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15.3互斥事件和独立事件 练习
一、单选题
1．下列叙述：①某人射击次，“射中环”与“射中环”是互斥事件；
②甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件；
③抛掷一枚硬币，连续出现次正面向上，则第次出现反面向上的概率大于；
④若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为．则所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②
2．盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色 B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色 D．2个小球至多有1个是红色
3．从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至多有2个白球与恰有3个白球 B．至少有1个白球与都是红球
C．恰有1个红球与恰有3个白球 D．至多有1个红球与至多有1个白球
4．某校举办一场篮球投篮选拔比赛，比赛的规则如下：每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个区域各投一球，只有当前一次球投进后才能投下一次，三次全投进就算胜出，否则即被淘汰.已知某选手在二分区投中球的概率为，在三分区投中球的概率为，在中场跳球区投中球的概率为，且在各位置投球是否投进互不影响，则该选手被淘汰的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．一个均匀的正方体玩具的各面上分别标以数 (俗称骰子)，将该玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数(指向上的一面的数是奇数)，事件B表示向上的一面的数不超过3，事件C表示向上的一面的数不少于4，则（ ）
A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是对立事件 D．A与C是对立事件
6．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（ ）
A．相互独立 B．互斥
C．既相互独立又互斥 D．既不相互独立又不互斥
7．甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为，则乙队不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法错误的有（ ）
A．将A，B，C，D四个人平均分成两组，则“A，B两人恰好在同一组”的概率为
B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件
C．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，两球都是白球的概率为
D．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事件
10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．A与B为互斥事件 B．A与B为相互独立事件
C． D．
11．甲 乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
12．抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，判断下列结论，错误的有（ ）
A． B．为对立事件
C． D．为对立事件
三、填空题
13．从3名男生和名女生中,任选3人参加比赛,已知3人中至少有1名女生的概率为,则 .
14．某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的合格率依次为，，，，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是 .
15．三个元件正常工作的概率分别为，将两个元件并联后再和 串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为 ．
16．从甲口袋中摸出1个白球的概率是，从乙口袋中摸出1个白球的概率是，那么从两个口袋中各摸1个球，2个球都不是白球的概率是 .
四、解答题
17．甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
(1)求甲队以3∶1获胜的概率；
(2)求乙队获胜的概率．
18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险.
(1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
19．已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．
(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；
(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．
20．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.7，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
21．从一副52张的扑克牌中任取一张，设事件A：抽出红桃，事件B：抽出黑桃，事件C：抽出红色牌，事件D：抽出黑色牌．分别讨论以下事件之间的关系：
(1)A与B；
(2)C与D；
(3)B与D．
22．甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，求乙获胜的概率．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用互斥事件的定义可判断①，对立事件的定义可判断②，由连续抛掷一枚硬币属于独立重复事件，根据概率的的定义可判断③；由方差的性质的公式可判断④.
【详解】对于①. 某人射击次，“射中环”与“射中环”是不可能同时发生的事件，
所以是互斥事件，故①正确.
对于②. 甲、乙两人各射击次，“至少有人射中目标”包括：1人射中，1人没有射中和2人都射中.
由对立事件的定义：“至少有人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件. 故②正确.
对于③. 抛掷一枚硬币次，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率为，出现反面向上的概率为，
所以连续出现次正面向上，第次出现反面向上的概率为，故不③正确.
对于④. 设数据，，，的方差为
由样本数据，，，的方差为，即
由，解得，故④正确.
故选：B
2．D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐个分析可得答案.
【详解】对于A，“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故A不正确；
对于B，“2个小球恰有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故B不正确；
对于C，“2个小球都不是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故C不正确；
对于D，“2个小球至多有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是对立事件，故D正确.
故选：D
3．D
【分析】根据给定条件，分析各个选项中的两个事件包含的基本事件，再结合对立事件、互斥事件的定义判断作答.
