资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2.1函数及其性质
【备考指南】 1
【思维导图】 2
【考点梳理】 5
考点一：函数及其表示 5
考点二：函数的单调性与最值 9
考点三：函数的奇偶性 13
考点四：函数的周期性 16
考点五：函数的对称性 20
考点六：函数的图象 23
考点七：函数性质综合应用 30
【真题在线】 36
【专项突破】 45
考点 考情分析 考频
函数的基本性质 2023年新高考Ⅰ卷T11 2023年全国甲卷T13 2023年全国乙卷T4及T16 2022年全国乙卷T12 2021年新高考Ⅰ卷T12 2021年新高考Ⅱ卷T8 2年7考
预测：函数的基本性质是高考的必考点，试题的难易度广，从新高考这2年的试题看题目难度较大，全国卷试题难度有简单的，也有难度大的.今年全国大部分省份都进行新高考，估计函数性质这部分内容试题各种难度都有可能出现.在复习时应合理选择试题，难易结合，打好坚实的基础.
考点一：函数及其表示
【典例精析】（多选）（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）定义在上的函数满足：，对任意，，则 .
5．（2023·北京通州·统考模拟预测）两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如，．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
①；
②，恒有；
③若m，n（）都是素数，则；
④若（），其中为素数，则．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为 ．
【解题技巧】
1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
3.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
4.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
考点二：函数的单调性与最值
【典例精析】（多选）（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
3．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·河南·校联考三模）已知函数，若，则的取值范围是 .
5．（2022·四川达州·统考二模）函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数， .
【解题技巧】
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断方法：
①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
3.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
4.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
5.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三：函数的奇偶性
【典例精析】（多选）（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A． B． C．0 D．
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数.若.则的取值范围是 .
5．（2023·湖南郴州·统考一模）已知函数是偶函数，则 .
【解题技巧】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
考点四：函数的周期性
【典例精析】（多选）（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在函数，，，中，既是奇函数又是周期函数的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
二、填空题
4．（2021·上海崇明·统考一模）已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则
5．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）定义在R上的函数满足，且当，则＝ ．
【解题技巧】
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
考点五：函数的对称性
【典例精析】（多选）（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【变式训练】
一、单选题
1．（2022上·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知，若，则（ ）
A．4042 B．2024 C． D．
2．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．
D．函数的图象关于直线对称
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
二、填空题
4．（2022上·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
5．（2023·上海徐汇·统考三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 .
【解题技巧】
1.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
考点六：函数的图象
【典例精析】（多选）（2022上·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）函数在区间上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·吉林·统考一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ．
5．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是 .
【解题技巧】
1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从周期性，判断图象的循环往复；
(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
4.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
考点七：函数性质综合应用
【典例精析】（多选）（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）
A．都有
B．函数和均不存在最小正周期
C．函数和均为偶函数
D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·北京·高二北京市陈经纶中学校考开学考试）已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点；
②在上有最大值；
③若，则；
④区间是的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
2．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·校联考二模）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 .
5．（2022·山东济南·统考模拟预测）定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是 ．
【解题技巧】
1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考开学考试）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
4．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称
6．（2023·吉林长春·统考一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西·校联考模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023·江苏常州·校考一模）函数的定义域为 ．
10．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
11．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则 ．
四、解答题
12．（2023·上海黄浦·统考一模）已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数.
