资源简介

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2.3导数及基本应用
【备考指南】 1
【思维导图】 2
【考点梳理】 6
考点一：导数的几何意义 6
考点二：公切线问题 10
考点三：复合函数导数的计算 15
考点四：导数与函数的单调性 19
考点五：导数与函数的极值 24
考点六：导数与函数的最值 29
【真题在线】 36
【专项突破】 53
考点 考情分析 考频
导数的几何意义 2023年全国甲卷T8 2023年全国乙卷T21 2022新高考Ⅰ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T14 2022年全国甲卷T20 2年7考
极值与最值 2023年新高考Ⅱ卷T11 2022年全国甲卷T8 2022年全国乙卷T16 2022年新高考Ⅰ卷T10 2年4考
不等式证明 2023年新高考Ⅱ卷T22 2021年新高考Ⅱ卷T22 2年2考
恒成立（能成立）问题 2023年新高考Ⅰ卷T19 2023年全国甲卷T21 2023年全国乙卷T20 2022年新高考Ⅱ卷T22 2年4考
零点问题 2023年全国乙卷21 2022年全国乙卷21 2022年新高考Ⅰ卷T22 2年3考
双变量问题 2022年全国甲卷T21
预测：导数部分为高考的必考点，主观题与客观题都有考察.从近几年命题角度看，全国卷的压轴题基本都是导数部分内容，但在2023年新高考Ⅰ卷T19难度不大，这是一个值得关注的地方，平时对难度中等的导数问题要处理好.小题的考察主要是导数的几何意义与极值、最值，各种试题难度都有出现，在二轮复习时候在做好基础的同时也要注重提升学生思维的深度与广度.
考点一：导数的几何意义
【典例精析】（多选）（2023·安徽淮南·统考一模）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
【答案】BD
【分析】A.分两种情况求函数的值域；B.利用导数求函数的切线，判断选项；C.利用平移判断函数的对称中心；D.首先求的值，再求解方程的实数根.
【详解】A.时，，当时等号成立，
当时，，当时等号成立，故A错误；
B.令，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，，所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；
C. 的对称中心是，所以的对称中心是，向右平移1个单位得，对称中心是，故C错误；
D. ，解得：或，
当，得，，1个实根，当时，得或，2个实根，所以共3个实根，故D正确.
故选：BD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【详解】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．
故选：C．
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值．
【详解】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
故选：A．
3．（2022·全国·模拟预测）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
二、填空题
4．（2022·山东·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则 .
【答案】3
【分析】设切点为，则，即求.
【详解】对求导，得，
设切点为，则，解得，
故答案为：3.
5．（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为 .
【答案】
【分析】利用导数求出与直线平行且与曲线相切的直线，切点到直线的距离即为最小距离.
【详解】设，，
设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，
则有，得，，即
如图所示：
此时到直线的距离最小，.
故答案为：
【解题技巧】
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
3.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
4.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
考点二：公切线问题
【典例精析】（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．的面积 D．存在直线，使与函数图象相切
【答案】ACD
【分析】对于选项A，可以分别求得两点处的斜率，利用斜率之积即可判断；
对于选项B，分析条件可得且，由特殊值即可判断；
对于选项C，根据两点处的切线方程可得点的对应坐标，继而可以表示的面积，即可判断；
对于选项D，设与函数图象相切于点，利用公切线切点斜率相等建立方程，判断方程是否有解即可.
【详解】解:由及图像可得，
而轴，故，
∴，即，
∴
∴，
显然A正确；
当时，，显然，B错误(也可以用基本不等式或对勾函数判定)；
，C正确；
设与函数图象相切于点，由题意可得：，
化简得,
令，则，即在定义域上单调递增，
有，故上存在使得，D正确.
故选：ACD
【点睛】本题关键在于表示两条切线的方程，利用即可解决前三个选项，对于公切线问题关键在于设切点，利用导数的几何意义转化为单变量问题，再利用导数判断方程根的问题，属于难题.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.
【详解】设是图象上的一点，，
所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，
所以.
故选：D
2．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，.两条切线重合，即可得出有唯一实根.构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.
【详解】设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
设直线与的切点为，
因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，
即该直线的方程为，即.
因为函数和有且只有一条公切线，
所以有，
即有唯一实根.
令，则.
解，可得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得最大值.
