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6.3对数函数 练习
一、单选题
1．定义在R上的函数为偶函数，则有，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的大致图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知, ,若,则下列结论中,不可能成立的是( )
A． B． C． D．
5．法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（p为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数（例如“梅森素数”的位数是2）为（参考数据：）（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
6．对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确的命题的序号是．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知实数满足等式，下列五个关系式，其中可能成立的关系式有（ ）
A． B． C． D．
10．已知且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中正确的是（ ）
A．命题：“”的否定是“”
B．若，则
C．已知函数的定义域为，则函数 的定义域为
D．函数的值域是，则实数的范围是
12．设为非零实数，，且，则下列式子正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．.
三、填空题
13．以下说法中正确的是 ．（填序号）
①函数在区间上单调递减；
②已知函数，则；
③函数的图象过定点；
④方程的解是．
14．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是
15．若，则的值是 .
16． ．
四、解答题
17．计算：
（1）
（2）
18．已知函数=.
(1)判断的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式.
19．计算.（1）
（2）
20．已知函数（，且），（，且）．
（1）求函数的定义域；
（2）利用对数函数的单调性，讨论不等式中x的取值范围.
21．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）53=125；
（2）4-2=；
（3）log3=-3.
22．求值：
(1)；
(2).
参考答案：
1．A
【分析】根据函数为偶函数，可得，根据在上为递减函数，可得结果.
【详解】因为函数为偶函数，所以，即，
即，即对任意实数恒成立，
所以，所以，
当时，为递减函数，
，，
，
因为，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数，考查了由函数的奇偶性和单调性比较大小，属于中档题.
2．C
【解析】首先根据图象可判断函数的定义域为，当时，函数有两个零点，当时，函数有一个零点，然后依次对四个选项进行分析计算即可得出正确答案.
【详解】由图可知，函数的定义域为，当时，函数有两个零点，当时，函数有一个零点，
依次对四个选项进行分析：
对于A：，令得：，解得或，
对于B：令得：或，解得或或或，
对于C：令得：或，解得或或，
对于D：，令得：，解得或，
综上，只有选项C满足题意.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查由函数图象判断解析式，通常做法是从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、零点等方面入手去分析，从而得出正确的答案.
3．B
【分析】根据对数函数的性质，求得，，结合指数函数的性质，求得，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得，所以，
又由且，所以，
由指数函数的性质，可得，即，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】由题意结合对数函数的性质和图象，结合选项，即可求得最终结果.
【详解】
若，则 ；
若，则；
若，则也满足题意；
综上，不可能成立的是.
故选：B
5．C
【分析】由题意，先计算，即可得到的位数.
【详解】依题意，，
∴，所以这个“梅森素数”的位数为21位，
故选：C．
6．A
【分析】根据奇偶性的定义，复合函数的单调性判断．
【详解】①，
，是偶函数，正确．
②∵函数在上是减函数，在上是增函数，且在上是增函数，
∴在是减函数，在是增函数，正确．
③时，，
是减函数，且，是增函数，因此在是减函数，错误．
故选：A ．
7．A
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性可得大小关系.
【详解】因为，所以，
而，故即，故，
故，所以，
故选：A.
8．D
【分析】根据对数函数和指数函数的性质判断．
【详解】由对数函数性质知，，由指数函数性质得，
所以．
故选：D．
9．ABD
【解析】令，可得到，，分别在、和三种情况下根据对数函数性质得到结果.
【详解】令，则，，
当时，，，正确；
当时，，正确；
当时，，，正确.
故选：.
【点睛】思路点睛：处理底数和幂指数均不同的方程的问题，可利用指数运算和对数运算互为逆运算的特点，构造出真数相同的对数的形式，结合对数函数性质来进行讨论.
10．ABC
【分析】根据对数函数的性质，判断参数在不同范围里，函数值与0的关系，一一判断即可.
【详解】对于A，∵且，∴，故，A正确；
对于B，∵且，∴，，
∴，，∴，B正确；
对于B，∵且，∴，，
∴，C正确；
对于D，取，则，D错误；
故选：ABC.
11．BCD
【分析】根据全称量词命题的否定、指对数比较大小、函数定义域、函数值域等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知：“”的否定是“”，所以A选项错误.
B选项，，所以，由于，所以，所以B选项正确.
C选项，函数的定义域为，，
所以的定义域为，所以，即函数 的定义域为，C选项正确.
D选项，函数的值域是.当时，符合题意.当时，，解得.综上所述，的取值范围是，D选项正确.
故选：BCD
12．AD
【分析】利用对数的运算性质逐一判断.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：当时，，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确.
故选：AD.
13．③④
【分析】根据函数单调性定义可判断①；取可判断②；当时，，可判断③；根据对数运算可判断④．
【详解】①函数在上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，
例如：，而，不具有单调递减的性质，故错误；
②已知函数，则，故②错误；
③当时，，所以函数的图象过定点，故正确；
④，
故正确．
故答案为：③④．
14．
【分析】令，根据对数型复合函数的单调性，可知在上单调递增，且恒成立，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】解：在上是减函数，
令，则，则在上单调递增，且恒成立，
所以，解得，即.
故答案为：．
15．/
【分析】先解出，得到,计算即可求解.
【详解】由，可得，则，
所以.
故答案为：.
16．8
【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可.
【详解】原式
.
故答案为：8
17．（1）2；
（2）.
【分析】利用对数和指数幂运算公式计算即可.
【详解】（1）原式=
.
（2）原式=.
18．(1)见解析；
(2).
【分析】（1）任取,化简,并判断结果的正负情况,即可得出结论；
（2）根据函数的奇偶性和单调性进行求解即可.
（1）
在上单调递减,证明如下：
任取,则===,
由于，则
在上递减；
（2）
===,
在上为奇函数.
.
.
所以解集为：.
19．（1）；（2）5．
【分析】（1）根据幂的运算法则计算；
（2）根据对数的定义计算．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝．
20．（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】（1）考虑和都有意义即可.
（2）在定义域之下，分底数和讨论.
【详解】（1）要使函数有意义，
需有解得，
故函数的定义域为．
（2）因为不等式，
即，
当时，有解得．
当时，有解得．
综上可得，当时，不等式中x的取值范围为；当时，不等式中的取值范围为．
21．（1）log5125=3；（2）；（3）
【分析】根据进行转化即可
【详解】（1）∵53=125，∴log5125=3.
（2）∵，∴.
（3）∵，∴
22．(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】（1）解：；
（2）解：

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