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5.3函数单调性 练习
一、单选题
1．已知函数满足，当时，且，若当时，有解，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是R上的增函数，是其图象上的两点，那么的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在上的函数在上单调递增且，若为奇函数，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
5．下列函数在上是增函数的是
A． B．
C． D．
6．若函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．在下列四个选项中，函数不是减函数的是
A． B． C． D．
8．定义在上的偶函数满足：任意，，有，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各说法中正确的是（ ）．
A．“”是“”的充要条件
B．的最小值为2
C．的最小值为2
D．不等式的解集是或
11．下列函数中满足在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[] B．[ ] C． D．[]
三、填空题
13．已知定义在上的单调减函数对任意恒有，且时，，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为 .
15．已知函数，，其中，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是
16．已知函数，在R上是减函数，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为常数），f（1）＝4，f（2）＝10.
（1）求b，c的值；
（2）用定义证明函数在区间（0，1）上是减函数；并指出g（x）在（1，+∞）上的单调性（无需证明）.
18．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数使得成立，则称函数为“函数”.
(1)若为“函数”，求实数的值；
(2)已知由（1）中的，且设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值.
19．已知函数，，若在上的值域为，求的值；
20．已知，若在上单调递减，求的取值范围．
21．已知函数.
(1)用定义证明：函数在区间上单调递增.
(2)若对，都有成立，求实数m的取值范围.
22．已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间上有最大值9和最小值1，设函数.
（1）求a b的值；
（2）若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】首先根据已知条件导出在上单调递增，再利用已知条件将不等式转化为，根据单调性可知当时，有解，从而根据不等式能成立来求解a的取值范围为即可.
【详解】取且即，
因为，
所以，
又当时，有，
所以当时，有，
所以在上单调递增；
而，
又，
所以，
又在上单调递增，
所以，
所以当时，有解，即有解；
令，则，设，
则在上单调递减，
当，即时，，所以．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是首先明确解抽象函数不等式一定要联想到函数单调性，所以是先设法求解函数的单调性，其次再利用单调性设法将其转化为能成立问题，从而顺利求解.
2．A
【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间.
【详解】由已知，函数为偶函数，
当时，；当时，；
可画出函数图像，图下图所示：
所以函数的单调递减区间为、，
故选：A.
3．B
【解析】根据，是其图象上的两点可得，利用函数是R上的增函数，可得结论.
【详解】∵为图象上的点， ∴由的坐标得.
由，得.
又为R上的增函数， ∴，
故选：B.
【点睛】本题考查抽象函数不等式的解法，考查函数的单调性的应用，属于中档题.
4．D
【分析】因为是奇函数，所以关于对称，根据条件结合数形结合可判断的解集.
【详解】是奇函数，
关于对称，
在单调递增，
在也是单调递增，
，
时，时，
又关于对称，
时，时
的解集是.
故选D.
【点睛】本题考查了利用函数的性质和图像，解抽象不等式，这类问题的关键是数形结合，将函数的性质和图像结合一起，这样会比较简单.
5．D
【详解】试题分析：A在上是减函数；B在区间上是减函数；C在区间上是减函数；D在区间上是增函数
考点：函数单调性
6．A
【分析】求出函数的对称轴，依题意可得，解得即可.
【详解】解：因为函数在区间上单调递减，函数的对称轴为，开口向上，
所以，解得，即.
故选：A.
7．C
【详解】单调减区间为，而，所以选C.
8．A
【分析】根据条件可知在上单调递减,然后结合的奇偶性比较函数值的大小即可.
【详解】解:由任意,,有,
知在上单调递减,又为上的偶函数,
所以<<,
即.
故选:A.
【点睛】本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.
9．BC
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断可得出结论.
【详解】对于A选项，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B选项，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，故B正确；
对于C选项，因为函数、在上均为增函数，
故函数在上单调递增，故C正确；
对于D选项，对于函数，，，
则，故函数在上不是增函数，故D错误.
故选：BC.
10．AD
【分析】根据充要条件的定义判断A正确，解不等式得到D正确，根据函数的单调性计算最值确定BC错误，得到答案.
【详解】对选项A：，均表示同正同负， “”是“”的充要条件，
正确；
对选项B：设，，在上单调递增，
故函数最小值为，错误；
对选项C：，设，，
在上单调递增，故函数最小值为，错误；
对选项D：等式的解集是或，正确；
故选：AD.
