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2.2直线的方程 练习
一、单选题
1．直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知直线的方程为，则（ ）
A．该直线过点，斜率为
B．该直线过点，斜率为
C．该直线过点，斜率为
D．该直线过点，斜率为
3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
5．下列直线中与直线垂直的一条是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，直线与直线AB垂直，则实数（ ）
A． B． C．4 D．
7．已知直线过点，则（ ）
A．点一定在直线上
B．点一定在直线上
C．点一定在直线上
D．点一定在直线上
8．已知，直线与直线平行 ，则（ ）
A． B．且
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点（2，1）
B．直线在轴上的截距为－2
C．直线的倾斜角为120°
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知直线过点，且在轴上截距等于轴上截距2倍，则直线的方程为
B．直线没有倾斜角
C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D．已知直线的斜率满足，则它的倾斜角的取值范围是或
11．若且，则直线经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．下列说法中错误的是（ ）
A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B．与是直线的截距式方程
C．直线方程的斜截式都可以化为截距式
D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为
三、填空题
13．经过点和点的直线的点方向式方程是 .
14．倾斜角为直线的倾斜角的一半且经过点的直线方程为 ．
15．不论为何实数，直线恒过定点 .（请写出该定点坐标）
16．若两条直线与平行，则的值是 ．
四、解答题
17．已知顶点坐标分别是，，．
（1）求过点C且与直线AB平行的直线方程，
（2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．
18．已知点，，．求：
(1)BC边上的中线所在直线的方程；
(2)BC边上的高所在直线方程．
19．已知定点及定直线，点Q在直线l上（Q在第一象限），直线PQ交x轴正半轴于点M，要使的面积最小（O为原点），求Q点坐标．
20．已知直线上的两点和．
(1)求直线的斜率；
(2)求直线的方程．
21．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.
22．已知两条直线，当m为何值时，与
(1)相交；
(2)平行；
(3)重合．
参考答案：
1．B
【分析】将直线转化为斜截式可直接得斜率.
【详解】由，
得．
直线的斜率为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了斜率的概念，属于基础题.
2．C
【分析】代入判断此时值从而排除A和B，将原方程转化为斜截式判断斜率从而排除D即可.
【详解】当时，，所以直线过点，故A和B错误；
原直线方程可变为，斜率为，故D错误，C正确.
故选：C
3．C
【分析】根据题意得出为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可.
【详解】显然为直角三角形，且为斜边，
所以其欧拉线方程为斜边上的中线，
设的中点为，由，
所以，由
所以的方程为，
所以欧拉线的一般式方程为.
故选：C.
4．B
【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案.
【详解】由题意知直线与直线平行，
而直线的斜率为，
则直线必有斜率，即，则，
故，解得或，
当时，直线与直线重合，不合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意，
故，
故选：B
5．A
【分析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论.
【详解】解：已知直线的斜率为，
而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积等于，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A满足条件；
而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B不满足条件；
而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C不满足条件；
而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D不满足条件，
故选：A.
【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.
6．D
【分析】求出直线AB的方程，根据直线垂直得到，求出答案.
【详解】直线AB的方程为，即，
因为直线与直线AB垂直，所以，解得.
故选：D
7．C
【分析】由点在直线上得，，即可得出答案.
【详解】由点在直线上得，，
故点一定在直线上.
故选：C.
8．B
【分析】将两条直线中的系数化为相同，根据条件则的系数相等，常数不同.
【详解】与直线可以化为
而直线可化为
直线与直线平行
所以且.
故选：B
【点睛】本题考查两直线平行的条件的探索，属于基础题.
9．ACD
【解析】代入点的坐标判断A，求出纵截距判断B，求出斜率得倾斜角，判断C，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得，判断D．
【详解】，所以点在直线上，A正确；
对，令，得，直线在轴上截距为2，B错误；
直线的斜率为，倾斜角为，C正确；
设直线方程为，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，
所以，所以，D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何的基本方法．掌握直线的概念与特征是解题关键．
10．CD
【分析】根据截距的概念可判定A，根据倾斜角的定义可判定B，利用两直线垂直的位置关系可判定C，根据倾斜角与斜率的关系可判定D.
【详解】对于A，当直线在两个坐标轴的截距都是0时，显然直线方程为，故A错误；
对于B，直线倾斜角是，故B错误；
对于C，若直线与直线垂直，则有或，所以不满足充分性，
反之时，此时两直线垂直，满足必要性，故C正确；
对于D，由直线的斜率与倾斜角的关系知：满足的直线，
则它的倾斜角的取值范围是或，故D正确.
