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1.2 动量定理
第一章 动量守恒定律
回顾与思考
动量的变化与速度的变化有关，而速度的变化是因为有加速度，而牛顿第二定律告诉我们，加速度是由物体所受的合外力产生的。
我们知道，动能的变化是由于力的位移积累即力做功的结果，那么，动量的变化又是什么原因引起的呢？
在前面所学的动能定理中，假定一个质量为m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做匀变速直线运动，初始时刻物体的速度为v，经过一段位移 x，它的速度为v'.
F 作用了位移 x
F

F


当时，我们经过推导得到的是：
一、利用牛顿第二定律推导动量定理
物理情景1：质量为m的物体，在合力F的作用下，经过一段时间t，速度由v变为v′，如图所示：
由牛顿第二定律：
加速度定义：
F = ma
联立可得：
=⊿p/⊿t
这就是牛顿第二定律的另一种表达形式。
变形可得：
表明动量的变化与力的时间积累效果有关。
一、利用牛顿第二定律推导动量定理
物理情景2：假设在拉力 F 和阻力f 的共同作用下，质量为m的物块的速度由v1 变为v2 ，已知两力作用的时间为 t，试运用运动学公式和牛顿第二定律来表述加速度，联立两式消去加速度，找出力与质量和速度的关系。
表明动量的变化与合外力的时间积累效果有关。
1. 定义：作用在物体上的力和作用时间的乘积，叫做该力对这个物体的冲量 I
2.单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号是N·s
3.冲量是矢量：若为恒力，则冲量的方向跟该力的方向相同，若为变力，则由动量变化方向确定
4.冲量是过程量，反映了力对时间的积累效应
用公式表示为 I=F t
冲 量（I）
几个力的合力的冲量计算，既可以先算出各个分力的冲量后再求矢量和，又可以先算各个分力的合力再算合力的冲量。
5.合力的冲量计算
如图所示，质量为m的物块在倾角为θ的光滑斜面上由静止下滑，求在时间t内物块所受各力的冲量及合外力的冲量.
例题1
冲量
功
区
别
公式
标、矢量
意义
正负
作用效果
单位
某个力对物体有冲量,力对物体不一定做功；
某个力对物体做了功,力对物体一定有冲量。
N·S
I=Ft
W=Fxcos θ
矢量
标量
N·m（J）
力对时间的积累, 对应一段时间
在F-t图像中可以用面积表示
力对位移的积累, 对应一段位移
在F-x图像中可以用面积表示
正负表示与正方向相同或相反
正负表示动力做功或阻力做功
改变物体的动量
改变物体的动能
F
t
O
F
t
x
F
O
F
x
冲量与功的比较
由图可知F-t图线与时间轴之间所围的“面积”的大小表示对应时间t0内，力F0的冲量的大小。
如果在一段时间内的作用力是一个变力，又该怎样求这个变力的冲量？
公式I=Ft中的F取平均值
思考与讨论
根据表达式
在中学物理中，一般变力的冲量通常是借助于动量定理来计算的。
1、内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化，这就是动量定理。
2、表达式：
或
3、加深理解：
1）物理研究方法：过程量可通过状态量的变化来反映；
2）表明合外力的冲量是动量变化的原因；
3）动量定理是矢量式，合外力的冲量方向与物体动量变化的方向相同：
合外力冲量的方向与合外力的方向或速度变化量的方向一致，但与初动量方向可相同，也可相反，甚至还可成角度。
二、动量定理
4.动量定理的适用范围
1)动量定理不但适用于恒力，也适用于随时间变化的变力，对于变力，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值；
2)动量定理不仅可以解决匀变速直线运动的问题，还可以解决曲线运动中的有关问题，将较难的计算问题转化为较易的计算问题；
3)动量定理不仅适用于宏观低速物体，也适用于微观现象和变速运动问题。
动量定理的优点：不考虑中间过程，只考虑初末状态。
1）利用动量定理定性分析生活现象
跳高比赛
跳远比赛
悬挂轮胎的游船准备靠岸
这些场景中的垫子、沙坑、轮胎的缓冲为什么可以保护好人和船不受到太大力的作用？
由Ft=Δp可知：
Δp一定，t长则F小
三、动量定理的应用
三、动量定理的应用
【例题1】一个质量为0.18kg的垒球，以25m/s的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水平飞回，速度大小变为45m/s，设球棒与垒球的作用时间 为0.01s。球棒对垒球的平均作用力是多大？
【解析】垒球的初动量为
p=mv=0.18×25kg·m/s=4.5kg·m/s
垒球的末动量为
pˊ=mvˊ=(－0.18)×25 kg·m/s= － 8.1kg·m/s
由动量定理知垒球所受的平均作用力为
负号表示力的方向与垒球飞来的方向相反
2）利用动量定理定量计算
1、确定研究对象：一般为单个物体；
5、根据动量定理列方程，统一单位后代入数据求解。
2、明确物理过程：受力分析，求出合外力的冲量；
3、明确研究对象的初末状态及相应的动量；
动量定理的应用步骤
4、选定正方向，确定在物理过程中研究对象的动量的变化；
