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2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡上，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣8的立方根为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．（2分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（　　）
A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3）
3．（2分）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，那么阴影部分的面积为（　　）
A．2x+4 B．2x﹣4 C．x2﹣4 D．2x﹣2
5．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）下列结论正确的是（　　）
A．点P（﹣1，2023）在第四象限
B．点M在第二象限，且到x轴和y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（﹣4，3）
C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0
D．已知点P（﹣5，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥y轴
7．（2分）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
8．（2分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
10．（2分）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上点F处，折痕AE交CD于点E，已知AB＝8，AD＝10，则DE长为（　　）
A．5 B．3 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　 　象限．
13．（3分）对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 　 　．
14．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 　 　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在边BC上（点D在点E的左侧），连接BD，BE，使BD＝BE，过点D，E分别作DF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，设线段DF＝x，EG＝y，则y与x的关系式为 　 　．
三、解答题（第17小题6分，第18小题7分，共13分）
16．（6分）计算：÷×2﹣6．
17．（7分）解方程组．
四、（每题10分，共20分）
18．（10分）已知 a+8 的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6．
求：（1）a与b的值；
（2）4﹣2a﹣5b立方根．
19．（10分）如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距2km，学校也在小明家正北方向的2km处，公园与地铁口距离为4km，公园到学校的距离为2km．
（1）求公园，学校和小明家三地组成的∠DAB的大小；
（2）计算公园与小明家的距离．
五、（本题12分）
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）请在图中画出△ABC；
（2）若点P在坐标轴上，且△ABP的面积是△ABC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
六、（本题12分）
21．（12分）甲、乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离A地12千米处乙追上甲，此时两人正好到达AB的中点，然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离开A地的距离分别为y1千米和y2千米，函数图象如图所示．
（1）请直接写出甲的速度是 　 　千米/小时；
（2）求y2关于x的函数关系式；
（3）若甲、乙两人到达B地后，都立即从原路返回A地，其中甲的速度保持不变，乙在返回过程中，他与A地的距离y3（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示，求乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程．
七、（本题14分）
22．（14分）如图1，已知直线y＝2x+2与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）求直线AC的关系式；
（2）如图2，延长CB到点D，交y轴于点E，连接AD，若AD＝AC，求DE的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x轴于M，点 是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN把△BCM的面积分为2：3的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
八、（本题14分）
23．（14分）等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝6，点E是射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的右侧作等边三角形AED，以点E为顶点，EC为一边逆时针方向作∠CEF＝120°，且EF＝EC，连接BF交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC的中点时，求DM的长；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线时，判断DM与EM是否相等？并说明理由；
（3）当 CE＝2时，求DM的长．
2023-2024学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡上，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣8的立方根为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【解答】解：∵﹣2的立方等于﹣8，
∴﹣8的立方根等于﹣2．
故选：B．
2．（2分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（　　）
A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3）
【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，
∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上；
B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1，
∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上；
C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1，
∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上；
D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，
∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上；
故选：D．
3．（2分）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、该方程组的第一个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意；
D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（2分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，那么阴影部分的面积为（　　）
A．2x+4 B．2x﹣4 C．x2﹣4 D．2x﹣2
【解答】∵两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，
∴它们的边长分别为x和2，
∴阴影部分是一个长为2，宽为（x﹣2）的矩形，
∴阴影部分的面积为2（x﹣2）＝2x﹣4，
故选：B．
5．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2分）下列结论正确的是（　　）
A．点P（﹣1，2023）在第四象限
B．点M在第二象限，且到x轴和y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（﹣4，3）
C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0
D．已知点P（﹣5，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥y轴
【解答】解：A．点P（﹣1，2021）在第二象限，故本选项不合题意；
B．点M在第二象限，它到x轴，y轴的距离分别为4，3，则点M的坐标为（﹣3，4），故本选项不合题意；
C．平面直角坐标系中，点P（x，y）位于坐标轴上，那么xy＝0，正确，故本选项符合题意；
D．已知点P（﹣5，6），Q（﹣3，6），则直线PQ∥x轴，故本选项不合题意；
故选：C．
7．（2分）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
【解答】解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵AB2＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
则××2＝×5×h，
解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
8．（2分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
B∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算错误，故不符合题意；
D．∵，∴此选项的计算正确，故符合题意；
故选：D．
9．（2分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
A、当x＝2，y＝2时，k＝，不符合题意；
B、当x＝2，y＝1时，k＝1，不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，k＝0，不符合题意；
D、当x＝2，y＝﹣2时，k＝﹣，符合题意；
故选：D．
10．（2分）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上点F处，折痕AE交CD于点E，已知AB＝8，AD＝10，则DE长为（　　）
A．5 B．3 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，∠B＝∠C＝90°，
由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE，
∴BF＝＝＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
∵CF2+CE2＝FE2，且CE＝8﹣DE，
∴42+（8﹣DE）2＝DE2，
∴解得DE＝5，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　﹣2　．
【解答】解：﹣
＝﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　三　象限．
【解答】解：点P（﹣3，﹣2）在第三象限，
故答案为：三．
13．（3分）对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 　丙　．
【解答】解：①利用代入消元法解方程组较为简便；
②利用加减消元法解方程组较为简便；
综上，丙所说的方法比较简便；
故答案为：丙．
14．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 　3﹣　．
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED＝
＝
＝．
∴CD＝EC﹣ED＝3﹣．
故答案为：3﹣．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E在边BC上（点D在点E的左侧），连接BD，BE，使BD＝BE，过点D，E分别作DF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，设线段DF＝x，EG＝y，则y与x的关系式为 　y＝x﹣　．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵BH⊥AC，
∴S△ABC＝AC BH＝AB BC，
∴BH＝＝＝，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝5﹣＝，
∵DF⊥AB，EG⊥BC，
∴S△ABD＝AB DF＝AD BH，S△BCE＝BC EG＝CE BH，
∴AD＝＝＝，CE＝＝＝，
∵BD＝BE，BH⊥DE，
∴DH＝EH，
∴AH﹣AD＝CH﹣CE，
即﹣＝﹣，
整理得：y＝x﹣，
即y与x的关系式为y＝x﹣，
故答案为：y＝x﹣．
三、解答题（第17小题6分，第18小题7分，共13分）
16．（6分）计算：÷×2﹣6．
【解答】解：原式＝3××2﹣6
＝12﹣6
＝6．
17．（7分）解方程组．
【解答】解：∵，
∴，
∴①﹣②：11y＝22，
∴y＝2，
∴把y＝2代入①中得3x+10＝13，
∴x＝1，
∴．
四、（每题10分，共20分）
18．（10分）已知 a+8 的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6．
求：（1）a与b的值；
（2）4﹣2a﹣5b立方根．
【解答】解：（1）∵a+8 的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6．
∴a+8＝17，3a+b﹣1＝36，
∴a＝9，b＝10；
（2）∵a＝9，b＝10，
∴4﹣2a﹣5b＝4﹣18﹣50＝﹣64，
∴4﹣2a﹣5b的立方根是＝﹣4．
19．（10分）如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距2km，学校也在小明家正北方向的2km处，公园与地铁口距离为4km，公园到学校的距离为2km．
（1）求公园，学校和小明家三地组成的∠DAB的大小；
（2）计算公园与小明家的距离．
【解答】解：（1）如图，连接AC．
根据题意得：，AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝2km，∠ABC＝90°，
∴，∠BAC＝45°，
在△ACD中，，CD＝4km，
∴AC2+AD2＝16＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，
即公园，学校和小明家三地组成的∠DAB的大小为135°；
（2）由（1）得：△ACD和△ABC均是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∴，