(1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
(3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
13．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数满足．
(1)讨论的奇偶性；
(2)设函数，求证：．
14．（2022·上海黄浦·统考一模）设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.1函数及其性质
【备考指南】 1
【思维导图】 2
【考点梳理】 5
考点一：函数及其表示 5
考点二：函数的单调性与最值 9
考点三：函数的奇偶性 13
考点四：函数的周期性 16
考点五：函数的对称性 20
考点六：函数的图象 23
考点七：函数性质综合应用 30
【真题在线】 36
【专项突破】 45
考点 考情分析 考频
函数的基本性质 2023年新高考Ⅰ卷T11 2023年全国甲卷T13 2023年全国乙卷T4及T16 2022年全国乙卷T12 2021年新高考Ⅰ卷T12 2021年新高考Ⅱ卷T8 2年7考
预测：函数的基本性质是高考的必考点，试题的难易度广，从新高考这2年的试题看题目难度较大，全国卷试题难度有简单的，也有难度大的.今年全国大部分省份都进行新高考，估计函数性质这部分内容试题各种难度都有可能出现.在复习时应合理选择试题，难易结合，打好坚实的基础.
考点一：函数及其表示
【典例精析】（多选）（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】将方程有根转化为曲线和直线的交点个数问题，根据函数图像分析运算即可得解.
【详解】解：因为关于的方程恰有两个不同的实数解，
所以函数的图象与直线的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，

所以当时，函数与的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是．
四个选项中只要是的子集就满足要求.
故选：BCD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则定义域为，
故选：C.
2．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，运算求解即可.
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
二、填空题
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）定义在上的函数满足：，对任意，，则 .
【答案】
【分析】利用赋值法可得，然后结合条件可得函数是周期为的周期函数，进而即得.
【详解】因为，
令，得，即，
由，，
令，，得，又，
因此，，，，，，，，…….
所以函数是周期为的周期函数，
所以，即.
故答案为：.
5．（2023·北京通州·统考模拟预测）两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如，．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
①；
②，恒有；
③若m，n（）都是素数，则；
④若（），其中为素数，则．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①③④
【分析】根据欧拉函数的函数值的定义，求出，，即可判断①②；若m是素数，m与前m－1个正整数均互素，可得，同理得，又不超过正整数且与互素的正整数共有个，可得，即可判断③；若，其中为素数，不超过的正整数共有，其中的倍数有个，则不超过且与互素的正整数有个，可得，即可判断④．
【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则，故①正确；
不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则，则，故②错误；
若m是素数，m与前m－1个正整数均互素，则；
同理，若n是素数，则，
故；
若m，n（）都是素数，则不超过的正整数中，除去与及外，其他的正整数均与互素，共有个，则，
所以，故③正确；
若（），其中为素数，不超过的正整数共有，其中的倍数有个，则不超过且与互素的正整数有个，则，故④正确．
故答案为：①③④．
【解题技巧】
1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
3.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
4.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
5.函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
考点二：函数的单调性与最值
【典例精析】（多选）（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）为定义在上的偶函数，对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得函数在上单调递增，且为偶函数，进而可得，即得.
【详解】对任意的，都有，则，
令，则在上单调递增，
因为为定义在上的偶函数，
所以，即为偶函数，
又，
由，可得，即，
所以，
所以的解集为，
故选：A.
2．（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【详解】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B
3．（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数解析式知函数在上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数在上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故在R上单调递减，
所以，
解得：.
故选：D.
二、填空题
4．（2023·河南·校联考三模）已知函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数，定义域为，且，
则
，
即，即为奇函数，
当时，，均单调递增，所以在上单调递增，
则在上单调递增，
所以是奇函数且在上单调递增，
由，可得，则，解得，
即的取值范围为.
故答案为：
5．（2022·四川达州·统考二模）函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数， .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题可得函数为定义在R上的奇函数，且为增函数，即得.
【详解】∵函数定义域为R，关于原点对称，又，即，
∴函数为奇函数，又，
∴函数为增函数，又函数是定义在R上的奇函数，且为增函数，
故函数可为.
故答案为：（答案不唯一）.
【解题技巧】
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断方法：
①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
3.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
4.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
5.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三：函数的奇偶性
【典例精析】（多选）（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由求得，即可判断A、B选项；由已知得出周期，结合函数的奇偶性，即可判断C、D选项.
【详解】已知函数为上的奇函数，则，即，解得，A正确；B错误；
又因为，即，从而周期为8，，
，
.