【例题2】在撑竿跳比赛的横杆下方要放上很厚的海绵垫子.设一位撑竿跳运动员的质量为70 kg,越过横杆后从h＝5.6 m高处落下，落在海绵垫上和落在普通沙坑里分别经历时间Δt1＝1 s、Δt2＝0.1 s停下.求两种情况下海绵垫和沙坑对运动员的作用力.
1.基本方法：一般采用微元法：即取一个很短时间Δt，建立如下的“柱状”模型,在时间Δt内所选取的研究对象均分布在以S为截面积、
长为vΔt的柱体内,这部分质点的质量为Δm=ρSvΔt,以
这部分质点为研究对象,对Δt内流出液体Δm用动量定
理,流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动
量的增量,即FΔt=ΔmΔv求解。
（1）确定Δm与Δt、液体的速度、密度等关系。
（2）确定Δm作用前后速度的变化。
（3）Δt趋近零时，Δm很小，所受的重力均不计。
⑴对水枪喷射问题，当空中水柱稳定后，空中水的体积不变，任何时间内从枪口射出的水等于射向墙壁或物体的水。
⑵若水柱不散开，水柱的横截面积与水的速度成反比。
四、应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题
2.解题的关键：
3.特点：
人们常说“滴水穿石”，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小。一瀑布落差为h＝20 m，水流量为Q＝0.10 m3/s，水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零。(落在石头上的水立即流走，在讨论石头对水的作用时可以不考虑水的重力，g取10 m/s2)
四、应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题
【例题3】 2020 年 11 月 24 日，中国用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号探测器，并将其送入预定轨道，运载火箭点火时向下喷气，会对地面产生冲击力。假设火箭喷气口的横截面积为S ，喷出气体的速度为v（相对于地面），气体垂直射向地面后竖直速度变为零。已知气体的密度为 ρ，重力加速度大小为 g ，则气体对地面的平均冲击力是（ ）
A.Sv2ρ B.Sv2ρ C.Svgρ D.Svρ
A
动量定理
动量定理
利用牛顿第二定律推导动量定理
冲量
动量定理
动量定理的应用
典例精析
动量定理的应用步骤
动量定理解释生活现象
流体模型
练习1、高中篮球赛于 5 月份进行，为保证比赛顺利进行，篮球协会会长王强同学为了检查篮球气是否充足，于是手持篮球自离地面高度 0.8m 处以 3m/s 的初速度竖直向下抛出，球与地面相碰后竖直向上弹起的最大高度为 0.45m，已知篮球的质量为 1kg，球与地面接触时间为 1s，若把在这段时间内球对地面的作用力当作恒力处理，空气阻力不计，g=10m/s2，求：
（1）整个过程中，重力的冲量；
（2）球对地面作用力的大小
练习2、某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉,在水泵作用下会从鲸鱼模型
背部喷出竖直向上的水柱,将站在冲浪板上的玩偶模型托起,悬停在
空中,伴随着音乐旋律,玩偶模型能够上下运动,如图所示。这一景观
可做如下简化,假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向
上喷出,设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同,冲浪板底部
为平板且其面积大于水柱的横截面积,保证所有水都能喷到冲浪板
的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方向的速度可忽略不计,冲击冲
浪板后,水在竖直方向的速度立即变为零,在水平方向朝四周均匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M,水的密度为ρ,重力加速度大小为g,空气阻力及水的粘滞阻力均可忽略不计。
(1)计算喷泉单位时间内喷出的水的质量以及玩偶模型在空中悬
停时水对冲浪板的冲击力大小;
(2)求玩偶模型在空中悬停时,冲浪板的底面相对于喷口的高度。
审题关键　(1)玩偶模型悬停时的受力情况。
提示:重力与水向上的冲击力,二力平衡
(2)以谁为研究对象与玩偶相互作用
提示:建立水柱状模型ΔV=v0SΔt
解析　(1)玩偶模型和冲浪板处在空中静止,此时受重力与水向上的冲击力,
由二力平衡可知,水对冲浪板的冲击力大小为F=Mg，
设Δt时间内,从喷口喷出的水的体积为ΔV,质量为Δm，则Δm=ρΔV,ΔV=v0SΔt
由以上两式得,单位时间内从喷口喷出的水的质量为 =ρv0S
(质量为Δm的水所受重力的冲量IG=ΔmgΔt=ρv0SgΔt2, IG相比IF=F·Δt可忽略)
联立以上各式得h= -
对于Δt时间内喷出的水,由机械能守恒定律得
(2)设冲浪板悬停时其底面相对于喷口的高度为h,水从喷口喷出后到达冲浪
板底面时的速度大小为v1
在h高度处,Δt时间内喷射到冲浪板底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
Δp=(Δm)v1
根据动量定理有F·Δt=Δp

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