即公园与小明家的距离为．
五、（本题12分）
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）请在图中画出△ABC；
（2）若点P在坐标轴上，且△ABP的面积是△ABC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）△ABC的面积为＝4．
当点P在x轴上时，
设点P（m，0），
∵△ABP的面积是△ABC面积的2倍，
∴＝2×4，
解得m＝﹣14或18，
∴点P的坐标为（﹣14，0）或（18，0）；
当点P在y轴上时，
设点P（0，n），
∵△ABP的面积是△ABC面积的2倍，
∴＝2×4，
解得m＝﹣7或9，
∴点P的坐标为（0，﹣7）或（0，9）．
综上所述，点P的坐标为（﹣14，0）或（18，0）或（0，﹣7）或（0，9）．
六、（本题12分）
21．（12分）甲、乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离A地12千米处乙追上甲，此时两人正好到达AB的中点，然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离开A地的距离分别为y1千米和y2千米，函数图象如图所示．
（1）请直接写出甲的速度是 　8　千米/小时；
（2）求y2关于x的函数关系式；
（3）若甲、乙两人到达B地后，都立即从原路返回A地，其中甲的速度保持不变，乙在返回过程中，他与A地的距离y3（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示，求乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程．
【解答】解：（1）甲的速度＝＝8（千米/小时）；
故答案为：8，
故答案为：8；
（2）设y2＝kx+b，
把（1，0），（1.5，12）代入得，，
∴，
∴y2＝24x﹣24；
（3）当y2＝24时，x＝2，
设y3（千米）关于x（小时）的函数解析式为：y3＝mx+n，
∴，
∴，
∴y3（千米）关于x（小时）的函数解析式为：y3＝﹣16x+56，
∵y1关于x的函数关系式为：y1＝8x，
解，得：，
∴乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程为：24+24﹣＝（千米）．
即乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程为千米．
七、（本题14分）
22．（14分）如图1，已知直线y＝2x+2与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）求直线AC的关系式；
（2）如图2，延长CB到点D，交y轴于点E，连接AD，若AD＝AC，求DE的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC 交x轴于M，点 是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN把△BCM的面积分为2：3的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令x＝0，得y＝2，
令y＝0，得2x+2＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（0，2），B（﹣1，0），
如图1，过点C作CF⊥x轴于F，
则∠BFC＝90°＝∠AOB，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠BCF＝∠ABO，
在△BCF和△ABO中，
，
∴△BCF≌△ABO（AAS），
∴BF＝OA＝2，CF＝OB＝1，
∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，
∴C（﹣3，1），
设直线AC的关系式为y＝kx+b，把C（﹣3，1），A（0，2）代入得：，
解得：，
∴直线AC的关系式为y＝x+2；
（2）如图2，过点C作CH⊥y轴于H，过点D作DG⊥y轴于G，
则∠AHC＝∠AGD＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝∠DAG+∠CAH＝90°，
∴∠ACH＝∠DAG，
在△ACH和△DAG中，
，
∴△ACH≌△DAG（AAS），
∴AH＝DG＝1，AG＝CH＝3，
∴OG＝AG﹣OA＝3﹣2＝1，
∴D（1，﹣1），
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣，
令x＝0，得y＝﹣，
∴E（0，﹣），
∴OE＝，
∴EG＝OG﹣OE＝1﹣＝，
在Rt△DEG中，DE＝＝＝；
（3）存在点N，使得直线PN把△BCM的面积分为2：3的两部分．理由如下：
在y＝x+2中，令y＝0，得x＝﹣6，
∴M（﹣6，0），
由（2）知：直线BC的解析式为y＝﹣x﹣，
当x＝﹣时，k＝﹣×（﹣）﹣＝，
∴P（﹣，），
∵BM＝﹣1﹣（﹣6）＝5，C（﹣3，1），
∴S△BCM＝×5×1＝，
∵直线PN把△BCM的面积分为2：3的两部分，
∴S△BPN＝S△BCM＝×＝1或S△BPN＝S△BCM＝×＝，
设N（n，0），则BN＝﹣1﹣n，
当S△BPN＝1时，如图3（i），
则（﹣1﹣n）×＝1，
解得：n＝﹣，
∴N（﹣，0）；
当S△BPN＝时，如图3（ii），
则（﹣1﹣n）×＝，
解得：n＝﹣5，
∴N（﹣5，0）；
综上所述，点N的坐标为（﹣，0）或（﹣5，0）．
八、（本题14分）
23．（14分）等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝6，点E是射线BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的右侧作等边三角形AED，以点E为顶点，EC为一边逆时针方向作∠CEF＝120°，且EF＝EC，连接BF交DE于点M．
（1）如图1，当点E为BC的中点时，求DM的长；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线时，判断DM与EM是否相等？并说明理由；
（3）当 CE＝2时，求DM的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝3，AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴AE＝9，
∵△AED是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，AE＝DE＝AD＝9，
∴∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴EM＝DM＝；
（2）DM＝EM，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AB，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝120°，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴EC＝BD，∠ACE＝∠ABD＝120°，
∴∠EBD＝60°，
∵∠CEF＝120°，EF＝EC，
∴BD＝EF，∠CEF+∠EBD＝180°，
∴EF∥BD，
∴∠F＝∠MBD，∠FEM＝∠MDB，
∴△EFM≌△DBM（ASA），
∴DM＝EM；
（3）如图3，当点E在BC的延长线上时，过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴CH＝BH＝3，∠BAH＝30°，
∴AH＝9，
∵CE＝2，
∴EH＝5，
∴DE＝AE＝＝＝2，
由（2）可知DM＝EM＝DE，
∴DM＝，
当点E'在线段BC上时，同理可求E'H＝，
∴DE＝AE＝＝2，
∴DM＝，
综上所述： 或 ．

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