因为当时，，所以，
从而，，，
所以，C正确；D错误.
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别判断各函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】A选项，在R上单调递减，不合题意；
B选项，，，当时，，单调递减，不合题意；
C选项，，定义域为R，，函数为奇函数，
由函数和都是R上的增函数，所以为R上的增函数，C选项正确；
D选项，，
当时，结合二次函数性质可知，函数单调递减，则单调递减，不合题意.
故选：C.
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案.
【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，
故，即，
将该式和相减可得，
则，
故选：C
3．（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选：C.
二、填空题
4．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数.若.则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数定义域为，，，
所以是奇函数且在上单调递增，
由0，可得，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：.
5．（2023·湖南郴州·统考一模）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列式求解即得.
【详解】函数的定义域为R，依题意，，
则，，
即，整理得，
而不恒为0，，因此，
所以.
故答案为：1
【解题技巧】
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
考点四：函数的周期性
【典例精析】（多选）（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由为奇函数得，
因此，所以的图象关于点对称，所以A错误；
对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，，
从而，所以以4为周期，可得，
由中，令，得，所以C正确；
对于D中，由前面的分析可得，，
所以，
所以D正确．
故选：BCD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在函数，，，中，既是奇函数又是周期函数的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设，，首先判断出的奇偶性与周期性，再分别判断的奇偶性与周期性即可．
【详解】设，，
因为，
所以是上的奇函数，显然不是周期函数；
对于，，
因为，
所以为奇函数，
又因为，
所以是周期函数；
对于，，
因为，
所以为偶函数，
又因为，
所以是周期函数；
对于，，
因为，
所以在定义域内为奇函数，
又因为，
所以是周期函数；
综上所述，，既是奇函数又是周期函数，
故选：C．
2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得函数是周期为4的周期函数，结合奇偶性与周期性运算求解.
【详解】∵为奇函数，则，即，
∴，则的周期为4，
则，
故.
故选：C.
3．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数对任意都有，且，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，
D．函数的最小正周期为2
【答案】D
【分析】根据得到，所以的周期为4，根据得到关于对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据求出时函数解析式；D选项，根据的最小正周期，得到的最小正周期.
【详解】因为，所以，故，
所以的周期为4，
又，所以，故关于对称，
又时，，故画出的图象如下：

A选项，函数的图象关于点不中心对称，故A错误；
B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；
C选项，当时，，则，C错误；
D选项，由图象可知的最小正周期为4，
又，故的最小正周期为2，D正确.
故选：D
二、填空题
4．（2021·上海崇明·统考一模）已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则
【答案】
【解析】由任意，都有，推得的周期为4，结合周期，即可求解.
【详解】因为对任意，都有为常数，可得，
从而，即的周期为4，所以，
又因为当时，，则，即
故答案为：.
5．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）定义在R上的函数满足，且当，则＝ ．
【答案】/0.25
【分析】根据函数的周期性即可代入求解.
【详解】由可得，所以，故为周期函数，且周期为8，
，
故答案为：
【解题技巧】
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
考点五：函数的对称性
【典例精析】（多选）（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，
又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2022上·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知，若，则（ ）
A．4042 B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】计算再求解即可.
【详解】由题意，，故，.
故选：A
2．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．
D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.
【详解】函数关于点中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数为偶函数，所以，
由，
所以函数的周期为，所以选项B不正确；
因为函数是周期为的偶函数，
所以，因此选项A不正确；
在中，令，得，
因为函数的周期为，因此选项C正确，
故选：C
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
【答案】C
【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称，结合时，，即可画出函数的图象，由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数对任意都有，即恒成立，所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以的图象关于对称，
故，因此的图象关于对称，
设，则，
因为函数对任意都有
所以，
所以 所以选项D错误.
