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1.2常用逻辑用语
【备考指南】 1
【思维导图】 1
【考点梳理】 2
考点一：充分不必要条件 2
考点二：必要不充分条件 3
考点三：充要条件 4
考点四：全称量词与全称命题 5
考点五：存在量词与特称命题 6
考点六：含有一个量词的命题的否定 7
【真题在线】 8
【专项突破】 9
考点 考情分析 考频
充分条件与必要条件 2023年全国甲卷T7 2023年全国ⅠT7 2021年全国甲卷T7 5年3考
充要条件 2019年新高考Ⅱ卷T7 5年1考
全称量词与存在量词 2021年全国乙卷T3 5年1考
预测：本节内容的考察主要是概念的理解，通常结合其他知识点进行考察，考察的频率不是太高，近5年全国卷中考察了5次，最近考察是在2023年， 2024年值得关注.
考点一：充分不必要条件
【典例精析】（多选）（2021上·福建福州·高一校考阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知集合，，若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
5．（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【解题技巧】
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
考点二：必要不充分条件
【典例精析】（多选）（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）下列命题中正确的命题是 （ ）
A．，使；
B．若，则；
C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；
D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·云南昆明·统考模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
5．（2022·全国·模拟预测）已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
【解题技巧】
1.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
3.利用条件关系解题的常见误区：(1)忽视条件关系的不唯一；(2)求参数范围忽视端点值的取舍.
考点三：充要条件
【典例精析】（多选）（2023·海南海口·校考模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21
B．若等差数列满足、、、，则
C．非零平面向量 、 、满足，，则
D．在中，“”与“”互为充要条件
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·山西吕梁·统考一模）满足函数在上单调递减的充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：
1 2 3 4 5
4 9 11
其回归直线过点的一个充要条件是（ ）
A． B．
C． D．，
二、填空题
4．（2020·河南·校联考模拟预测）若关于的不等式成立的充要条件是，则 .
5．（2020·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）直线与直线平行的充要条件为 .
【解题技巧】
一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
考点四：全称量词与全称命题
【典例精析】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川绵阳·统考一模）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）有下列命题：①若“，则或”是真命题；②命题“，”的否定是“，”；③，为真命题，则a的最大值为2.其中正确的是 （填序号）.
5．（2023·江西·统考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是 .
【解题技巧】
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
考点五：存在量词与特称命题
【典例精析】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南·校联考模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、填空题
3．（2023·四川南充·模拟预测）若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
4．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【解题技巧】
依据含量词命题的真假求参数取值范围：
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
考点六：含有一个量词的命题的否定
【典例精析】（多选）（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·四川内江·高一四川省内江市第一中学校考阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河北沧州·校考三模）已知命题：，使得且，则为（ ）
A．，使得且 B．，使得或
C．，使得或 D．，使得且
3．（2023·河南·校联考模拟预测）哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ）
A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
4．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 .
5．（2020上·安徽马鞍山·高三和县第二中学校考阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【解题技巧】
1.注意p与p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2021·北京·统考高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9．（2020·北京·统考高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2020·山东·统考高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
一、单选题
1．（2023·吉林长春·统考一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·海南·校联考模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·统考一模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）
A．，函数不是偶函数 B．，函数不是偶函数
C．，函数是奇函数 D．，函数是奇函数
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）下列命题正确的是（ ）
A．命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题
B．命题“若，则” 的逆否命题为真命题
C．若使得函数的导函数，则为函数的极值点；
D．命题“，使得”的否定是：“，均有”
二、多选题
7．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若数列为等差数列，则
C．若，，且，则的最小值为9
D．命题“，”的否定为“，”
8．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直线，有 D．存在直线，有
三、填空题
9．（2023·黑龙江大庆·大庆市东风中学校考模拟预测）已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 填序号
10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）命题“，”的否定是 .
11．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设，，，是四个命题，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，是的充分必要条件，那么是的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）
四、解答题
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知对任意实数恒成立.
(1)求实数的取值所构成的集合;
(2)在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
13．（2021上·山东济宁·高一济宁市育才中学校考阶段练习）已知命题“使不等式成立”是假命题
(1)求实数m的取值集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
14．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
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1.2常用逻辑用语
【备考指南】 1
【思维导图】 1
【考点梳理】 2
考点一：充分不必要条件 2
考点二：必要不充分条件 5
考点三：充要条件 8
考点四：全称量词与全称命题 11
考点五：存在量词与特称命题 13
考点六：含有一个量词的命题的否定 16
【真题在线】 18
【专项突破】 24
考点 考情分析 考频
充分条件与必要条件 2023年全国甲卷T7 2023年全国ⅠT7 2021年全国甲卷T7 5年3考
充要条件 2019年新高考Ⅱ卷T7 5年1考
全称量词与存在量词 2021年全国乙卷T3 5年1考
预测：本节内容的考察主要是概念的理解，通常结合其他知识点进行考察，考察的频率不是太高，近5年全国卷中考察了5次，最近考察是在2023年， 2024年值得关注.