【详解】从装有4个红球和3个白球的口袋中任取4个球的基本事件有：4个红球，1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1个红球，
对于A，至多有2个白球的事件有：2个白球2个红球，1个白球3个红球，4个红球，
恰有3个白球的事件是3个白球1红球的事件，显然两个事件互斥且对立，A不是；
对于B，至少有1个白球的事件有：1个白球3个红球，2个白球2个红球，3个白球1红球，
都是红球的事件是4个红球，显然两个事件互斥且对立，B不是；
对于C，恰有1个红球的事件是3个白球1红球的事件，因此恰有1个红球与恰有3个白球为同一事件，C不是；
对于D，至多有1个红球的事件是1个红球3个白球的事件，至多有1个白球的事件有：1个白球3个红球，4个红球，
显然这两个事件不能同时发生，可以同时不发生，即至多有1个红球与至多有1个白球是互斥而不对立的事件，D是.
故选：D
4．C
【解析】记“该选手能投进第i个球”为事件，则即求，根据互斥事件的加法公式计算可得答案.
【详解】记“该选手能投进第i个球”为事件，则，，，
则该选手被淘汰的概率
.
故选：C
【点睛】本题考查了互斥事件的加法公式，属于基础题.
5．C
【分析】分别求得事件所包含的基本事件，由此判断正确选项.
【详解】依题意可知,，.故不是互斥事件，不是对立事件，是对立事件，不是对立事件.故选C.
【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.
6．A
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的知识确定正确选项.
【详解】由于表示“向上的点数为1”，所以不是互斥事件.
，
所以，
所以是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
7．C
【解析】乙队不输是甲队获胜的对立事件,进而求解即可
【详解】乙队不输的概率为,
故选：C
【点睛】本题考查对立事件的概率,属于基础题
8．C
【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
，
故选：C.
9．BD
【分析】利用概率的相关概念和古典概型的计算方法一一验证即可.
【详解】（1）对于A，将A，B，C，D四个人平均分成两组，共有３种情况，“A，B两人恰好在同一组”的有一种，故“A，B两人恰好在同一组”的概率为，
故A正确；
（2）对于B，因为6既是3的倍数，也是2的倍数，所以向上的点数是6的的时候两个事件同时发生，故不是互斥事件，
故B错误；
（3）对于C，两球都是白球的概率为，
故C正确；
（4）对于D，当取到的两个球是一白一黑时，事件“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”同时发生，故不是互斥事件，
故D错误；
故选： BD
【点睛】此题考古典概型的概率计算方法和互斥事件的概念，属于简单题.
10．BD
【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
事件包含的基本事件是：（正，正），（正，反）.
事件包含的基本事件是：（正，正），（反，正）.
所以不是互斥事件，A选项错误.
，所以BD选项正确.
，C选项错误.
故选：BD
11．AB
【分析】根据互斥事件，相互独立事件以及对立事件的定义即可根据选项逐一判断.
【详解】在A中，甲 乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得4点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”不可能同时发生，二者是互斥事件，“甲 乙都投得6点”的对立事件为“至少有一个人没有投得6点”，故“甲 乙都没有投得6点”不是“甲 乙都投得6点”的对立事件；
在D中，设“至少有1人投得6点”为事件A，则事件A包括只有甲一人投得6点，或者只有乙一个人投得6点，以及甲乙两人都投得6点，而“甲投得6点且乙没投得6点”为事件，则，故A、B不独立，
故选：AB
12．AB
【分析】利用互斥事件、对立事件和事件间的关系分析判断即可
【详解】由题意得，“点数为2”，“点数为3”，“点数不大于3”=“点数为1，2，3”，“点数大于3”=“点数为4，5”，“点数大于4”=“点数为5，6”，“点数为奇数”=“点数为1，3，5”，“点数为偶数”=“点数为2，4，6”，
因为“点数为1，2，3，4，5，6”，所以，所以A错误，
因为，“点数为2，3”，所以为互斥事件，但不是对立事件，所以B错误，
对于C，因为，所以C正确，
对于D，因为“点数为1，2，3，4，5，6”，且，所以为对立事件，所以D正确，
故选：AB
13．4
【分析】“3人中至少有1名女生”的对立事件是“3人中没有女生”，则3人没有女生的概率为 ，然后根据古典概型概率的计算公式即可得到答案
【详解】依题意在选出的3人中至少有1名女生的概率为，
其对立事件是“3人中没有女生”的概率为
依题意可得： ，解得
故答案为：4
14．
【分析】先得到四条流水线的不合格率，再根据四条流水线所占的比重计算概率即可.
