＞，＜，
故在内有零点．
综上可知，a的取值范围是．
16.(Ⅰ) =，等号仅当时成立．
所以在单调递增．
(Ⅱ) =，
==．
( i ) 当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增．而=0，所以对任意．
( ii ) 当时，若满足，即时，
＜0．而=0，因此当时，＜0，不满足题意．
综上，b的最大值为2.
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，.
当b=2时，＞0；＞＞0.6928；
当时，，
=＜0，＜＜0.6934．
所以的近似值为0.693．

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