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2.2初等函数与函数的应用
【备考指南】 1
【思维导图】 2
【考点梳理】 6
考点一：指数函数及应用 6
考点二：对数函数及应用 9
考点三：幂函数及应用 14
考点四：函数零点存在性定理 17
考点五：函数零点的分布 23
考点六：函数与方程的综合应用 28
考点七：函数模型及其应用 34
【真题在线】 39
【专项突破】 48
考点 考情分析 考频
基本初等函数 2022全国乙卷T16 2021全国甲卷T4 2年2考
指数与对数的运算 2022年新高考Ⅰ卷T7 2021年新高考Ⅱ卷T7 2年2考
函数与方程 2023年全国甲卷卷T10
函数应用 2021年全国甲卷T6
预测：初等函数与函数的应用每年全国卷都有所涉及，考察整体相对综合性强，在二轮复习时要合理的把握试题的难度.
考点一：指数函数及应用
【典例精析】（多选）（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川广安·统考一模）已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称
二、填空题
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为 ．
5．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
【解题技巧】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
3.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
5.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
考点二：对数函数及应用
【典例精析】（多选）（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020下·福建·高二统考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）(参考数据：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
二、多选题
4．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
5．（2022·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知正数x，y，z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题技巧】
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
3.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
考点三：幂函数及应用
【典例精析】（多选）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数，，，当时，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·江苏南京·统考二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ．
5．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 ．
【解题技巧】
1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点四：函数零点存在性定理
【典例精析】（多选）（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最小值为
C．若函数在上存在零点，则的最小值为
D．函数在上一定存在零点
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021上·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）下列命题正确的个数是（ ）
①命题“”的否定形式是“”；
②函数的单调递增区间是；
③函数是上的增函数，则实数的取值范围为；
④函数的零点所在的区间，且函数只有一个零点.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 ．
5．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为 .
【解题技巧】
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
考点五：函数零点的分布
【典例精析】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
C．若在上有且仅有4个零点，则
D．若，且在区间上有最小值无最大值，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·山东烟台·统考三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知函数，关于的方程有6个不等实数根，则实数t的取值范围是 ．
5．（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则 .
【解题技巧】
1.函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点六：函数与方程的综合应用
【典例精析】（多选）（2023·广东广州·统考一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A．若关于的方程在上无解，则
B．存在关于直线对称
C．若存在关于轴对称，则
D．若存在满足，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021上·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期末）函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东汕头·统考一模）定义在R上的偶函数满足，且当]时，
，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是 ．
5．（2023·江苏·统考一模）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则
【解题技巧】
1.已知函数的零点求参数，主要方法有：
①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合；
③分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
3.函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
考点七：函数模型及其应用
【典例精析】（多选）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·山东·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
二、填空题
4．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚 全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元.
5．（2023上·江苏常州·高一统考期末）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过 次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
【解题技巧】
1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
③解模：求解函数模型，得出数学结论.
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
2.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·统考高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
8．（2021·全国·统考高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
一、单选题
1．（2022·山东青岛·统考一模）设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·统考一模）已知，b=0.01，c=ln1.01，则（ ）
A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a
3．（2021·辽宁·校联考模拟预测）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·统考二模）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东聊城·统考一模）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系．假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·统考二模）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点 D．
三、填空题
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
10．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为 ．
11．（2022·广东·统考模拟预测）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则 ．
四、解答题
12．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
13．（2023·陕西安康·统考一模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
14．（2023上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
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2.2初等函数与函数的应用
【备考指南】 1
【思维导图】 2
【考点梳理】 6
考点一：指数函数及应用 6
考点二：对数函数及应用 9
考点三：幂函数及应用 14
考点四：函数零点存在性定理 17
考点五：函数零点的分布 23
考点六：函数与方程的综合应用 28
考点七：函数模型及其应用 34
【真题在线】 39
【专项突破】 48
考点 考情分析 考频
基本初等函数 2022全国乙卷T16 2021全国甲卷T4 2年2考
指数与对数的运算 2022年新高考Ⅰ卷T7 2021年新高考Ⅱ卷T7 2年2考
函数与方程 2023年全国甲卷卷T10
函数应用 2021年全国甲卷T6
预测：初等函数与函数的应用每年全国卷都有所涉及，考察整体相对综合性强，在二轮复习时要合理的把握试题的难度.