故选：CD
11．ABC
【分析】根据题意，由且，可得直线的斜率大于零，在轴截距大于零，即可得到结果.
【详解】因为且，所以，又直线可化为，斜率为，在轴截距为，因此直线过第一，二，三象限，不过第四象限.
故选：ABC
12．ABC
【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解..
【详解】解：对于选项A，直线方程的截距式为，其中，
不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误；
对于选项B，直线方程的截距式为，其中，
而与不是直线的截距式方程，故B错误；
对于选项C，直线方程的斜截式包含在轴上的截距为0的情况，
而此类不能化为截距式，比如，故C错误；
对于选项D，直线方程的截距式为，其中，
、是直线在轴、轴上的截距，
所以在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为，故D正确.
故选：ABC.
13．
【分析】先设直线上任一点坐标为，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果.
【详解】设直线上任一点坐标为，因为直线经过点和点，
所以直线的方向向量为，
因此，直线的点方向式方程是：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.
14．
【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．
【详解】直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．
又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为，
即.
故答案为：
15．；
【分析】将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标.
【详解】直线
变形可得
当满足时,不论为何实数,直线恒过定点
解方程组可得
所以不论为何实数,直线恒过定点的坐标为
故答案为:
【点睛】本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题.
16．3
【分析】根据已知，结合两直线平行的条件列出方程，即可求解．
【详解】∵两条直线l1：mx+3y+m+3=0与l2：x-(2-m)y-2=0平行，
∴m(m-2)-3=0，解得m=-1或3，
经验证，当m=-1时，直线l1和l2重合，不符合题意，
当m=3时，直线l1和l2不重合，符合题意，
故实数m的值为3，
故答案为：3
17．（1）；（2）．
【分析】（1）由两直线平行的斜率相等和直线的点斜式求解即可；
（2）由斜率公式结合二次函数的性质求解即可
【详解】（1）由已知可得AB的斜率为，
所以与直线AB平行的直线的斜率也为，
从而所求直线的方程为，即；
（2）可得直线AD的斜率为，
所以直线AD倾斜角的取值范围为．
18．(1)x＝1；
(2)4x＋y－7＝0．
【分析】（1）求出边中点坐标，然后求得斜率得直线方程；
（2）求出边所在直线斜率，由垂直得高所在直线斜率，从而可得直线方程．
【详解】（1）∵，，，∴易知线段BC的中点坐标为，
易知BC边上的中线所在的直线的斜率不存在，∴BC边上的中线所在的直线方程为x＝1；
（2）∵，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－4，
∴BC边上的高所在直线的方程为：y－3＝－4（x－1），即4x＋y－7＝0．
19．.
【分析】根据给定条件，设出点M，Q的坐标，再按是否垂直于x轴分类求解，并判断作答.
【详解】依题意，设点，显然点共线，
当直线不垂直于x轴时，即，直线斜率存在，则有，
整理得：，，
而，，即，当且仅当取等号，
由解得，
则当时，的面积取得最小值，此时点；
当时，，点，，显然，
所以的面积取得最小值时，点.
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接由两点的斜率公式计算可得；
（2）利用点斜式计算可得.
【详解】（1）由直线过，两点，
所以直线的斜率．
（2）经过点，斜率的直线的点斜式方程是，
化简得，即直线的方程为．
21．（1）x－3y－6＝0.
（2）x－3y－15＝0.
【详解】试题分析：解：∵直线的方程为y＝－x＋1，
∴k＝－，倾斜角α＝120°，
由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为.
(1)∵直线经过点(，－1)，
∴所求直线方程为y＋1＝ (x－)，
即x－3y－6＝0.
(2)∵直线在y轴上的截距为－5，
∴由斜截式知所求直线方程为y＝x－5，
即x－3y－15＝0
考点：直线方程
点评：主要是根据点斜式和斜截式来求解直线方程的运用，属于基础题．
22．(1)且且
(2)或
(3)
【分析】先考虑两条直线方程中变量系数为零的情况；当系数均不为零时，根据平行的条件考查系数关系，进一步分析即可得到答案.
【详解】（1）当时，，所以
当时，，此时与相交；
当且时，
由，得或
由得
故且且时，与相交；
（2）由（1）知，或时，
（3）由（1）知，时，与重合.

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