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(共24张PPT)
第 3 章圆锥曲线的方程
人教A版2019选修第一册
3.2.1 双曲线及其标准方程
目录
CONTENTS
1
2
双曲线的定义
双曲线的标准方程
学习目标
1.领会双曲线的定义,与椭圆的定义进行比较,并加以区分.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法,与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程:
问题:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化?
知识回顾
双曲线型自然通风冷却塔
法拉利主题公园
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
通常情况下,我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0),则双曲线定义还可以描述为
若||MF1|-|MF2||=2a<2c,则点M的轨迹是双曲线.
思考1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数?
一、双曲线的定义
如果不加绝对值,那得到的轨迹只是双曲线的一支.
① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|,则轨迹是什么?
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|,则轨迹是什么?
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|,则轨迹是什么?
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
分3种情况来看:
思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0
(即0<2a<2c)?如果不对常数加以限制 ,动点的轨迹会是什么?
F1
F2
M
F1
F2
M
设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0二、双曲线标准方程
① 建系:
如图示,建立平面直角坐标系.
② 设点:
③ 列式:
O
M
设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0二、双曲线标准方程
① 建系:
如图示,建立平面直角坐标系.
② 设点:
③ 列式:
O
M
④ 化简整理得:
我们把上述方程叫做双曲线的标准方程,它表示焦点在x轴上,焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线,这里c2=a2+b2.
尝试与发现
思考 类比椭圆,请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么?
O
M
这个方程也是双曲线的标准方程,它表示焦点在y轴上,焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线,这里c2=a2+b2.
例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0),双曲线上一点P
到焦点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程.
学以致用
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.
学以致用
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,
1.可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.
2.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.
3.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.
归纳总结
双曲线两种标准方程的特点
① 方程用“-”号连接;
② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0,但a, b大小不定;
③ c2=a2+b2 ;
④ 如果x2的系数是正的,则焦点在x轴上;
如果y2的系数是正的,则焦点在y轴上.
O
M
F2
F1
x
y
F2
F1
M
x
O
y
课堂小结
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c 的关系
F1(-c, 0), F2(c, 0)
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大
a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c 中a最大
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|-|MF2||=2a (a|MF1|+|MF2|=2a (a>c)
F1(0, -c), F2(0, c)
F1(-c, 0), F2(c, 0)
F1(0, -c), F2(0, c)
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上,经过点
(2) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(1).解法一: ∵焦点在x轴上,故可设双曲线的标准方程为
练
一练
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上,经过点
(2) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(1)解法二 : 设双曲线的方程为
练
一练
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上,经过点
(2) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(2) 解法一:(待定系数法) ∵焦点在y轴上,故可设双曲线的标准方程为
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1) 焦点在轴x上,经过点
(2) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5).
(2) 解: (定义法)
练
一练
1.教材P121练习题 2、3、4
2.教材P127习题3.2第2题
课后作业
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