考点一：指数函数及应用
【典例精析】（多选）（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即，解得或，
所以或，故A错误；
对于选项B：，
因为a＞b＞0，则，即，且，
所以，即，故B正确；
对于选项C：因为a＞b＞0，且，
可得同号，则有：
若同正，可得，
则，可得；
若同负，可得，
则，可得；
综上所述：，
又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；
对于选项D：因为a＞b＞0，则，
可得在内单调递增，可得，
且，所以，故D正确；
故选：BCD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据，结合是定义在R上的偶函数，易得函数的周期为2，然后由求解.
【详解】因为，且是定义在R上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以.
故选：B.
2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．
【详解】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
3．（2023·四川广安·统考一模）已知函数，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称
【答案】A
【分析】求出以及的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得到结果.
【详解】对于A项，由已知可得，，
所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于B项，因为，则，故B项错误；
对于C项，，则，故C错误；
对于D项，因为，则，故D错误.
故选:A.
【点睛】设的定义域为.
对于，若恒成立，则的图象关于直线对称；
对于，若恒成立，则的图象关于点对称.
二、填空题
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为 ．
【答案】
【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.
【详解】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
5．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据奇偶性得出关于和的两个方程，联立解得，再由基本不等式得最小值．
【详解】是偶函数，所以，
是奇函数，所以，
两式联立解得，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值是．
故答案为：．
【解题技巧】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
3.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
5.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
考点二：对数函数及应用
【典例精析】（多选）（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据，分别代入，即可判断A,B，根据， 关于直线的对称，因此可知对称，对称，即可根据对称性判断CD.
【详解】由题意可知是方程 的一个根，则，将 代入得，所以也是方程的一个根，所以，故，故A正确，
由题意可知是方程 的一个根，则，则，所以也是方程的一个根，所以，故，故B正确，
设点在函数上，则满足，即点关于直线的对称点为，将代入得，即可，因此可知在函数上， 即关于直线的对称，又 关于直线的对称，因此可知对称，对称，
故 和，
所以 ，，故D正确，
由于 ，故C错误，
故选：ABD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.
【详解】设，则，
原命题等价于：任意，使为真命题，
所以，其中
设， 则
函数，的最大值为与中的较大者，
所以，
∴，解得，
故选：C.
2．（2020下·福建·高二统考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后再利用特殊的函数值的正负排除一个选项，得正确结论．
【详解】，
则为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
当时，，
当时，，故排除A，
故选：C．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）(参考数据：)
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【分析】依题运用特殊值求得函数模型中的值，然后运用函数模型得到关于的不等式，通过指、对运算求得的取值范围，即可得解．
【详解】依题意，，，当时，，即，可得，
于是，由，得，即，
则，又，因此，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C
二、多选题
4．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，的定义域为R
B．一定存在最小值
C．的图象关于直线对称
D．当时，的值域为R
【答案】AC
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC
5．（2022·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知正数x，y，z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】设，，求出，根据对数的运算性质及换底公式计算即可判断A；利用作商法即可判断B；利用作差法即可判断D；再根据AD即可判断C.
【详解】解：设，，
则，，，
所以，A正确；
因为，则，
因为，则，
所以，B正确；
因为，
则，D正确.
因为，则，所以，C错误.
故选：ABD.
【解题技巧】
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
3.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
考点三：幂函数及应用
【典例精析】（多选）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】B
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数，，，当时，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性，分别求函数的值域，即可判断选项.
【详解】，单调递增，因为，所以，，
，函数，单调递减，所以，
函数单调递增，当时，，
所以.
故选：B
3．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
二、填空题
4．（2023·江苏南京·统考二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
5．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 ．
【答案】，，
【分析】设幂函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数的零点.
【详解】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得
所以，则函数的零点为方程的根，解得或，
所以函数的零点为，，.
故答案为：，，.
【解题技巧】
1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
考点四：函数零点存在性定理
【典例精析】（多选）（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期，，且在处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最小值为
C．若函数在上存在零点，则的最小值为
D．函数在上一定存在零点
【答案】ACD
【分析】A选项，由图象关于对称结合可判断选项；B选项，由最小正周期，，且在处取得最大值可得表达式；C选项，结合AB选项分析确定表达式，验证即可；D选项，分，两种情况分析零点即可.