作出的图象如图所示：
由图象可知，函数的图象关于点中心对称，关于直线对称，故A，B错误；
对于C：函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故C正确.
故选：C
二、填空题
4．（2022上·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.
【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则.
故答案为：-5.
5．（2023·上海徐汇·统考三模）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则 .
【答案】6
【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答.
【详解】显然函数的图象关于点成中心对称，
依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称，
于是，所以.
故答案为：6
【解题技巧】
1.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
考点六：函数的图象
【典例精析】（多选）（2022上·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.
【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，
将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，
将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，
则函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；
函数有且仅有两个零点，D正确.
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）函数在区间上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据最值范围可排除D.
【详解】由于，所以，所以为偶函数，故排除AB,
由于，故当时，，故排除D，
故选：C
2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【详解】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
3．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个零点，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数单调性可得大致图象，后令，则由结合图象可知，方程两根满足，即可得答案.
【详解】由题可得，，在上单调递减，在上单调递增，则据此可作出函数大致图象如图所示，
令，则由题意可得有2个不同的实数解，，且，
则，观察选项可知，满足题意.
故选：C．

二、填空题
4．（2023·吉林·统考一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数求单调区间和极值，作出函数图像，由零点个数，结合二次函数的性质，转化为的取值范围问题，通过构造函数，列不等式求解.
【详解】当且时，，，
当且时，；当时，．
故在，上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，
时，；时，
由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下：
令得，设，
得关于的方程（*）
恒成立，设（*）式有两个不等实根，，
当，时，即，满足题意，
当或，满足题意，
方法一：
令，则或，
故或，
综上，实数的取值范围是．
方法二：
（*）式化为，令，
易知在，上单调递增，
且，，，
其图象大致如图：
当或时，满足或，
综上，实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.通过构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
5．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，作出的图象，设，得到方程，设结合图象，要使得方程有6个不同的根，则满足或，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】根据题意，当时，
，
因为，可得，所以在单调递增，，
又由时，为单调递减函数，且，
因为函数是上的偶函数，画出函数的图象，如图所示，

设，则方程可化为，
由图象可得：
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有4个实数根；
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有1个实数根；
要使得有6个不同的根，
设是方程的两根，设，
①，当时，可得，可得，
此时方程为，解得，不满足，所以无解.
②，即，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法，合理转化求解.
【解题技巧】
1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从周期性，判断图象的循环往复；
(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
4.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
考点七：函数性质综合应用
【典例精析】（多选）（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）
A．都有
B．函数和均不存在最小正周期
C．函数和均为偶函数
D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个
【答案】BCD
【分析】根据狄利克雷函数与广义狄利克雷函数的定义，结合函数值、周期性、奇偶性等逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，由于（其中且），当为无理数时，，故A不正确；
对于B，设为非零的有理数，若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，所以对恒成立，对恒成立，即数和均为周期函数，但不存在最小正周期，故B正确；
对于C，，则，所以为偶函数，又，所以为偶函数，故C正确；
对于D，取，则为等边三角形，将这个三角形左右平形移动，即只需要三角形的高为，边长为的三角形均可以，所以这样的三角形有无数个，故D正确.
故选：BCD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023上·北京·高二北京市陈经纶中学校考开学考试）已知函数，给出下列四个结论：
①存在无数个零点；
②在上有最大值；
③若，则；
④区间是的单调递减区间．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【分析】解方程，可判断①；分析函数在区间上的最大值点在区间内，再根据最值定理可判断②；推导出，可判断③；利用特值法可判断④.
【详解】对于①，由，解得函数的定义域为，
令，可得，则，
故，所以函数有无数个零点， ①正确；
对于②，当时，，
令，可得，，
解得，，假设函数在上的最大值点为，
则，设，则，
所以，则，
所以在上存在最大值点，则，
又因为在上是一条连续不断的曲线，
所以函数在上存在最大值，
故函数在上存在最大值，②正确；
对于③，对任意的，，
，当时，有，③正确；
对于④，，，
因为，
即，故，
故函数在上不可能单调递减，④错误；
综上，①②③正确.
