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4.2.2 指数函数的图象和性质
1.能画出具体指数函数的图象
2.掌握指数函数的性质，能应用性质比较两个函数值的大小，解决简单的问题
复习回顾
特征
指数函数的概念：
一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R．
ax的系数为1；
ax的指数为自变量；
ax的底数是大于零且不等于1的常数．
思考1:类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？
实例
函数
图象
性质
值域
单调性
奇偶性
描点法
定义域
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
????=????????
-2
-1.5
0.35
-1
-0.5
0.71
0
0.5
1.41
1
1.5
2.83
2
0.25
0.5
1
2
4
请同学们完成x，y的对应值表，并用描点法画出函数y=2x的图像．
x
y
1
2
3
4
5
O
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
-1
指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质
请同学们完成下表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
-2
-1.5
2.83
-1
-0.5
1.41
0
0.5
0.71
1
1.5
0.35
2
????=(????????)????
?
4
2
1
0.5
0.25
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
????=????????
-2
-1.5
0.35
-1
-0.5
0.71
0
0.5
1.41
1
1.5
2.83
2
0.25
0.5
1
2
4
对比????=(12)????与????=2????
取值的列表，有什么关系？
?
指数函数的图象和性质
因为????=(1????)????=?????????，所以底数互为倒数的两个指数函数????=????????与????=(1????)????的图象关于????轴对称.
所以根据对称性就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数图象.
?
1
x
y
o
1
2
3
-1
-2
-3
选取底数a (a>0且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y=ax (a>0且a≠1)的值域和性质吗？
指数函数的图象和性质
????>1
0图像
定义域
值域
性质
(0,1)
y=1
y=ax
????
?
(0, +∞)
(1)过定点(0 , 1) ，即???? = 0时, ????=1 .
?
（2）增函数
（2）减函数
y=ax
y=1
(0,1)
指数函数的图象和性质
思考2:你认为函数图像在第一象限内的分布与底数的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函数图像在第一象限内的分布呢？
指数函数的图象和性质
思考2:你认为函数图像在第一象限内的分布与底数的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函数图像在第一象限内的分布呢？
指数函数的图象和性质
①当 a＞1时，底数越大， ；
②当0＜a＜1时，底数越小， ．
③当a＞0且a≠1时，函数 y＝ax与 函数的图象关于 轴对称．
函数图象在第一象限越靠近y轴
函数图象在第二象限越靠近y轴
y
例题解析
例1.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73;??????(2)0.8?2,0.8?3;?????(3)1.70.3,0.93.1．
?
解：(1)1.72.5和1.73可看作函数????=1.7????当????分别取2.5和3时所对应的两个函数值．
因为底数1.7>1，所以指数函数????=1．7????是增函数．
因为2.5<3，所以1.72.5<1.73．
?
(2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数????=0.8????是减函数．
因为?2>?3，所以0.8?2<0.8?3．
(3)由指数函数的性质知
1.70.3>1.70=1，
0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1．?
?
例题解析
例2.如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
(1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）
(2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人？
解：(1)由图知，当人口从10万增长到20万时，时间从20年增至40年，该城市人口每翻一番所需的时间需20年.
(2)经过20年人口会翻一番，所以人口从80万增长到160万.
例题解析
1.函数????(????)的数据如下表，求????(????)可能的一个解析式.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
0
1
2
????(????)
3.50
4.20
5.04
解：∵????(1)????(0)=4.203.50=1.2, ????(2)????(1)=5.044.20=1.2
∴????(????)可能的一个解析式为????(????)=3.5×1.2????
?
2.右图是指数函数:
① y=ax，② y=bx, ③y=cx, ④ y=d x 的图象，
则a,b,c,d与1的大小关系是 ( )
A.a C.1解：画出直线x=1与四个指数函数的交点从下往上依次为(1,b)，(1,a)，(1,d)，(1,c)，所以有0????>1
0图像
定义域
值域
性质
(0,1)
y=1
y=ax
????
?
(0, +∞)
(1)过定点(0 , 1) ，即???? = 0时, ????=1 .
?
（2）增函数
（2）减函数
y=ax
y=1
(0,1)
指数函数的图象和性质

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