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平面向量的概念与运算
知识点一 平面向量的概念
1 向量的概念
既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作.
PS 平面向量在平面内是可以任意移动的.
2 常见向量的概念
名称 定义 特点
零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的
单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是
相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行
相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作
PS
(1) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
(2) 平行向量无传递性！(因为有；
(3) 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一线段和在①中是，在②中是、共线；
(图一)
图二向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
知识点二 平面向量的运算
1 向量的加法
① 向量加法的三角形法则
已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即.(相当于”首尾相接”)
② 向量加法的平行四边形法则
若， 则向量 叫做 与 的和，即；
作图
(是平行四边形)
2向量的减法
① 向量减法的几何意义
已知向量在平面内任取一点，作，则，
即可以表示向量的终点指向向量的终点的向量.
② 一般地 , 我们有
当且仅当方向相同时等号成立.
③ 向量的加减法满足交换律和结合律
④ 若
(1) 如图一，若三点共线，则；
(2) 如图二，若点和点在同侧，则；
(3) 如图三，若点和点在异侧，则；
图一 图二 图三
特殊的，在三角形中，点是的中点，则.
3 向量数乘运算
一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作；
它的长度与方向规定如下：
(1)；
(2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反；
4 两个向量共线
共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得
当时的方向与的方向相同；
当时，的方向与方向相反；
当 时，.
【题型一】向量的相关概念
【典题1】给出下列命题
① 向量 与是共线向量，则四点必在一直线上；
② 若满足且与同向，则；
③ 若 则；
④ 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤ 若, 则；
⑥ 若∥∥，则∥.
其中正确命题数是哪些？
【题型二】共线定理
【典题1】点在直线上，且，若，则 .
【题型三】向量的加减法
【典题1】 若，则与的夹角为________.
【典题2】在中，，分别为边，的中点，与交于点P，设，
，则 (　　)
A． B． C． D．
【典题3】点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 .
巩固练习
1(★) 对下列命题：
若向量与同向，且，则；
若向量|，则与的长度相等且方向相同或相反；
对于任意向量，若与的方向相同，则；
由于方向不确定，故不与任意向量平行；
向量与平行，则向量与方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为　 　.
2(★) 在中，，若点满足，则＝______．(用、表示)
3(★★) 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，则的值为______．
4(★★) 如图，在中，，，和相交于点，则向量等于______．
5(★★★) 设是的重心，分别是角所对的边，若，则的形状是 ．
6(★★★) 已知点是内部一点，并且满足的面积为，△ABC的面积为，则 ．
7(★★★) 在中，分别为中点，为线段上任意一点，实数满足，设的面积分别为，记，则取得最大值时，的值为　　．
8(★★★) 已知是的重心，直线过点且与边、分别交于点，，，则的值为　 　．
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9(★★★) 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为　 　．21世纪教育网(www.21cnjy.com)平面向量的概念与运算
知识点一 平面向量的概念
1 向量的概念
既有大小又有方向的量，常用，等表示；向量的长度是向量的模，记作.
PS 平面向量在平面内是可以任意移动的.
2 常见向量的概念
名称 定义 特点
零向量 长度为的向量 零向量的方向是任意的
单位向量 长度为一个单位长度的向量 与共线的单位向量是
相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行
相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作
PS
(1) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
(2) 平行向量无传递性！(因为有；
(3) 因为平面向量在平面内是可以任意移动的，与线段不一样，所以向量没有固定的起点和终点，两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念.
图一线段和在①中是，在②中是、共线；
(图一)
图二向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样.
(图二)
知识点二 平面向量的运算
1 向量的加法
① 向量加法的三角形法则
已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即.(相当于”首尾相接”)
② 向量加法的平行四边形法则
若， 则向量 叫做 与 的和，即；
作图
(是平行四边形)
2向量的减法
① 向量减法的几何意义
已知向量在平面内任取一点，作，则，
即可以表示向量的终点指向向量的终点的向量.
② 一般地 , 我们有
当且仅当方向相同时等号成立.
③ 向量的加减法满足交换律和结合律
④ 若
(1) 如图一，若三点共线，则；
(2) 如图二，若点和点在同侧，则；
(3) 如图三，若点和点在异侧，则；
图一 图二 图三
特殊的，在三角形中，点是的中点，则.
3 向量数乘运算
一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作；
它的长度与方向规定如下：
(1)；
(2) 当时的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反；
4 两个向量共线
共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得
当时的方向与的方向相同；
当时，的方向与方向相反；
当 时，.
【题型一】向量的相关概念
【典题1】给出下列命题
① 向量 与是共线向量，则四点必在一直线上；
② 若满足且与同向，则；
③ 若 则；
④ 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤ 若, 则；
⑥ 若∥∥，则∥.
其中正确命题数是哪些？
【解析】 对于①，对于向量来说，共线向量即是平行向量，所以向量 与是共线向量，
四点不一定在一直线上，①错误；
对于②，向量是有方向的量，不能比较大小，其模才能比较大小，故②错误；
对于③，若 则成立，故③对；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤ 要还需要向量方向相同；
对于⑥ 当为零向量时不成立，零向量与任何向量都平行.
【点拨】
① 向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量 , 与线段、直线不一样；
② 零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况.