故选：A.
2．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.
【详解】因为函数满足对任意的，（），都有，
所以在上单调递减，
又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，作函数的草图如图，
所以，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，.
综上，不等式的解集为.
故选：C．

3．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论 f(x) 的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为，所以，所以
当时，，所以，
取，
则对任意正整数，总有成立，故舍．
当时，．所以
要使正整数的最大 为6，则，解得；
当时，，所以
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得
综上，的取值范围为.
故选：A.
二、填空题
4．（2023·全国·校联考二模）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
5．（2022·山东济南·统考模拟预测）定义在上的可导函数满足，且在上有成立.若实数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据已知判断函数的奇偶性和单调性，再将目标不等式转化为，利用单调性和奇偶性可解.
【详解】记，则
由可得
所以为偶函数
记，则
因为当时，，当时，
所以，当时，有最小值
又因为在上，即
所以
所以在上单调递增，
由可得
即
所以，即，解得.
故答案为：
【解题技巧】
1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
4．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
6．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
7．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
9．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
二、多选题
10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
三、填空题
12．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考开学考试）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.
【详解】∵满足对任意，都有成立，
∴在上是减函数，，解得，
∴a的取值范围是.
故选：C．
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期，根据一个周期内的函数值计算求解即得.
【详解】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.
由是奇函数可知，，所以，则，则，
所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.
由得，，则，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故选：A.
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用排除法，利用特值法以及函数的奇偶性、周期性即可排除其他选项，从而可得答案.
【详解】对于A，与图象不符，故A项错误；
对于B，当时，的振幅不会再变化，故B项错误；
对于D，，所以函数为奇函数，与图象不符，故D项错误．
故选：C．
4．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想，计算出，从而求出对称中心.
【详解】函数定义域为，
定义域的对称中心为，所以可猜，
则，
，
故
所以的对称中心为，
故选：C．
5．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称
【答案】B
【分析】根据抽象函数的对称性结合周期性判断各个选项即可.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，
因为是奇函数，所以，
将换成，则有，
A：令，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以函数关于点对称，
由，可得，的值不确定，
因此不能确定的值，所以本选项不正确；
C：因为，
所以，
所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为，
所以，
因此有，
所以函数的图象关于对称，
由上可知是以4为周期的函数，
所以的图象也关于对称，因此本选项正确，
故选：B.
6．（2023·吉林长春·统考一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】当时，，则.
故选：A
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增，当时，单调递减，把不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，
令，则，可得，
可得，
所以为偶函数，即函数的图象关于对称，
又由，令，
可得，所以为单调递增函数，且，
当时，，单调递增，即时，单调递增；
当时，，单调递减，即时，单调递减，
由不等式，可得，即
所以不等式恒成立，即恒成立，
所以的解集为，所以且，
解得，结合选项，可得BC适合.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设，从而得到，证明其为偶函数，则得到的图象关于对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.
8．（2023·江西·校联考模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由为奇函数与为偶函数，得到函数的对称性与周期性，先由特值待定，再根据性质求值即可， CD选项结合周期特点进行数列求和，使用并项求和法.
【详解】由为奇函数，
得关于对称，且满足；
由为偶函数，
得关于直线对称，且满足.
故，
所以是周期函数，且周期.
对选项A，由，
令，解得，故A错误；
对选项B，已知当时，，
则，
故当时，.
则，故B错误；
对选项C，，，
，，且周期.
则，故C正确．
对选项D，
，故D正确．
故选：CD．
三、填空题
9．（2023·江苏常州·校考一模）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意函数有意义，
需满足，解得且，
故函数定义域为：.
故答案为：.
10．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】因为，
所以，
所以函数在区间上单调递增，
即在上恒成立，
显然，所以问题转化为在上恒成立，
设，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
故，
所以的最小值为：.