【详解】A选项，因在处取得最大值，则图象关于对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期，则，，
则或，又在处取得最大值，
则，则或，
其中，则的最小值为，故B错误；
C选项，由AB选项分析结合，可知时，
可取，令，
则，其中.
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意；
由AB选项分析结合，可知时，
可取，令，
则，
当时，不存在相应的，当时，，则存在满足题意，
综上可知的最小值为，故C正确；
D选项，由C分析可知，时，可取，
此时，，存在零点；
时，可取，
此时，，存在零点；
当时，，注意到，
则此时函数在上一定存在零点，
综上在上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：三角函数常利用整体代换法确定参数值，本题还用到了对称性.对于三角函数的零点问题，常利用代值验证结合周期分析可解决问题.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先函数的奇偶性排除两个选项，在根据函数的零点位置及范围内的函数值正反，得最符合的函数图象即可.
【详解】解：函数，定义域为，所以
所以函数为奇函数，故排除B，D选项；
当时，令得，所以函数最小正零点为，
则，则符合图象特点的是选项A，排除选项C.
故选：A.
2．（2022下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
3．（2021上·天津武清·高一天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）下列命题正确的个数是（ ）
①命题“”的否定形式是“”；
②函数的单调递增区间是；
③函数是上的增函数，则实数的取值范围为；
④函数的零点所在的区间，且函数只有一个零点.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①，特称命题否定为全称命题即可，对于②，先求函数的定义域，再利用换元法求解，对于③，每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，对于④，利用零点存在性定理判断.
【详解】对于①，命题“”的否定形式是“”，所以①正确，
对于②，由，得，令，则，因为在上递增，在上递减，在定义域内递减，所以在上递减，在上递增，所以②错误，
对于③，因为是上的增函数，所以，解得，所以③错误，
对于④，因为和在上递减，所以在上递减，因为，所以函数只有一个零点且在上，所以④正确，
故选：B
二、填空题
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求定义域，求导，分与两种情况，结合零点存在性定理和极值情况，列出不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】定义域为R，，
当时，恒成立，故在R上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得：存在唯一的使得：，故满足要求，
当时，由得或，
由得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
当时，，
所以函数存在唯一的零点，只需，
解得：，与取交集后得到，
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
5．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①③
【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出，可得.利用基本不等式可判断①；结合二次函数单调性可判断②；判断出，即可推出，从而推出，即可判断③.
【详解】由题意得，则，
即和为的零点；
而在R上单调递增，且，
在R上有且仅有一个零点，，
又，①正确；
又，
而在上单调递增，
，②错误；
，，
则，
而，故，即，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知识，解答的关键在于根据，变式为，从而推出和为的零点，再结合函数的单调性，说明，以下问题则可顺利解决.
【解题技巧】
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
考点五：函数零点的分布
【典例精析】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
C．若在上有且仅有4个零点，则
D．若，且在区间上有最小值无最大值，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出，再逐项分析求解，判断作答.
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，当时，，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向左平移个单位后得函数，
依题意，，解得：，因此的最小值为2，B正确；
对于C，当时，，因在上有且仅有4个零点，
则，解得：，C正确；
对于D，因，且在区间上有最小值无最大值，则直线是图象的对称轴，
且在处取得最小值，，因此，，且，
即，且，所以或，D不正确.
故选：BC
【变式训练】
一、单选题
1．（2022·山东烟台·统考三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】解：作出函数的图象如图：

依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，
因为必过，且，
若时，方程不可能有三个实数解，则必有，
当直线与在时相切时，
设切点坐标为，则，即，
则切线方程为，
即，
切线方程为，
且，则，所以，
即当时与在上有且仅有一个交点，
要使方程有且仅有三个的实数解，
则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，
所以，
故选：B
2．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论或三种情况，然后根据函数判断
【详解】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；
②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；
③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．
则在上有两个零点，此时必须满足，解得．
综上，得或．
故选：A
二、填空题
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知函数，关于的方程有6个不等实数根，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简函数的解析式，画出函数的大致图像，结合图象分析方程的解的个数与的关系，结合二次方程根的分布的相关结论求t的取值范围.