考点一：充分不必要条件
【典例精析】（多选）（2021上·福建福州·高一校考阶段练习）若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】先根据充分不必要条件求解出的取值范围，由此确定出的可取值.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以，
所以的可取值有，
故选：CD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知集合，，若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依题意可得 ，即可得到，再求出集合，即可求出参数的取值范围.
【详解】由，解得，所以，
因为，所以不等式，等价于，
因为“”是“”的充分非必要条件，所以 ，
所以，则，所以不等式，即，解得，
所以，
又 ，所以.
故选：B
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则 ，列出不等式组求解即可.
【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则 ，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B.
3．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据极值的定义，结合充分不必要条件的性质进行判断即可.
【详解】，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值，
只需，显然四个选项中，只有能推出，
但是推不出，
故选：A
二、填空题
4．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意转化为当时，恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由是的充分不必要条件，可转化为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
又由函数在上为单调递增函数，且，所以，
经验证，当时，不等价于，所以的取值范围是．
故答案为：.
5．（2023·上海长宁·统考二模）若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由充分条件定义直接求解即可.
【详解】“”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【解题技巧】
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
考点二：必要不充分条件
【典例精析】（多选）（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）下列命题中正确的命题是 （ ）
A．，使；
B．若，则；
C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；
D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．
【答案】BCD
【分析】根据指数函数的性质，得到，可判定A不正确；由三角函数的基本关系式，可判定B正确；由指数函数与对数函数的性质，结合充分、必要条件的判定，可判定C正确；求得，分类讨论，结合三角函数的符号，可判定D正确．
【详解】对于A中：当时，，即，所以A不正确；
对于B中：若，则，
所以，可得或，此时，
所以B正确；
对于C：由，可得，又由，可得则，
所以“”是“”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D：由角的终边在第一象限，可得，
当为偶数时，在第一象限时，可得；
当为奇数时，在第三象限时，可得，
所以的取值集合为，所以D正确．
故选：BCD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可．
【详解】由题，， ，
当时，有，符合题意；
当时，有，此时，所以或，所以.
综上，实数的所有可能的取值组成的集合为.
故选：A.
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】，即，
∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
3．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据前者是后者得必要不充分条件，得到 ，再利用数轴得到不等式，得到的范围.
【详解】是的必要不充分条件， ，
，解得.
故选 ：B.
二、填空题
4．（2022·云南昆明·统考模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得的可能取值.
【详解】由于“”是“”的必要不充分条件，所以，
所以的值只需小于即可.
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
5．（2022·全国·模拟预测）已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】解一元二次不等式分别求得、中的取值范围，根据是的充分不必要条件可知对应的的取值范围是对应的的取值范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】本题考查充分条件与必要条件的判断.
q：，即.
p：，
即.
因为p是q的必要不充分条件，
所以且等号不同时成立，
解得.
故答案为：
【解题技巧】
1.充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断.
(2)利用集合间的包含关系进行判断.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用.
3.利用条件关系解题的常见误区：(1)忽视条件关系的不唯一；(2)求参数范围忽视端点值的取舍.
考点三：充要条件
【典例精析】（多选）（2023·海南海口·校考模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21
B．若等差数列满足、、、，则
C．非零平面向量 、 、满足，，则
D．在中，“”与“”互为充要条件
【答案】ACD
【分析】根据百分位数计算规则判断A，利用反例说明B，根据共线向量的定义判断C，根据余弦函数的性质判断D.
【详解】对于A，将数据按从小到大排列为：、、、、、、、、、，
又，所以第百分位数为第、位两数的平均数，
即第百分位数是，选项A正确；
对于B，若等差数列是常数列，由，不能得出，选项B错误；
对于C，非零平面向量、、满足，，即，，显然且，
所以，即，选项C正确；
对于D，中，由“”即，
根据余弦函数在上单调递减知，，
即在中，“”与“”互为充要条件，选项D正确．
故选：ACD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知集合，则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根据集合并集结果有即可求参数a的范围，最后由充分、必要性定义可得答案.
