资源简介

17.2 勾股定理的逆定理
17.2.1 互逆命题与互逆定理
1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
2．命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 __________．
3．命题：若两个数相等，则它们的绝对值相等，它的逆命题是 __________．
4．“对顶角相等”这个命题的逆命题是__________．
5．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是__________命题．（填“真”或“假”）
6．请写出一对是真命题的互逆命题：__________．
17.2.2 勾股定理的逆定理
1．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，3，4 B．9，12，15 C．5，12，14 D．1，2，2
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．2，3，4
C．4，6，8 D．6，8，10
3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，， C．，， D．5，6，7
4．在△ABC中，若BC＝24，AB＝7，AC＝25，则△ABC的形状是 __________．
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．
17.2.3 勾股数
1．下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，1，1 D．2，3，4
2．下列选项中不是勾股数的是（　　）
A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15
3．有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，，．其中勾股数有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为 __________．
5．勾股数为一组连续自然数的是 __________．
6．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
17.2.4 勾股定理及其逆定理的综合运用
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a＝2，b＝5，c＝5
C．a＝5，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
2．已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
3．如图：每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．
4．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
5．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
参考答案及解析
17.2 勾股定理的逆定理
17.2.1 互逆命题与互逆定理
1．【答案】C
【解析】“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是两直线平行，同旁内角互补，故选C．
2．【答案】如果ab＞0，那么a＞0，b＞0
【解析】略
3．【答案】绝对值相等的两个数相等
【解析】略
4．【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角
【解析】略
5．【答案】真
【解析】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．为真命题，故答案为：真．
6．【答案】直角三角形的两个锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形（答案不唯一）
【解析】略
17.2.2 勾股定理的逆定理
1．【答案】B
【解析】A，22+32≠42，故A不符合题意；
B，92+122＝152，故B符合题意；
C，52+122≠142，故C不符合题意；
D，12+22≠22，故D不符合题意．故选B．
2．【答案】D
【解析】A，（）2+（）2≠（）2，故A不符合题意；
B，22+32≠42，故B不符合题意；
C，42+62≠82，故C不符合题意；
D，62+82＝102，故D符合题意．故选D．
3．【答案】C
【解析】A，12+22≠32，故A不符合题意；
B，12+（）2≠（）2，故B不符合题意；
C，（）2+（）2＝（）2，故C符合题意；
D，52+62≠72，故D不符合题意．故选C．
4．【答案】直角三角形
【解析】∵△ABC中，BC＝24，AB＝7，AC＝25，
∴72+242＝252，即AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
5．【答案】△ABC是直角三角形，理由如下：
由题可得，AC2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．
17.2.3 勾股数
1．【答案】A
【解析】A，∵62+82＝102，∴是勾股数，符合题意；
B，∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C，∵不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D，∵22+32≠42，∴不是勾股数，不符合题意．故选A．
2．【答案】B
【解析】A，，且7，24，25是正整数，，24，25是勾股数，A不符合题意；
B，，，5，6不是勾股数，B符合题意；
C，，且3，4，5是正整数，3，4，5是勾股数，C不符合题意；
D，，且9，12，15是正整数，9，12，15是勾股数，D不符合题意．故选B．
3．【答案】A
【解析】①32+42＝52，是勾股数；
②（62）2+（82）2≠（102）2，不是勾股数；
③0.5，1.2，1.3不是整数，不是勾股数；
④1，，．不是整数，不是勾股数；
其中勾股数只有①，共1组，故选A．
4．【答案】17
【解析】设第三个数为x，∵15，8，x是一组勾股数，∴①x2+82＝152，解得x＝（不合题意，舍去），②152+82＝x2，解得：x＝17，故答案为：17．
5．【答案】3，4，5
【解析】设中间的数是x，那么前面的数就是x﹣1，后面的数是x+1，根据题意，得（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得x＝0（舍去）或x＝4；4﹣1＝3，4+1＝5．故答案为：3，4，5．
6．【答案】正确．理由如下：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，即a，b，c为勾股数．
当m＝3时，可得一组勾股数6，8，10．
17.2.4 勾股定理及其逆定理的综合运用
1．【答案】D
【解析】A，∵22+32＝13≠42，∴A中的条件不能判定△ABC是直角三角形；
B，∵22+52＝29≠52，∴B中的条件不能判定△ABC是直角三角形；
C，∵52+82＝89≠102，∴C中的条件不能判定△ABC是直角三角形；
D，∵72+242＝625＝252，∴D中的条件可以判定△ABC是直角三角形．
故选D．
2．【答案】（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，
当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，
∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）．
3．【答案】（1）由题意可知AB，BC2，CD，AD，
∴四边形ABCD的周长为23；
（2）证明：连接BD．
∵BC＝2，CD，BD5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD＝90°．
4．【答案】∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，
∴∠CAB＝90°，
∵AB＝16×3＝48，BC＝60，∴AC36，
∴乙船的航速是36÷3＝12（海里/时）
答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．
5．【答案】如图，根据题意，得
OA＝30×1.5＝45（千米），OB＝40×1.5＝60（千米），AB＝75千米．
∵452+602＝752，∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．

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