当时，，，函数图象如图所示，

因为，有唯一实根，所以只有.
故选：C
3．（2021·江苏·高二专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据导数的几何意义写出函数在点A、B处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，令函数，利用导数求其范围，可得实数a的取值范围.
【详解】当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为函数图象上的两点，且，
当或时，，故，
当时，函数在处的切线方程为：；
当时，函数在处的切线方程为
两直线重合的充要条件是①，②，
由①②得：，，
令，则，
令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则.
a的取值范围是.
故选：B.
二、填空题
4．（2023·浙江·统考二模）与曲线和都相切的直线方程为 .
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，所以该直线的方程为，即，
所以，解得，
所以该直线的方程为，
故答案为：.
5．（2022·全国·南京外国语学校校考模拟预测）已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数 ．
【答案】1
【分析】设函数，的公共点为，则，代入化简即可求得，令，易得在上单调递增，即可求出，进而求得实数的值.
【详解】设函数，的公共点为，则即则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．
故答案为：1.
【解题技巧】
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
考点三：复合函数导数的计算
【典例精析】（多选）（2023·山东济宁·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据为奇函数可得，根据的图象关于y轴对称可得，两个等式两边同时取导数，可得、，对x赋值，结合选项即可求解.
【详解】因为为奇函数，定义域为R，所以，
故，
等式两边同时取导数，得，即①，
因为的图象关于y轴对称，则，故
，
等式两边同时取导数，得②.
由，令，得，解得，
由，令，得，
由②，令，得，
令，得，解得，
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.
【详解】依题知，，即，
由求导公式：，
复合函数的求导法则：设，则
得：，
故选：D.
2．（2023·山东德州·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
【答案】B
【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解.
【详解】由，令，得，所以.
由为奇函数，得，
所以，故①，
又②，由①和②得，
即，所以③，
令，得，得；
令，得，得.又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，故，
所以，
所以
.
故选：B.
3．（2023·四川攀枝花·统考三模）定义在上的连续可导函数的导函数为，满足，且为奇函数．当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】推导出函数、均为周期函数，确定这两个函数的周期，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数为奇函数，则，
即，可得，
又因为，则，
所以，，可得，则，
即，
所以，，
在等式两边求导得，
故函数也为周期函数，且该函数的周期为，
因为，令时，则有，所以，，
所以，满足，
即当时，，此时，
所以，，
因此，.
故选：A.
二、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数的图象在点处的切线方程.
【详解】 ，
，则，
又，切点为，
函数的图象在点处的切线方程是 即.
故答案为：.
5．（2022上·山东菏泽·高三统考期中）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】先求导函数，解出的值，代入函数即可求得.
【详解】由已知，，则
所以，，
所以，.
故答案为：.
【解题技巧】
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点：
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；
③计算结果尽量简洁.
考点四：导数与函数的单调性
【典例精析】（多选）（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，的图象关于中心对称
C．当，且时，可能有三个零点
D．当在上单调时，
【答案】BC
【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D.
【详解】对于A，当时，，，
若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；
对于B，当时，，，则，所以的图象关于中心对称，故B正确；
对于C项，当时，，
，
取，即时，此时，
所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以函数极小值为，函数极大值为，
即，所以在有一个零点，
又因为，，
所以在有一个零点，在有一个零点，
即当时，有三个零点，故C正确；
对于D项，若在定义域上是单调函数，
则恒成立，所以，解得，所以D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题C项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考一模）设，，（e为自然对数底数），则a，b，c大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由，，，且，构造利用导数研究单调性比较大小，即可得结果.
【详解】由题设，，，显然，
对于，的大小，只需比较大小，
令且，则，即在上递减，
所以，故，
综上，，故.
故选：B
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】设，
，
所以是奇函数.
当时，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
不等式即，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解.
3．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
【分析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
二、填空题
4．（2022上·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是 .
①；②；③；④.
【答案】②③
【分析】将题干转化为抽象函数的性质，根据原函数与导函数图象间的关系可得解.
【详解】因为，均为偶函数，
所以，即，，
所以，，则，故③正确；
函数，的图象分别关于直线，对称，
又，且函数可导，由函数图象关于直线对称，所以其单调性在处改变，导数值为零，所以，，所以关于点对称，又图象关于对称，所以的周期为，所以，
所以，所以，故②正确，④错误；
若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故①错误；
故答案为：②③.