【详解】由题设，，，
若，则，故，可得.
所以是的充要条件.
故选：B
2．（2019·山西吕梁·统考一模）满足函数在上单调递减的充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性，求出的取值范围即可
【详解】解：若在上单调递减，则满足且，则，
即在上单调递减的一个充分必要条件是.
故选:B.
【点睛】本题主要考查复合函数单调性的判断，考查了充要条件. 不忽视函数的定义域是解决本题的关键.
3．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：
1 2 3 4 5
4 9 11
其回归直线过点的一个充要条件是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】C
【分析】求出数据的样本中心点，根据回归直线过样本中心点，结合已知即可确定题设的充要条件.
【详解】由题设，，，又、都在回归直线上，
所以，必有，故，
故回归直线过点的一个充要条件是.
故选：C
二、填空题
4．（2020·河南·校联考模拟预测）若关于的不等式成立的充要条件是，则 .
【答案】2
【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】因为是不等式成立的充分条件，
所以，
因为是不等式成立的必要条件，
所以，
故.
故答案为：2
【点睛】本题考查不等式的解法、简易逻辑，还考查了推理能力与运算能力，属于基础题..
5．（2020·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）直线与直线平行的充要条件为 .
【答案】
【分析】根据直线平行的等价条件求出的值即可得到结论.
【详解】若，两直线方程依次为，，此时两直线垂直，不平行，
若，两直线方程依次为和，两直线不平行，
当且时，若两直线平行，则，
由得，得，得，则，
当时，，与矛盾，所以不成立，
当时，成立，所以，
即直线平行的充要条件是，
故答案为：
【解题技巧】
一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p q.
考点四：全称量词与全称命题
【典例精析】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.
【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若为假命题，则的否定“”是真命题，即方程在实数范围内无解，，得，C不正确；
D选项，，等价于，解得，D正确；
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件知，对，恒成立，从而求出的取值范围，再根据选项即可得出结果.
【详解】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，
当时，在上恒成立，所以满足条件，
当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，
当时，显然有不恒成立，
故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
3．（2023·四川绵阳·统考一模）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.
【详解】，函数的最大值是，
根据命题是真命题可知，，即.
故选：A
二、填空题
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）有下列命题：①若“，则或”是真命题；②命题“，”的否定是“，”；③，为真命题，则a的最大值为2.其中正确的是 （填序号）.
【答案】①③
【分析】①由于原命题和逆否命题为等价命题，可利用逆否命题判定；②用全称量词的否定判定；③可利用恒成立问题，由基本不等式找到判定a的范围.
【详解】对于①，若“，则或”的逆否命题为：若且，则，显然逆否命题为真命题，
由于原命题和逆否命题为等价命题，故该命题是真命题，故①为真命题；
对于②，命题“，”的否定是“，”，故②为假命题；
对于③，因为，为真命题，所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即a的最大值为2，故③为真命题.
故答案为：①③.
5．（2023·江西·统考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
【解题技巧】
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
考点五：存在量词与特称命题
【典例精析】（多选）（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.
【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若为假命题，则的否定“”是真命题，即方程在实数范围内无解，，得，C不正确；
D选项，，等价于，解得，D正确；
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南·校联考模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为，即可求解.
【详解】因为，使得，又因为，所以，
所以实数的取值范围为．
故选：B.
2．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
二、填空题
3．（2023·四川南充·模拟预测）若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】因为命题“，使得成立”为真命题，
所以，解得.
故答案为：
4．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
【解题技巧】
依据含量词命题的真假求参数取值范围：
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
考点六：含有一个量词的命题的否定
【典例精析】（多选）（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A，C，D根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断.
【详解】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·四川内江·高一四川省内江市第一中学校考阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定是特称命题，
则命题：的否定是：
故选：D.
2．（2023·河北沧州·校考三模）已知命题：，使得且，则为（ ）
A．，使得且 B．，使得或
C．，使得或 D．，使得且
【答案】C
【分析】根据存在命题的否定性质进行判断即可.
【详解】由命题的否定，否结论不否条件，“存在”改为“任意”，“且”改为“或”，
故选：C
3．（2023·河南·校联考模拟预测）哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ）
A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
【答案】D
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确否定，即可求解.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误;
哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”.
故选：D.
4．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
5．（2020上·安徽马鞍山·高三和县第二中学校考阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【详解】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
【解题技巧】
1.注意p与p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
5．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2021·北京·统考高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
8．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
9．（2020·北京·统考高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
10．（2020·山东·统考高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
一、单选题
1．（2023·吉林长春·统考一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用对数的换底公式得到，再利用对数的性质和充要条件的定义求解即可.