故答案为：.
11．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则 ．
【答案】6
【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而可得答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边同时求导得，即，
所以，即，
令，得，
令，得，又因为，所以，
由，所以，
所以的周期为6，则，
而，所以，
所以.
故答案为：6.
四、解答题
12．（2023·上海黄浦·统考一模）已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数.
(1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
(3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
【答案】(1)当时， 是关于的同变函数；当时， 不是关于的同变函数，理由见解析.
(2)，当时，；当时，.
(3)证明见解析.
【分析】（1）当时，运用定义证明即可；当时，举反例说明即可.
（2）由定义推导出是以2为周期的周期函数，进而可得在解析式，再运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较与的大小.
（3）运用定义推导出是以为周期的周期函数，再用定义分别证明与两种情况即可.
【详解】（1）当时，对任意的，，，
由，可得，又，所以，
故是关于的同变函数；
当时，存在，，使得，即，所以不是关于的同变函数.
（2）由是关于的同变函数，可知恒成立，
所以恒成立，故是以2为周期的周期函数.
当时，，由，
可知.
（提示：也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）
对任意的，都存在，使得，故.
所以
令，则，可得，
所以（当且仅当，即时取等号）.
所以当时，；
当时，.
（3）因为是关于的同变函数，
所以对任意的，，都有，
故，用代换x，可得，
所以，即，
又，故，且.
所以，故是以为周期的周期函数.
对任意的，，由，
可得，（*）
所以是关于的同变函数.
对任意的，存在非负整数m，使，
所以，对任意的，
，即，
所以是关于的同变函数.
故既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
13．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数满足．
(1)讨论的奇偶性；
(2)设函数，求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对已知等式中的用代换，得到新的等式，结合已知等式可求出，然后分和讨论函数的奇偶性，
（2）由（1）知，则对恒成立，得，设函数，利用导数可求出函数的最小值得函数的值域，并求出最小的范围，进而根据集合关系即可证明.
【详解】（1）因为，
所以，
根据以上两式可得，
所以，.
当时，为偶函数.
当时，因为，
所以，，
所以为非奇非偶函数.
（2）由（1）知.
依题意得对恒成立.
当，即时，恒成立；
当，即时，，得.
故.
设函数，
则.
因为，所以.
①当，即时，在上恒成立，
故在上单调递增，，则，
即在上的最小值为1.
②当，即时，
因为当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
则，
即在上的最小值为.
综上，函数在上的最小值，
所以，函数在上的值域为，
当，令，
则，故在上单调递增，
因为，
所以，，即函数在上的最小值，
所以，.
【点睛】关键点点睛：此题第（2）问解题的关键是由题意得对恒成立，求出的范围，然后构造函数，利用导数求其最小值的取值范围即可证明.
14．（2022·上海黄浦·统考一模）设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)
【答案】(1)不具有，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)①证明见解析；②.
【分析】（1）取特殊值验证即可，如：，，，；
（2）根据要证明的不等式可令，代入计算即可；
（3）①对任意的、、，令，显然，令，，，然后题意即可证明；
②利用①中的结论按三角形ABC的类型分类讨论可得.
【详解】（1）令，，，，于是，，显然.
因此函数，不具有M性质.
（2）设、，且，令，
显然，且，于是，即.
∵函数在区间上为增函数，∴.
（3）①对任意的、、，令，显然.
若，则不等式中等号成立.
下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且.
令，，，
于是，且
，
故，从而.
又，且，
故，因此.
综上，，其中等号当且仅当时成立.
②当△为锐角三角形时，由①，得，
等号当时成立；
当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是
；
当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是
，由，
得，于是，故.
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查函数新定义，是对函数性质和不等式性质的综合应用，需要运用已知函数性质和不等式性质，并结合要证明的结论或计算的结果进行赋值运算，综合考查逻辑推理能力.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