三、解答题
5．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，函数，且对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在区间和上单调递减，在区间上单调递增
(2)
【分析】(1)对函数求导，求出零点，即可写出单调区间.
(2)代入，表示函数，将恒成立，转化为恒成立，结合第一问求出的单调区间，即可求解.
【详解】（1）（1）．
令，得或，
当或时，，当时，，
所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增．
（2）当时，，
．
．
当时，，所以恒成立，等价于恒成立．
由（1）知，，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即．
令函数，，则，
所以，
所以m的取值范围是．
【解题技巧】
1.确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
4.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
5.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
6.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
考点五：导数与函数的极值
【典例精析】（多选）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（ ）．
A．都有两个极值点
B．都有三个零点
C．，曲线都有对称中心
D．，使得曲线有对称轴
【答案】AC
【分析】根据已知函数求导求出单调区间再求出极值点判断A选项，根据极值确定零点个数判断B选项，根据导函数性质以及三次函数图象的性质可判断C,D选项.
【详解】，
，
单调递增；单调递减；
都有两个极值点，故A选项正确；
因为当时， ；当 时， ,
所以函数 至少有一个零点，
已知 极大值
极小值
当，即 时，，
所以函数与 x 轴仅有一个交点，
不满足 都有三个零点，故选项 B 错误；
函数是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数对称中心的横坐标，
是曲线对称中心，故选项 C 正确，
由三次函数图象的性质知 ，曲线C没有对称轴，选项 D 错误．
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南·统考三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在处得到极大值 B．在处得到极大值
C．在处得到极小值 D．在处得到极小值
【答案】C
【分析】利用导数求函数极值即可.
【详解】由，且，
所以时，递减，时，递增，
所以在处得到极小值.
故选：C
2．（2023·贵州遵义·统考三模）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据极值点的意义，列式求解即可.
【详解】，
所以，解得，
经检验，满足题意，
所以.
故选：A
3．（2023·江西南昌·校考模拟预测）已知函数，下列命题中，是假命题的为（ ）
A．若在上单调递减，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若是函数的极值点，则
D．若在上恒成立，则
【答案】D
【分析】利用导函数与函数单调性之间的关系可知，若在上单调递减，即可得在恒成立，可判断A正确；若是函数的极值点，代入导函数可得，且在上的最小值为，即BC正确；构造函数，可得若在上恒成立，则，可知D错误.
【详解】根据题意可知，若在上单调递减,
则在上恒成立，即在恒成立；
易知函数在上单调递增，所以可得；即A正确；
若是函数的极值点，则，可得，
经检验，满足题意，故C正确；
此时，
若，可得当时，，时，；
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即B正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则；
易知恒成立，所以函数在上单调递增，
则，即，所以D错误.
故选：D
二、填空题
4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知正数，满足，则函数（）的极小值点的个数为 ．
【答案】1012
【分析】由已知构造函数（），利用的单调性得，从而，，再利用导数判断单调性可得答案.
【详解】因为，即，
所以，所以，
令（），则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，，
所以，
令，得，，
当，时，，，则；
当，时，，，
则，
所以在，上单调遂减，
在，上单调递增，
故在，处取得极小值，
因为，所以，则，
又，所以可以取0，1，…，1011，共1012个取值，
所以的极小值点的个数为1012．
故答案为：1012.
【点睛】方法点睛：同构是通过合理的整理变形使函数的解析式变形成为我们熟悉的函数或者把题干中的方程、不等式通过合理变形使得代数式的两边呈现出相同的结构，即把代数式变为与]的关系，则可将相同的结构构造函数，进而利用函数的单调性、最值等手段解决问题，其本质是复合函数的拆分.
三、解答题
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设分别为的极大值点和极小值点，若，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论与2的大小关系，利用导数判断原函数的单调性；
（2）由（1）可知：，且，进而可得，结合题意运算求解即可.
【详解】（1）根据题意得，
令，解得或，
若，可知，当且仅当时，等号成立，
若时，，所以在上单调递增；
若时，则，可知：
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，， 单调递增；
综上所述：当是，在R上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知：，且，
所以，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为.