【详解】由已知当时，，
当时，，
当时，，
画出函数的图象如图所示．
所以函数的图象与函数（c为常数）的图象最多3个交点，
且有3个实数根时，
所以有6个不等实数根等价于一元二次方程在上有两个不同的实数根，
所以解得或．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于作出函数图象，通过图象观察确定方程的解的个数与的关系，从而将条件转化为二次方程的区间根问题，结合二次函数性质和图象求解.
5．（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则 .
【答案】
【分析】首先根据条件进行同构变形，从而构造函数，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】因为，所以，
故，即，
即.
由，得.
令，因为增函数+增函数=增函数，所以函数在R上单调递增，
而，故，解得，则.
故答案为：
【解题技巧】
1.函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点六：函数与方程的综合应用
【典例精析】（多选）（2023·广东广州·统考一模）已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A．若关于的方程在上无解，则
B．存在关于直线对称
C．若存在关于轴对称，则
D．若存在满足，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点的坐标，由方程有解判断B；设出点的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答.
【详解】函数，
对于A，方程在上有解，
显然函数在上单调递增，则有，解得，
因此关于的方程在上无解，则或，A错误；
对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，
即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，
，即函数在上单调递增，，
而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，
因此函数的值域为，又，于是在有解，
所以存在关于直线对称，B正确；
对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，
即，令，，
即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确；
对于D，令，由得，
显然，且，，令，，
当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此，即有，，
而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确.
故选：BCD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.
【详解】解：，，使，则，
可得，，
若k为奇数，则，所以，
，则，
解得，或，
当时，，，，，
当时，，，，，
若k为偶数，则，所以，
，则，
解得，或，
当时，，，，
当时，，，，，
因此，所有解之和为：，
故选：C.
【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2．（2021上·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期末）函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件分析出，可得，再由可得对称轴为，利用可以求出符合题意的一个的值，进而得出的解析式，再由数形结合的方法求的取值范围即可.
【详解】
如图假设，线段与函数的图像有5个交点，则，
所以由分析可得，所以，
可得，
因为所以，即，
所以是的对称轴，
所以，即，
，
所以，可令得，
所以，
当时，令，则，
作图象如图所示：
当即时，当即时，，
由图知若，与有两个交点，则的取值范围为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出的解析式，再利用数形结合的思想求解的取值范围.
3．（2022·广东汕头·统考一模）定义在R上的偶函数满足，且当]时，
，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】因为，且为偶函数
所以，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出，在同一坐标系的图象，如图，
因为方程至少有8个实数解，
所以，图象至少有8个交点，
根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当时，只需，即，
当时，只需，即，
当时，由图可知显然成立，
综上可知，.
故选：B
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
二、填空题
4．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定分段函数，求出函数的解析式，确定给定方程有两个不等实根的a的取值范围，再将目标函数用a表示出即可求解作答.
【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，，
当，即时，，且，
当，即时，，且，
当，即时，，且，
因此，在坐标系内作出函数的图象，如图，
再作出直线，则方程有两个不等实根，当且仅当直线与函数的图象有两个不同交点，
观察图象知方程有两个不等实根，当且仅当，
此时，且，即，且，则有，
令，求导得，令，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即，因此函数在上单调递增，
，而，于是当时，，有，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
5．（2023·江苏·统考一模）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则
【答案】2
【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.
【详解】因为函数的两个零点为，，
则，即，
又，
则，即，
所以.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得.
【解题技巧】
1.已知函数的零点求参数，主要方法有：
①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合；
③分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
3.函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养.
考点七：函数模型及其应用
【典例精析】（多选）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
【答案】AC
【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和，解指数不等式可判断C，D.
【详解】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为3，故C正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到时，，可排除C选项，即可求解.
【详解】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.
故选：D.
2．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.
【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确.
故选：C.
3．（2020·山东·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
二、填空题
4．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚 全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元.
【答案】1000
【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值.
【详解】由题意得，销售收入为万元，
当产量不足50万件时，利润；
当产量不小于50万件时，利润.
所以利润
因为当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，，当且仅当时取等号.
又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
5．（2023上·江苏常州·高一统考期末）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过 次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
【答案】9
【分析】根据题意列不等式，运算求解即可.