【详解】且，
当时，则，
当时，则，
，
当时，则，.
是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·海南·校联考模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为，即可求解.
【详解】因为，使得，又因为，所以，
所以实数的取值范围为．
故选：B.
3．（2023·浙江·统考一模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由平面向量的坐标运算结合得出的值，即可判断出答案．
【详解】由已知得，，，
若，则，即，解得，
所以“”“”，但“”“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
4．（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）
A．，函数不是偶函数 B．，函数不是偶函数
C．，函数是奇函数 D．，函数是奇函数
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题易得.
【详解】因为命题“，函数是偶函数”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即“，函数不是偶函数”.
故选：B.
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦函数与余弦函数的奇偶性结合诱导公式即可判断.
【详解】当时，，为偶函数，甲是乙的充分条件；
若为偶函数，则，则反向无法推出，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件，
故选：A．
6．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）下列命题正确的是（ ）
A．命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题
B．命题“若，则” 的逆否命题为真命题
C．若使得函数的导函数，则为函数的极值点；
D．命题“，使得”的否定是：“，均有”
【答案】B
【分析】根据复合命题的真假判断A，根据四种命题的关系判断B，根据极值的定义判断C，根据命题的否定判断D．
【详解】对于A：命题“”为假命题，则命题与命题至少有一个假命题，故A错误；
对于B：命题“若，则”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B正确；
对于C：若使得函数的导函数，
如果两侧的导函数的符号相反，则为函数的极值点；否则，不是函数的极值点，故C错误；
对于D：命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”．故D错误.
故选：B．
二、多选题
7．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若数列为等差数列，则
C．若，，且，则的最小值为9
D．命题“，”的否定为“，”
【答案】BC
【分析】举反例可判断A；根据等差数列通项公式直接推导可判断B（或由等差数列下标和性质可得）；妙用“1”，利用基本不等式即可判断C；根据全称量词命题的否定形式即可判断D.
【详解】A选项：取，显然满足，，但，故A错误；
B选项：记数列的公差为d，则，，所以，B正确；
C选项：因为，，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D选项：命题“，”的否定为“，”，D错误.
故选：BC
8．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直线，有 D．存在直线，有
【答案】AC
【分析】根据线面平行的性质，结合线面垂直的性质、必要不充分条件的定义逐一判断即可,
【详解】A：若，则直线可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，所以本选项正确；
B：若，则，即垂直于同一平面的两条直线平行；若，则存在平面，有，所以本选项不正确；
C：若，则直线可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在直线，有，所以本选项正确；
D：若，则，即平行于同一直线的两直线平行，若，则存在直线，有，所以本选项不正确，
故选：AC
三、填空题
9．（2023·黑龙江大庆·大庆市东风中学校考模拟预测）已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是 填序号
【答案】①
【分析】根据充分条件的判定一一分析即可.
【详解】①由可知，即， 故“”是“”的充分条件；
②当时， ；
③当，时，满足，有 ；
故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）命题“，”的否定是 .
【答案】，
【分析】利用全称命题的否定形式变换即可.
【详解】由全称命题的否定形式可得：“，”的否定是
“，”.
故答案为：，.
11．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设，，，是四个命题，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，是的充分必要条件，那么是的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）
【答案】充分不必要
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为是的必要不充分条件，所以，但，
是的充分不必要条件，所以，但A，
是的充分必要条件，所以，但D，
所以，但D，
故是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
四、解答题
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知对任意实数恒成立.
(1)求实数的取值所构成的集合;
(2)在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）通过讨论实数是否为时，即可通过解不等式求出实数的取值所构成的集合；
（2）求出集合，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，
对恒成立，
当时，原不等式变为，符合题意;
当时，对恒成立的充要条件为
解得：.
综上可知，实数的取值所构成的集合
（2）由题意，
，
∴，
∵是的充分不必要条件，
∴解得：，
经检验知满足题意，
故实数的取值范围为：.
13．（2021上·山东济宁·高一济宁市育才中学校考阶段练习）已知命题“使不等式成立”是假命题
(1)求实数m的取值集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）首先根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后由或求解即可；
（2）根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
故集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是
14．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得
（2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑
【详解】（1）由题意知，
因为，所以，
则，解得，则实数的取值范围是；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集，
当时，解得；
当时，（等号不能同时取得），解得，
综上，.
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