【解题技巧】
1. 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
3.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
考点六：导数与函数的最值
【典例精析】（多选）（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）
A．当时，函数和在处的切线互相垂直
B．若函数在内存在单调递减区间，则
C．函数在内仅有一个零点
D．若存在，使得成立，则
【答案】ACD
【分析】对函数与求导，根据导数的几何意义分别计算与，再根据直线垂直的斜率公式计算并判断选项A，将条件转化为在内有解，参变分离后，求解的最小值即可得的取值范围，判断选项B，求解导函数，通过构造新函数，求导判断单调性，再结合零点存在定理判断选项C，参变分离将成立转化为，通过构造两次新函数，求解导函数并判断单调性从而判断得，进而得的取值范围，判断选项D.
【详解】对于选项A，当时，，
所以，由，得到．
因为，
所以函数和在处的切线互相垂直，故A正确；
对于选项B，因为，
若函数在内存在单调递减区间，
可知在内有解，
则在时能成立，
所以，当时，
，即，故B不正确；
对于选项C，当时，，
，此时函数无零点；
当时，，
令，其中，
则，所以函数在上单调递减，
可得，因为对任意的，，
可得，所以函数在上为减函数，
由于，，
所以函数在上只有一个零点．
综上函数在上只有一个零点，故C正确；
对于选项D，由，得，
令，，
则，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，
此时，则函数在上单调递增．
当时，，则函数在上单调递减，
因为，，
所以存在，使得，
变形可得，
当时，，当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，
令函数，，因为，
所以在上单调递减，
则，故，
所以成立，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·福建福州·统考三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】C
【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.
【详解】对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值，D正确.
故选：C.
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，再由可判断A；举反例可判断B；当是第三象限角时由可判断C；当时利用为单调递增函数，对两边取对数对称矛盾可判断D.
【详解】对于A，令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，即，故A正确；
对于B，当时显然不成立，故B错误；
对于C，当是第三象限角时，则，所以，
可得，故C错误；
对于D，当时，为单调递增函数，
若，则，
这与矛盾，故D错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：对于A选项，关键点是构造函数，再利用函数的单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力.
二、填空题
4．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
三、解答题
5．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，分别判断的符号，得出函数的单调区间；
（2）利用函数最值转化为求证，构造函数利用导数求最值即可得解.
【详解】（1），
当时，，在上单调递减；
当时，由可得，故时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，
只需证，即证，
设，
则，
故时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
又，故，
即成立，所以原不等式成立.
【解题技巧】
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
3．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
5．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
7．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
8．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
9．（2020·高一单元测试）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
10．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
二、多选题
11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
12．（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
13．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
14．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
16．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
17．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
四、解答题
18．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出两个函数图象的公共点坐标，利用导数的几何意义建立关系求解即得.
【详解】设函数与函数的图象公共点坐标为，
求导得，依题意，，于是，
令函数，显然函数在上单调递增，且，
则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，
所以.
故选：B
2．（2023上·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导利用函数零点定义即可求得，得到数列是公差为2的等差数列.再利用引入辅助角公式对化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合题意进而求解即可.
【详解】因为有唯一的零点，且为偶函数，
则，可得，，所以数列是公差为2的等差数列.
又，
令，则为奇函数，
因为，所以在上单调递增，
由题意得，
则，
∵数列是公差为2的等差数列，其中，
则，假设，
因为是奇函数且在上单调递增，
则在上单调递增，
所以，
∵，
∴，与已知矛盾，故不成立；
假设，同理可得，与已知矛盾，故不成立；
综上，．
故选：A
3．（2023·河南·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.
【详解】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设切点为，曲线求导得到切线斜率，利用斜率相等求得切点坐标，代入直线方程后得，构造新的函数，应用导数求函数的最值即可.
【详解】由，知定义域为，
设切点为，，，
所以，故切点为，代入直线方程，
则，
，
令，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
故的最小值为1.
故选：B
5．（2023·江西鹰潭·统考一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，求得的取值范围.
【详解】函数在区间恰有3极值点，2个零点，
在恰有3个零点，
又函数在区间恰有2零点，
由于，则，
故问题转化为在上有3个零点，在上有2个零点，
结合正余弦函数图象可得：，故.
故选：C.
.
.
6．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数在上恰有5个极值点，则当取得最小值时，图象的对称中心的横坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的性质求出的极值点，根据极值点的个数列出关于的不等式求出最小值，再根据正弦函数的性质求出对称中心横坐标即可.
