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立体几何之所成角
1 异面直线所成的角
① 范围 ；
② 作异面直线所成的角：平移法.
如图，在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角.
2 线面所成的角
① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则.
② 范围
3 二面角
① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一点以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角.
② 范围 .
【题型一】异面直线所成的角
【典题1】 如图，正方体中，点分别是的中点，则与所成角为 (　　)
A． B． C． D．
【典题2】 如图所示，在棱长为2的正方体中是底面的中心分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于　　．
【典题3】 如图，已知是平行四边形所在平面外一点分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若求异面直线与所成的角的大小．
【题型二】线面所成的角
【典题1】 如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．
．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典题2】 如图，四边形为正方形平面且点在上的射影为点点在边上，平面平面．
(1)求证：平面；(2)求的长；(3)求直线与平面所成角的余弦值．
【典题3】 如图，正四棱锥中分别为的中点．设为线段上任意一点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)当为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值．
【题型三】二面角
【典题1】 如图，在棱长为的正方体中与相交于点．
求二面角的正切值．
【典题2】 如图，四棱锥中，底面为矩形底面点是棱的中点．
(1)求直线与平面的距离；
(2)若求二面角的平面角的余弦值．
【典题3】 如图，已知三棱锥平面为的中点．
(1)求证：．(2)求二面角的大小．
1(★) 在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是 (　)
A． B． C． D．
2(★★) 如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．分别为的中点为弧的中点为弧的中点．则异面直线与所成的角的余弦值为　　．
3 (★★) 如图所示，在正方体中是上一点是的中点，平面．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角．
4(★★★) 如图平面分别为的中点．
(1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值．
5(★★★) 四棱锥中⊥平面四边形为菱形为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
6(★★★) 如图是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点．
(1)记平面与平面的交线为试判断直线平面的位置关系，并加以证明；
(2)设求二面角大小的取值范围．
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1 异面直线所成的角
① 范围 ；
② 作异面直线所成的角：平移法.
如图,在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.
2 线面所成的角
① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则.
② 范围
3 二面角
① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
在二面角的棱上任取一点以点为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角.
② 范围 .
【题型一】异面直线所成的角
【典题1】 如图,正方体中，点分别是的中点，则与所成角为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】 连结
正方体中,点分别是的中点，
是与所成角,
．与所成角为60°．
故选．
【点拨】
① 找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；
② 平移时常利用中位线、平行四边形的性质；
【典题2】 如图所示,在棱长为2的正方体中是底面的中心分别是的中点,那么异面直线和所成角的余弦值等于　　．
【解析】 取的中点．连接则再取的中点连接则
是的中点,∴为异面直线所成的角．
在中．
由余弦定理,可得．
故答案为
【点拨】
本题利用平移法找到异面直线所成的角()后,确定含有该角的三角形(),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角最终求出来.
【典题3】 如图,已知是平行四边形所在平面外一点分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若求异面直线与所成的角的大小．
【解析】(1)证明：取中点连
则且
四边形为平行四边形
又在平面内不在平面内
面；
(2)解
方法一
即为异面直线与所成的角
设根据余弦定理可知
即解得
在三角形中
即
异面直线与所成的角的大小为
方法二 过点作交于如图
是的中点
设则
在和
利用勾股定理可得解得
即
异面直线与所成的角的大小为
【点拨】
本题中所成角找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题,
再利用解三角形的方法进行求解.
【题型二】线面所成的角
【典题1】 如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)证明：取中点连接．
．
四边形为直角梯形
四边形为正方形．
又平面．
．
(2)平面平面且
平面．
则为直线与平面所成的角．
设则∴
在直角三角形中．
即直线与平面所成角的正弦值为．
【点拨】
本题中的“直线与平面所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角的直角三角形中求出角度！
【典题2】 如图,四边形为正方形平面且点在上的射影为点点在边上,平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求的长；
(3)求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】(1)证明：
平面
又
平面
作于因面面
平面
又面面
平面
(2)由(1)知四点共面,又 平面
四边形为平行四边形
在中=
又
故
(3)所以与平面所成角等于与平面所成的角,
过作于点,易知平面又
是在平面内的射影
即为与平面所成的角
又
故
所以与平面所成角的余弦值等于.
【点拨】
① 若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,
比如下图中,求直线与平面所成的角,具体步骤如下：
(1) 如图,过点作平面的高垂足为则是线段在平面上的投影；
(2) 找到所求角；
(3) 求解三角形进而求角.
(此方法关键在于找到垂足的位置,证明到平面如本题中平面的证明)
② 本题若直接求“与平面所成角”,过点做高有些难度,则由能把“与平面所成角”转化为“与平面所成的角”,这方法称为“间接法”吧.
【典题3】 如图,正四棱锥中分别为的中点．设为线段上任意一点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)当为线段的中点时,求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】证明：(Ⅰ)连接交于
是正四棱锥平面
又平面
分别为的中点
同理平面
又平面．
(Ⅱ) 方法一 过作于点连接
由(Ⅰ)知：平面平面
就是直线与平面所成的角,
在中,解得
(易知是等腰直角三角形,又由斜边；
在三角形中用余弦定理可得)
则故直线与平面所成角的余弦值为.
方法二
设过点作平面的垂直,垂直为
则就是直线与平面所成的角是点到平面的距离,
由已知条件可求则
由于是中点,易得点到平面的距离
而
对于三棱锥
由
在正四棱锥中可求
(方法较多,提示过点作平面的高)
故直线与平面所成角的余弦值为.