【详解】依题意知，这四条流水线的不合格率依次为，，，，
故恰好抽到不合格的概率为.
故答案为：.
15．
【分析】组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率，结合独立事件乘法公式即可求解.
【详解】由题意．
故答案为：．
16．
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算作答.
【详解】记甲口袋中摸出1个白球的事件为A，从乙口袋中摸出1个白球的事件为B，则，
而事件A与B相互独立，因此，
所以从两个口袋中各摸1个球，2个球都不是白球的概率是.
故答案为：
17．(1)0.21
(2)0.388
【分析】（1）甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案；
（2）分3∶0、3∶1和3∶2三个类型讨论，由互斥事件概率的加法公式计算.
【详解】（1）甲队主场取胜的概率为0.6，则主场输的概率为0.4；客场取胜的概率为0.5，客场输的概率为0.5，
根据题意，若甲队以3：1获胜，则甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，
则甲队以3：1获胜的概率；
（2）当乙队3∶0获胜时，概率为；
当乙队3∶1获胜时，则乙队在第四局获胜，前三局中获胜2局，
概率为；
当乙队3∶2获胜时，则乙队在第五局获胜，前四局中获胜2局，
概率为
则乙队获胜的概率为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设事件，探究事件关系，根据加法公式，即可求解.
（2）由题意，根据对立事件公式，即可求解.
【详解】（1）解：记表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”；
表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”；
表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；
则，，，
所以.
（2）解：设表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”.
则，故.
19．(1)样本空间见解析；
(2)相互独立；理由见解析
【分析】（1）根据题意，求得不放回地摸出2个球的总数，再利用列举法求得恰有一次摸到红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，利用列举法，结合古典摡型的概率公式，分别求得事件和事件的概率，由，得到事件与事件相互独立.
【详解】（1）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，
其中恰有一次摸到红球所包含的基本事件的空间为
，共有16种情况，
所以事件的概率为.
（2）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，
其中至少有一次摸到红球，有
，共有28种情况，所以，
第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号，有
，共有15种情况，
所以,
又由事件中所包含的基本事件空间为
，共有14种情况，可得，
所以，所以事件与事件相互独立.
20．(1)0.5
(2)0.85
【分析】（1）先把事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”分成两个互斥事件，
然后根据互斥事件概率加法求解即可；
（2）先求事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”对立事件概率，
再根据对立事件概率公式求解即可.
【详解】（1）解：设事件A为“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，
事件B为“进入商场的1位顾客购买乙种商品”
（1）设事件C为“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，
则，
所以．
（2）设事件D为“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”，
则，
所以，
所以．
21．(1)互斥事件不是对立事件
(2)对立事件
(3)
【分析】（1）由于“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故A与B是互斥事件．再由这两个事件的和不是必然事件，故A与B不是对立事件．
（2）由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故它们时互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故它们也是对立事件．
（3）根据若事件B发生，事件D一定发生；若事件D发生，则事件B不一定发生，即可解答.
【详解】（1）从52张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花各13张，且点数都是从1～13）中，任取一张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生，故它们是互斥事件．
再由这两个事件的和不是必然事件（还有可能是“方片”或“梅花”），故它们不是对立事件．
综上可得，与是互斥事件，但不是对立事件．
（2）由于“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，故C与D是互斥事件；再由这两个事件的和事件是必然事件，故C与D也是对立事件．
（3）若事件B：抽出黑桃发生，则一定是黑色牌，即事件D一定发生；若事件D：抽出黑色牌发生，则不一定是黑桃，即事件B不一定发生，所以
22．
【分析】由对立事件概率公式可直接求得结果.
【详解】由对立事件概率公式可得：乙获胜的概率.

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