【详解】令，故，
由于在上恰有5个极值点，故，解得，
故当取得最小值时，，
令，则，当时，，而其他选项不合题意.
故选：B．
二、多选题
7．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数，则（ ）
A． B．有两个极值点
C．曲线的切线的斜率可以为 D．点是曲线的对称中心
【答案】BD
【分析】A项，求导赋值可得；B项，利用导函数研究单调性再求极值；C项，研究导函数值域即可；D项，证明.
【详解】选项A，由题意得，
所以，解得，A错误；
选项B，由，则，
，由得，或，
则当或时，；
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，有极大值；当时，有极小值.
所以有两个极值点，B正确；
选项C，，
所以曲线的切线的斜率不可能为，C错误；
选项D，因为
,
所以点是曲线的对称中心，D正确.
故选：BD.
8．（2023·江西景德镇·统考一模）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点
B．函数在上单调递减
C．函数无最大值和最小值
D．当或时，关于x的方程有且仅有1个解
【答案】ACD
【分析】利用导数研究的单调性、极值，画出函数大致图象，数形结合分析各项的正误.
【详解】由且，
故上，递增，上，递减，
且极大值， ，
在内趋向于1时趋向于0且恒负，则趋向，
在上恒成立，趋向于时趋向于，则趋向3，
综上，图象如下，

所以有两个零点，上不单调，无最大值和最小值，或时，关于x的方程有且仅有1个解.
故选：ACD
三、填空题
9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】利用导数的乘法法则求出的导数，即可求得，又，利用直线的点斜式即可得出结论.
【详解】由题意得，
所以，
又，
所以切线方程为．
故答案为：.
10．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为 .
【答案】/
【分析】求出和，继而求出和，根据曲率的计算即可得答案.
【详解】因为，故，，
故，
故，即曲线在点处的曲率为，
故答案为：
11．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）若函数在上单调递增，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】若要在上单调递增，只需其导函数恒成立即可，进而通过运算即可求得的取值范围.
【详解】对求导得在上恒成立，即只需恒成立，设，则，
所以在上单调递增，注意到当趋于正无穷时，无限接近于，综上的取值范围为．
故答案为：
四、解答题
12．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）设，为实数，且，函数（），直线．
(1)若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；
(2)当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件可得，即，令，构造，求导得其单调性，即可得到切点在直线上，即可得证；
（2）根据题意，转化为有2个不同的解，即证，然后构造函数有其单调性即可得证.
【详解】（1）设切点横坐标为，可得，
得，即，
化简得，
令，得，
记，
所以时，单减，且时，
当，单增，，所以，，
，所以切点在直线上．
（2）当时，由（1）得切线的斜率为，
直线与函数有两个不同的交点，得，
即有2个不同的解，
由题意得，，
做差得，即，
欲证，即证，即证，即
令，，即证即
下面先证明，令，
即证，即，
先证，令，
，单调递增得，因为，
所以，证得成立，
用替换，可得成立，
所以，即成立，得.
13．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．
【答案】(1)当时，在处取极大值
(2)
【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则恒成立，
所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减：
所以当时，在处取极大值，无极小值；
（2），
令，得，令，在区间有2个零点，
即与在区间有2个交点，
，，，
当，，在上单增，
当，，在上单减，
，的最大值为，，
与在区间有2个交点，则．
14．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程；
（2）设，利用导数研究的单调性与最值，结合三角函数的有界性得出结论.