【点拨】
① 本题第二问中方法一就是用“做高法”,计算量有些大；方法二是觉得垂足的位置难确定,可设点到平面的投影为(即垂足),再用“等积法”求高则可求所求角这种方法称为“等积法”；
② 思考：上一题试试用“等积法”！
【题型三】二面角
【典题1】 如图,在棱长为的正方体中与相交于点．
求二面角的正切值．
【解析】 在正方体中平面，
，二面角的平面角为
由题中的条件求出：
所以二面角的正切值为．
【点拨】 本题根据二面角的定义找到二面角二面角的平面角为再在三角形内用解三角形的方法求解角.
【典题2】 如图,四棱锥中,底面为矩形底面点是棱的中点．
(1)求直线与平面的距离；
(2)若求二面角的平面角的余弦值．
【解析】(1)在矩形中从而平面
故直线与平面的距离为点到平面的距离,
因底面故可得为等腰直角三角形,
又点是棱的中点,故
平面从而平面
故之长即为直线与平面的距离,
在中
所以
(2)过点作于过点做交于连接
则为所求的二面角的平面角．
由(1)知又得
从而=
在中=由
所以为等边三角形,
故为的中点,且
因为平面故又知．
则在中=
所以　
【点拨】 若在题目中不能直接得到所求二面角,就需要构造出二面角,
比如本题求二面角解题具体步骤如下
(1) 过点作过点作交于点则二面角为所求的二面角的平面角；
(2) 确定含角的三角形利用解三角形的方法求出角常见的是求出三角形三边再用余弦定理.
【典题3】 如图,已知三棱锥平面为的中点．
(1)求证：．(2)求二面角的大小．
【解析】(1)证明：由平面
又因为即．
面．
(2)取中点连结过作于连结
是的中点
又面面．
为二面角的平面角．
设则
在中．
二面角的大小为．
【点拨】求二面角也可以转化为线面角,比如求二面角解题思路如下
过点作则二面角等于直线与平面所成的角或其补角,若过点作平面则二面角是锐角,等于角； 二面角是钝角,等于角的补角.
1(★) 在正方体中,点在线段上运动,则异面直线与所成的角的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴与成角可化为与成角．
是正三角形可知当与重合时成角为，
∵不能与重合因为此时与平行而不是异面直线，．
故选 D．
2(★★) 如图所示的几何体,是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．分别为的中点为弧的中点为弧的中点．则异面直线与所成的角的余弦值为　　．
【答案】
【解析】如图，连接，∵为半圆弧的中点，为半圆弧的中点，由圆的性质可知，三点共线，且，
∴，∴，则即为所求的角或其补角，
又∵半径为1，高为2，且B都是等腰，
，
∴在中，=，
即异面直线与所成的角余弦值．
故答案为 ．
3 (★★) 如图所示,在正方体中是上一点是的中点,
平面．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角．
【答案】(1) 见解析 (2)
【解析】(1)证明：由ABCD－A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，
AD1 平面ADD1A1
∴CD⊥AD1，
又AD1⊥A1D，且A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC；
(2)解：∵MN⊥平面A1DC，
又由(1)知AD1⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1，
∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，
由正方体可知，
∴MN与平面ABCD所成的角为．
4(★★★) 如图平面分别为的中点．
(1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1) 见解析 (2)
【解析】(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ平面ACD，从而PQ∥平面ACD.
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝，即AD与平面ABE所成角的正弦值为。
5(★★★) 四棱锥中⊥平面四边形为菱形为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成的角的正切值；
(3)求二面角的正弦值．
【答案】(1) 见解析 (2) (3)
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DA=DC，
∵∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴CA=CD，
在△ADC中，E是AD中点，∴CE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CE 平面ABCD，∴CE⊥PA，
∵PA∩AD=A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
∴EC⊥平面PAD，
∵CE 平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAD．
(2)解：∵EC⊥平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，
即∠CPE是PC与平面PAD所成角的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴PA⊥AD，
在Rt△PAE中，PE，
在Rt△CED中，CE，
∵EC⊥平面PAD，PE 平面PAD，∴EC⊥PE，
在Rt△CEP中，tan∠CPE，
∴PC与平面PAD所成角的正切值为．
(3)解：在平面PAD中，过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结CM，
∵EC⊥平面PAD，PD 平面PAD，∴EC⊥PD，
∵EM∩CM=M，∴PD⊥平面EMC，∴PD⊥CM，
∴∠EMC是二面角A－PD－C的平面角，
在Rt△EMD中，ED=1，∠ADP=45°，∴EM=MD，
在Rt△CMD中，MD，CD=2，∴CM，
在△EMC中，EC，
由余弦定理得cos∠EMC，
∴二面角A－PD－C的正弦值为．
6(★★★) 如图是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面分别是的中点．
(1)记平面与平面的交线为试判断直线平面的位置关系,并加以证明；
(2)设求二面角大小的取值范围．
【答案】(1) 平行，证明见解析 (2)
【解析】(1)证明：直线l∥平面PAC．证明如下：
连接EF，∵E，F分别是PA，PC的中点，∴EF∥AC．
又EF 平面ABC，AC 平面ABC，∴EF∥平面ABC．
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，∴EF∥l．
∵l 平面PAC，EF 平面PAC，
∴直线l∥平面PAC；
(2)解：由(1)知，l∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l 平面ABC，∴PC⊥l．
而PC∩BC=C，∴l⊥平面PBC．
∵BF 平面PBC，∴l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E－l－C的平面角．
∵PC=2AB=4，∴AB=2，CF=2．
在Rt△BCF中，tan∠CBF，
∵0＜BC＜2，∴tan∠CBF∈(1，+∞)．
则∠CBF∈，．
故二面角E－l－C大小的取值范围是．
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