11．BC
【分析】根据函数图像，复合函数同增异减即可判断.
【详解】对于A，反比例函数在上单调递增，错误；
对于B，由于为减函数，在上单调递减，，正确；
对于C，另，则，在为增函数，在为减函数，复合函数同增异减，所以在上单调递减，正确；
对于D，，所以在上单调递增，错误.
故选：BC.
12．ABC
【解析】由可得或，由可得，然后可得答案.
【详解】因为函数的值域是[1，2]，由可得或，由可得
所以其定义域可以为A、B、C中的集合
故选：ABC
13．
【分析】由已知得出的对称中心，由对称中心两侧单调性相同，结合在时的解析式，利用二次函数的性质，列不等式解出实数的取值范围．
【详解】，即
关于点中心对称，
在上是单调减函数，时，
，解得
故答案为：
14．
【分析】先求出，进而求出与的解析式，，，都有，等价于，有，对进行分类讨论 ,求出实数的取值范围
【详解】因为，令，则
所以，故
所以，
令，
，，都有
等价于，有
当，即时
与在上单调递减，故，
所以，解得：
结合得：
当，即时
在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，，
所以，化简：，解得
结合得：
当，即时
在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，解得
结合得：
当，即时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，
所以，解得
结合求得：
当，即时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，
所以，解得
结合得：
当时
与在上单调递增，故，
所以，解得
结合得：
综上所述：
故答案为：
15．
【分析】根据题意可得，分别求两边的范围，利用子集关系，得到结果.
【详解】由可得，化简得：，
因为，，，所以，即，
所以，，因为，且，
因为对任意的，总存在，有成立，
所以，，所以
所以，，即实数a的取值范围是
故答案为：
16．
【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.
【详解】因为函数在R上是减函数，
根据题意：，解得.
故答案为：.
17．（1）；（2）证明见详解；g（x）在（1，+∞）上的单调递增.
【分析】（1）将f（1）＝4，f（2）＝10，代入解析式，解方程组即可求解.
（2）利用函数单调性的定义“取值、作差、变形、定号”即可证明.
【详解】（1）由函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为常数），f（1）＝4，f（2）＝10.
则，解得，
所以
（2）由（1）可得，
所以，
任取，
则
，
因为，，，
所以，
即，
所以函数在区间（0，1）上是减函数，
g（x）在（1，+∞）上的单调递增.
【点睛】本题考查了函数的单调性定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据“函数”的定义求得的值.
（2）通过构造函数，利用所构造函数的减区间来求得的最大值.
【详解】（1）依题意，为“函数”，
即，
即.
（2）由（1）得，
对任意的，当时，都有成立，
即成立，
不妨设，则，
，
构造函数，则在区间上递减.
，
函数的对称轴为，开口向上.所以在上递增，
函数的对称轴为，开口向下.所以在上递减.
所以的最大值为.
19．3
【分析】讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，求出函数的单调性，由条件列方程求.
【详解】因为函数，，对称轴，且，，，
当时，函数在上单调递增，所以
，即，此时无解；
当时，函数在上单调递减，所以
，即，解得；
当，即时，函数在取得最小值，
所以，即，化简得，
解方程可得，又
所以方程在上无解，
综上得：.
20．.
【分析】通过反比例函数的性质，求出的单调减区间，然后结合已知条件即可求解.
【详解】因为，所以图像是由向右移动个单位，且向上移动1个单位得到的，
又因为的单调递减区间为和，
所以的单调递减区间为和，
由在上单调递减可知，，
故的取值范围为.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；
（2）根据的单调性，求出其在上的最大值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）任取，且，
，
因为，所以，
所以，即.
所以在上为单调递增．
（2）任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，
所以时，.
所以实数的取值范围是.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）根据对称轴与定义区间位置关系确定函数单调性，再根据单调性确定最值取法，列方程组解得的值；
（2）化简不等式，并分离变量得为2x+-2≥k·2x，即化为，设,再根据二次函数性质求最值即得结果.
【详解】（1）g(x)=a(x-1)2+1+b-a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2，4]上是增函数，
故，解得.
（2）由已知可得f(x)=x+-2，
所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x，
化为
令，则k≤t2-2t+1，
因为x∈[-1，1]，故t∈[，2]，
记h(t)=t2-2t+1，因为t∈[，2]，
故h(t)min=0，
所以k的取值范围是.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.属于中档题.

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