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，
则，故，
又，
在处的切线方程为，
即．
（2）设，
则．
设，则，
在上单调递增．
，即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
在处取得最小值，
，又，当时，，
，即．
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2.3导数及基本应用
【备考指南】
【思维导图】 1
【考点梳理】
考点一：导数的几何意义
考点二：公切线问题
考点三：复合函数导数的计算
考点四：导数与函数的单调性
考点五：导数与函数的极值
考点六：导数与函数的最值
【真题在线】
【专项突破】
考点 考情分析 考频
导数的几何意义 2023年全国甲卷T8 2023年全国乙卷T21 2022新高考Ⅰ卷T15 2022年新高考Ⅱ卷T14 2022年全国甲卷T20 2年7考
极值与最值 2023年新高考Ⅱ卷T11 2022年全国甲卷T8 2022年全国乙卷T16 2022年新高考Ⅰ卷T10 2年4考
不等式证明 2023年新高考Ⅱ卷T22 2021年新高考Ⅱ卷T22 2年2考
恒成立（能成立）问题 2023年新高考Ⅰ卷T19 2023年全国甲卷T21 2023年全国乙卷T20 2022年新高考Ⅱ卷T22 2年4考
零点问题 2023年全国乙卷21 2022年全国乙卷21 2022年新高考Ⅰ卷T22 2年3考
双变量问题 2022年全国甲卷T21
预测：导数部分为高考的必考点，主观题与客观题都有考察.从近几年命题角度看，全国卷的压轴题基本都是导数部分内容，但在2023年新高考Ⅰ卷T19难度不大，这是一个值得关注的地方，平时对难度中等的导数问题要处理好.小题的考察主要是导数的几何意义与极值、最值，各种试题难度都有出现，在二轮复习时候在做好基础的同时也要注重提升学生思维的深度与广度.
考点一：导数的几何意义
【典例精析】（多选）（2023·安徽淮南·统考一模）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．直线是曲线的一条切线
C．图象的对称中心为
D．方程有三个实数根
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·山东·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则 .
5．（2023·广东广州·统考一模）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为 .
【解题技巧】
1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
3.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
4.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
考点二：公切线问题
【典例精析】（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．的面积 D．存在直线，使与函数图象相切
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A． B．3 C． D．2
2．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
3．（2021·江苏·高二专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·浙江·统考二模）与曲线和都相切的直线方程为 .
5．（2022·全国·南京外国语学校校考模拟预测）已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数 ．
【解题技巧】
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
考点三：复合函数导数的计算
【典例精析】（多选）（2023·山东济宁·统考一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东德州·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
3．（2023·四川攀枝花·统考三模）定义在上的连续可导函数的导函数为，满足，且为奇函数．当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程是 ．
【解题技巧】
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点：
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；
③计算结果尽量简洁.
考点四：导数与函数的单调性
【典例精析】（多选）（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，的图象关于中心对称
C．当，且时，可能有三个零点
D．当在上单调时，
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考一模）设，，（e为自然对数底数），则a，b，c大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
二、填空题
4．（2022上·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数则下面各选项中一定正确的序号是 .
①；②；③；④.
三、解答题
5．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，函数，且对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
【解题技巧】
1.确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
4.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
5.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
6.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
考点五：导数与函数的极值
【典例精析】（多选）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（ ）．
A．都有两个极值点
B．都有三个零点
C．，曲线都有对称中心
D．，使得曲线有对称轴
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南·统考三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在处得到极大值 B．在处得到极大值
C．在处得到极小值 D．在处得到极小值
2．（2023·贵州遵义·统考三模）函数在处取得极值0，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3．（2023·江西南昌·校考模拟预测）已知函数，下列命题中，是假命题的为（ ）
A．若在上单调递减，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若是函数的极值点，则
D．若在上恒成立，则
二、填空题
4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知正数，满足，则函数（）的极小值点的个数为 ．
三、解答题
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设分别为的极大值点和极小值点，若，求的取值范围．
【解题技巧】
1. 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
3.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
考点六：导数与函数的最值
【典例精析】（多选）（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）
A．当时，函数和在处的切线互相垂直
B．若函数在内存在单调递减区间，则
C．函数在内仅有一个零点
D．若存在，使得成立，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·福建福州·统考三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
三、解答题
5．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，
【解题技巧】
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·高一单元测试）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
12．（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
13．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
14．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
15．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
16．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
17．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为 ．
四、解答题
18．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习）在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023·江西鹰潭·统考一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数在上恰有5个极值点，则当取得最小值时，图象的对称中心的横坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数，则（ ）
A． B．有两个极值点
C．曲线的切线的斜率可以为 D．点是曲线的对称中心
8．（2023·江西景德镇·统考一模）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点
B．函数在上单调递减
C．函数无最大值和最小值
D．当或时，关于x的方程有且仅有1个解
三、填空题
9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为 ．
10．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为 .
11．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）若函数在上单调递增，，则的取值范围为 ．
四、解答题
12．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）设，为实数，且，函数（），直线．
(1)若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；
(2)当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．
13．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．
14．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数．
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)证明：．
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