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全等三角形
（测能力）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，已知，，，则的度数为( )
A.75° B.65° C.40° D.30°
2.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；
②若，则；
③末位数字是5的数，能被5整除；
④对顶角相等.
逆命题是假命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹.学生小敏的作法是：如图，是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与、分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线；则射线是的角平分线.小敏作图的依据是( )
A. B. C. D.
4.如果所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带( )去.
A.① B.② C.③ D.①和②
5.如图所示，锐角中，D，E分别是，边上的点，，，且，、交于点F，若，则的度数为( )
A.110° B.105° C.100° D.95°
6.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则( )
A. B. C. D.
7.如图，，，，点B，D，E在同一直线上，若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，OA平分，平分，于点E，于点C，于点D，下列结论错误的是( )
A. B.点O是CD的中点
C. D.
9.如图，，且，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A.30 B.50 C.60 D.80
10.如图，强强想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为米的大楼，大楼与旗杆相距米（米），在大楼前米的点P处，测得，且，，则旗杆的高为( )
A.8米 B.米 C.米 D.米
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图，，，与交于点O，，，则的度数为_________.
12.如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使，这时量得，则水池宽AB是______m.
13.如图所示，中，，.直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F.若，，则__________.
14.如图，在锐角中，，的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当有最小值时，______°.
15.如图，在中，，，，为AB边上的高.
（1）若点E在BC延长线上，点F在DC延长线上，且，则____________（用含的式子表示）；
（2）若点E从点B出发，在直线BC上以的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动__________s时，.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图，已知，.
(1)求CD的长.
(2)AB与DE平行吗？为什么？
解：(1)(已知)，
(___________)，
(等式性质)
即________=__________
_________
(2)(已知)
_______(___________)
__________(__________)
17.（8分）如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：
①在河岸b上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸a上确定点B，使得与河岸垂直；
②从A点沿河岸向东直走，记为点C（如图），继续向东直走，到达点D；
③从D点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准B，当点C刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点E；
④测得的长为.
（1）根据上述方法，河流的宽度为______m；
（2）请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出B，D，E的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性.
18.（10分）已知：，，.
(1)如图1当点D在AB上，________.
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由.（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
19.（10分）已知（如图），用三种不同的方法作，使.你认为哪一种作法比较简便？
20.（12分）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是_____.
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)求得AD的取值范围是______.
A. B. C. D.
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
(3)如图2，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且.求证：.
21.（12分）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN.
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，，以D为顶点作，交边AC，BC于点M，N，，连接MN. （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明. （2）绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系.
请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，
，，
，故选B.
2.答案：C
解析：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若，则的逆命题是若，则；也可以是所以是假命题；
③末位数字是5的数，能被5整除逆命题是能被5整除的数，末位数字是5；末尾数也可以是0，所以是假命题；
④对顶角相等的逆命题是相等的角是对项角，是假命题；
它们的逆命题是假命题的个数是3个.故选C.
3.答案：D
解析：由作图可知，，
又，
，，
，
平分.
故选：D.
4.答案：C
解析：①仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何全等三角形判定方法；②仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
③不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去.
故选：C.
5.答案：A
解析：设，
，，
，，，
，，
，
，，
，即，则，
，
.
故选：A.
6.答案：B
解析:在和中,
,
,
,
,
,
,
,
故选B.
7.答案：C
解析：，
，
，
，，
，，
，，
，，
.
故选：C.
8.答案：D
解析：平分，平分，，，，故选项C不合题意.在和中，，，，.同理可得，，，，点O是CD的中点，故选项A，B不合题意.选D.
9.答案:B
解析:,,
,
在和中,
,,
同理,
,,,,
梯形DEFH的面积,
,,
图中实线所围成的图形的面积,
故选B.
10.答案：B
解析：由题意得，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：B.
11.答案：
解析：，，，
，，
，
，，，，
，
，
.
故答案为：
12.答案：100
解析：，
，
，，
，
，
故答案为：100.
13.答案：7
解析：由题意可知，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：7.
14.答案：50
解析：如图，在AC上截取，连接BE，
的平分线交BC于点D，
，
，
，
，
.
有最小值，
当BE是点B到直线AC的距离时，，
；
故答案为：50.
15.答案：（1）
（2）2或5
解析：（1），.
为AB边上的高，，
，.
，.
（2）过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
，
在和中，
，.
①如图，当点E在射线BC上时，.
点E从点B出发，在直线BC上以的速度移动，
E移动了.
②当点E在射线CB上时，记为，.
点E从点B出发，在直线BC上以的速度移动，
E移动了.
综上所述，当点E移动或时，.
16.答案：(1)全等三角形对应边相等，AF，CD，CD
(2)，全等三角形对应角相等，DE，内错角相等，两直线平行.
解析：(1)(已知)，
(全等三角形对应边相等)，
(等式性质)
即，
；
(2)(已知)
(全等三角形对应角相等)
(内错角相等，两直线平行).
故答案为：(1)全等三角形对应边相等，AF，CD，CD；(2)，全等三角形对应角相等，DE，内错角相等，两直线平行.
17.解析：（1）根据题意可得，
河流的宽度为，
故答案为：8；
（2）画出图形如下：
根据题意可得：，，，
，
.
18.答案：(1)；
(2)，理由见解析；
解析：(1)，
，，
，，
，
，
，
故答案为：；
(2).
理由如下：作于F，作交EC的延长线于F，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
.
19.解析：①运用“”画图1，作，且使，，连接，
则即为所求；
②运用“”画图2，作线段，分别以R，S为顶点在线段的同侧作，且，交于点P，
则即为所求；
③运用“”画图3，作线段，分别以R，S为圆心，，为半径在的同旁画弧交P点，连接，，则即为所求.
通过作图可得，运用“”作图比较方便.
20.答案：(1)B
(2)C
(3)证明见解析
解析：（1）在和中
，
，
故选：B；
（2）如图：
由(1)知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选：C.
（3）延长AD到M，使，连接BM，
是中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即.
21.答案：（1），证明见解析
（2），证明见解析
解析：（1），
证明：延长CB到E，使，连接DE，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
（2），
证明：在CB截取，连接DE，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
.

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