【题型二】共线定理
【典题1】点在直线上，且，若，则 .
【解析】(点在直线上，注意分类讨论)
(1)当点在线段上，如图所示；
，所以；
若，则；
(2)当点在线段延长线上，如图所示；
，所以；
若，则；
【点拨】体会下线段比与向量比之间的相互转化，若，则或.
【题型三】向量的加减法
【典题1】 若，则与的夹角为________.
【解析】 构造平行四边形分别对角线，因为，
所以平行四边形的对角线相等，即是矩形，故与的的夹角为.
【典题2】在中，，分别为边，的中点，与交于点P，设，
，则 (　　)
A． B． C． D．
【解析】 方法 首尾相接法
，其中
(利用平几知识点求出)
如图过点作
是中点，
即
.
方法 构造平行四边形法
过点分别作则四边形是平行四边形，
则，
其中，
(问题化为线段比值问题)
由方法可得
，同理可得
.
方法3 中，分别为边的中点，
．
三点共线，设，
三点共线，设，
，解得，
．故选：．
【点拨】
① 本题是用向量表示；
② 方法是利用三角形法则，“首尾相接法” , 思路是：先找到一个含的封闭图形，比如则有，接着尽量向向量凑拢，得到后就只需要求出就行；
③ 方法是构造平行四边形法：构造邻边在所在的直线上，为对角线的平行四边形，再利用平行线成比例的性质与其他的几何知识求解便可；
④ 方法是使用向量性质：在中，点在边上，则存在，使得，其中.
【典题3】点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 .
【解析】如图所示，作，以为邻边作平行四边形，连接交于点.
满足，
，
，
由可得，
(利用平行四边形性质，注意图象中的字型，字型)
，，
的面积与的面积之比是:．
(利用等高，三角形面积的比等于底的比， )
【点拨】
① 线段的比与向量之间的比可相互之间转化，比如题目中由要求则只需要求向量与的倍数关系；
② 求解两个三角形的面积之比，可利用两个三角形等高，把问题转化为求解边长之比.
③ 类似题中已知条件是含三个向量的等式，可努力转化为两个向量的关系，这里利用了构造平行四边形的手段.其实也可变形成，根据题目需求来便可.
巩固练习
1(★) 对下列命题：
若向量与同向，且，则；
若向量|，则与的长度相等且方向相同或相反；
对于任意向量，若与的方向相同，则；
由于方向不确定，故不与任意向量平行；
向量与平行，则向量与方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为　 　.
【答案】1
【解析】 (1)向量不能比较大小，故不正确；
(2)向量||=||，只能说长度相等，方向不定；故错误；
(3)由相等向量的定义可得其正确；
(4)错误，与任意向量平行；
(5)若其中一个是，其错误；
故真命题只有(3)即1个；
故答案为：1．
2(★) 在中，，若点满足，则＝______．(用、表示)
【答案】
【解析】方法一 首尾相接法
方法二 （构造平行四边形）
过作，作,易得是平行四边形，且, (根据相似三角形性质),由向量的加法几何意义，有
3(★★) 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，则的值为______．
【答案】
【解析】因为，，
所以，，
又，
所以m，n，
故m+n，
4(★★) 如图，在中，，，和相交于点，则向量等于______．
【答案】
【解析】设()=()，
∵(，
．
∵∥，∴，则(λ()．
∴，∴，，
∴．
5(★★★) 设是的重心，分别是角所对的边，若，则的形状是 ．
【答案】等边三角形
【解析】∵G是△ABC的重心，，，，
又abc，
∴（a－b）（a－c）（b－c），
∴a－b=a－c=b－c，
∴a=b=c．
∴△ABC的形状是等边三角形．
6(★★★) 已知点是内部一点，并且满足的面积为，△ABC的面积为，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，延长OB到D使得BD=OB，延长OC到E使得CE=2OC，
∵满足，
∴点O是△ADE的重心．
∴S△OAD=S△ODE=S△OAE．
S△OABS△OAD，S△OACS△OAE，S△OBCS△ODE．
∴S1S△ADE，S2=S△OAB+S△OAC+S△OBCS△ADE．
．
7(★★★) 在中，分别为中点，为线段上任意一点，实数满足，设的面积分别为，记，则取得最大值时，的值为　　．
【答案】
【解析】如图所示．∵点P在△ABC的中位线EF上，∴．
∴，即．
∴，当且仅当时取等号，此时S1S2取得最大值．
此时点P为线段EF的中点．
以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，连接PD交BC于点O．
则，
化为．
∵，∴．
∴2x+3y．故答案为：．
8(★★★) 已知是的重心，直线过点且与边、分别交于点，，，则的值为　 　．
【答案】3
【解析】如图所示，
∵三点共线，∴存在实数三点，
∵，，∴．
∵是的重心，∴，，
（注 三角形的重心是三条中线的交点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍.）
∴．
∴，，
∴．
故答案为：3．
9(★★★) 已知平面向量，，满足：，，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】如图，为单位圆，在上，，，
在的延长线上，，为中点，
为中点，在OB的延长线上，，
设，，为上一点，，
则，
∴△OCA′∽△OA″C，
，
同理，
2()=2()=2
22
∴2||||，
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