【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，
则，解得，
∵，则的最小值为9，
故至少经过9次过滤才能达到市场要求.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：
（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；
（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言） 建模（数学语言） 求解（数学应用） 反馈（检验作答）；
（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．
【解题技巧】
1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
③解模：求解函数模型，得出数学结论.
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
2.通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
5．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
6．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
7．（2021·全国·统考高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
8．（2021·全国·统考高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
10．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
11．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
四、双空题
12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
一、单选题
1．（2022·山东青岛·统考一模）设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的奇偶性化简，结合的单调性确定的大小关系.
【详解】依题意是定义域为R的偶函数，
，
，
，
，
，
，
，
由于在上单调递增，所以.
故选：D
2．（2022·湖北·统考一模）已知，b=0.01，c=ln1.01，则（ ）
A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质判断，构造函数，由导数确定单调性得，再由对数性质得大小，从而得结论．．
【详解】由指数函数的性质得：，
设，则在时恒成立，
所以在上是增函数，是连续函数，因此在上是增函数，
所以，即，即，所以，
所以．
故选：C．
3．（2021·辽宁·校联考模拟预测）已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】由可得，∴，
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小关系是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
5．（2023·浙江·统考二模）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移的原则得的表达式，根据的范围得出的范围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果.
【详解】将函数向左平移个单位长度后得到函数，
即，
∵，∴，
∵在上有且仅有两个不相等的实根，
∴，解得，
即实数的取值范围是，
故选：B.
6．（2023·山东聊城·统考一模）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系．假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【详解】由，,时，；，
.又,
故选：C.
二、多选题
7．（2023·湖北武汉·统考二模）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
8．（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．函数有8个不同的零点 D．
【答案】AB
【分析】根据已知推出函数关于直线对称且关于对称，周期为8，由已知区间上的解析式画出图象判断A、B；结合图象判断交点个数，周期性求函数值的和判断C、D.
【详解】由，则函数关于直线对称，且，
由，则函数关于对称，且，
所以，故，则，故函数的周期为8，
当时，则，，
根据周期和对称性知：值域为，
由函数关于直线对称且关于对称，周期为8，
为向左平移1个单位得到，是偶函数，故A正确：
为向左平移3个单位得到，是奇函数，故B正确；
由在上递减，且，；在上递增，且，，
结合图象：看出和的图象有10个交点，即有10个不同的零点，故C错误：
由，，，，，，，，则，
所以，故D错误，
故选：AB
三、填空题
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，易得函数为奇函数，且为增函数，则不等式，即为，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，
因为，所以函数为奇函数，
由函数都是增函数，可得为增函数，
，
则不等式，
即为，即，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
10．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将 代入 ，构造直线方程，运用点到直线的距离求解.
【详解】因为 是 的一个零点， ，将 看作直线 上一个点的坐标，
则原题就变为：求当 时，点 到原点的距离的平方的最小值，
原点到直线的距离为 ， ，
令 ， ，当 时，, 是增函数，
在 时， ；
故答案为： .
11．（2022·广东·统考模拟预测）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则 ．
【答案】
【分析】由题意可知函数的周期为4，结合题意和图象可知，直线与第个半圆相切，根据点到直线的距离公式可知，可得，由裂项相消法即可求出结果.
【详解】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可；
（2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可；
（3）将题意转化为方程有两个不相等的正根，
【详解】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得，
当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意．
设，有
，
由，有，有，故函数在上单调递增；
（2）由
．
（1）当时，不等式为恒成立，符合题意；
（2）当时，有，解得，
由上知实数的取值范围为；
（3）由，方程可化为，
若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根，
故有，即解得．
故实数的取值范围为．
13．（2023·陕西安康·统考一模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)存在，实数
【分析】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间.
（2）根据的最小值为列方程，从而求得的值.
【详解】（1）∵，∴，即，
，由，
解得，∴函数的定义域为，
∵函数在上单调递增，在上单调递减，
又∵在上为增函数，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）设存在实数a，使函数的最小值为0，，
∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②，
联立①②解得：，
∴存在实数，使函数的最小值为0.
14．（2023上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增
(3)
【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；
（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.
（3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.
【详解】（1）由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；所以；
（2）单调递增
由（1）知：，若，
则，
而，即，
所以，故单调递增.
（3）由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故
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