资源简介

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人教A版高中数学新课标教材必修（第一册）
三角函数教学研究与分析
contents
目 录
CONTENT
01
本章的学习目标
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03
学生遇到的困难及解决办法
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05
本章的课程目标、地位及作用
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02
本章内容的前后联系
学生遇到的困难及解决办法
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04
本章教学建议
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06
如何贯彻大单元教学
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三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
课程标准
三角函数是学生在高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数，在高考中历来是重点热点之一；在高中数学课程中把“函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数、函数应用”视为一个整体；帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”及“幂函数、指数函数 对数函数”等内容的联系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的概念、性质和应用等内容的学习，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等核心素养。
三角函数的内容非常丰富，经过多轮课程改革，不断削支强干，其研究的内容、过程和方法都越来越简洁、清晰，但构建教材结构体系的指导思想仍然是一脉相承的：根据数学知识发生发展过程的内在逻辑，体现研究一个数学对象的“基本套路”，使教材具有内容的连贯性、逻辑的严谨性；同时，要发挥核心概念及其蕴含的数学思想和方法的纽带作用，使教材具有思想的一致性．具体按照如下线索展开：背景、任意角和弧度制——概念——基本性质(直接由定义推出的性质，要素的关系)——图象与性质——三角恒等变换(圆的几何性质的解析表示)——函数y—Asin()——应用(注重多样性，撤去单位圆这个“脚手架”)．
结构体系
地位作用
本章的地位与作用
本章的学习目标
同角三角函数
的基本关系
角与弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
三角函数的
概念与性质
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（４）三角恒等变换
经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，
二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。
（５）三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角
函数构建刻画事物周期变化的数学模型。
本章的学习目标
本章内容的与前后知识的横纵联系
数学外部的基础
学生每天都能接触到周期性现象，这是日常生活中积累的对“周而复始”现象的认识经验．物理中已经学习过圆周运动、简谐振动、交变电流等，地理中学习的季节轮替、潮汐变化等，生物中学习的各种动植物的生长规律等．总之，相关学科中积累的关于周期性变化规律的知识都可以成为三角函数的认知基础．
本章内容的与前后知识的横纵联系
在平面几何中学习的圆的性质、相似形的有关知识，初中对圆的研究，从中心对称图形、轴对称图形、旋转对称图形等多角度展开，将这些研究中得出的定性结果用三角函数概念表达出来，就可以直接得到三角函数的性质．同时，平面几何中的相关知识及其蕴含的思想方法也能给证明三角函数的性质提供思路，例如两角差余弦公式的证明．
平面几何方面
在函数一般概念，幂函数、指数函数、对数函数的学习中积累的数学思想、数学活动经验都是本单元的认知基础：从函数的一般概念、表示与性质等学习中，了解了研究函数的一般路径、方法；通过幂、指、对函数的学习，基本掌握了研究一类函数的结构、内容、过程与方法．特别重要的是，在这些学习中养成的一般性思考问题的习惯，例如如何构建一类函数的研究路径，抽象一类函数概念的内容、途径与方法，如何从函数定义出发研究函数性质，如何利用函数概念和性质建立数学模型解决实际问题等等．
函数主题方面
数学内部的基础
探究能力缺乏,学习理念较为模糊. 受初中三角函数学习思维的影响,一些学生误认为高中三角函数和初中三角函数学习方式一样,仅需要掌握公式即可. 殊不知, 高中三角函数更加注重实践和探究能力的培养,那种不知变通、机械做题的方式已不能适应高中三角函数学习的要求.
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忽视了基本概念的学习. 在高中三角函数学习中,理应具备严密的逻辑思维,但是极大部分学生忽视了基本概念的学习,致使对三角函数的几何意义和方程式理解仅停留在表面上,对于正弦和余弦曲线的画法相互混淆.
对三角函数公式的变形理解不到位. 三角函数公式是三角函数学习中最为关键的部分,但是三角函数公式变式较多,理应对三角函数变形的规则和技巧熟练掌握,但是在具体学习中,学生往往在三角函数公式的变式中存在着较大障碍,不能达到触类旁通的效果
三角函数数形结合的能力欠缺. 初中学习函数时只要通过限制点的方式就能画出图形,但在高中三角函数图形绘画中,除了兼顾单调性、凹凸性和周期性等基本性质之外,在计算函数值时往往较为烦琐,数形结合的能力较为欠缺.
综合迁移能力缺乏. 虽然经过初中、高中阶段的学习,大部分学生已经具备了将单一知识点联系成为有机整体的能力, 但三角函数公式繁多且较为相似,由于学生综合迁移能力较为缺乏,致使学生在解决具体问题时困难较大
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学生现状剖析
已学的多项式函数、幂函数、指数函数和对数函数等，它们的对应关系都是代数运算规律的反映，但三角函数不以“代数运算”为媒介，是几何量(角与有向线段)之间的直接对应，不是通过对口进行代数运算得到函数值，这是一个复杂、不良结构情境，学生不习惯于这样的对应关系，是主要的学习难点．因此，在“对应关系”的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要素”，特别是要在落实“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程的基础上再给定义． ．三角函数的性质，核心是周期性，由此引发丰富多彩的内容：丰富的对称性；以单位圆为媒介而建立起各三角函数之间的丰富关联，例如由定义直接推出同角三角函数之间的关系；结合单位圆上点的运动及其坐标的变化规律(非常直观)，推出各种各样的三角公式、恒等变换公式等，这是其他函数所没有的．研究三角函数性质的方法也有特殊性，即利用三角函数的定义，将圆的几何性质转化为三角函数值之间的关系，这就是通过几何直观研究函数性质，如单位圆关于原点成中心对称、关于坐标轴成轴对称、关于y=±z成轴对称，转化为三角函数之间的关系，就是诱导公式．因此，研究三角函数性质时所使用的数形结合，与通过观察函数图象而得出性质所体现的数形结合，有较大的不同．
总之，“正弦函数、余弦函数的基本性质是圆的几何性质的直接反映”，这种研究方法是学生不熟悉的，有的学生甚至会认为这样得到的不是函数性质．三角函数概念与性质的学习中，与单位圆建立了非常紧密的联系，有利于学生理解三角函数的本质，但同时也带来不利影响．现实中的周期性现象并一定以角为自变量，因此在用三角函数解决实际问题时，需要有更复杂的分析与转化工作．
学生遇到的困难预判及解决办法
教学建议
把握内容的主要变化
但是在实际生活中，由于三角函数模型常常具有一般性，需要采用从特殊到一般的研究策略，对诱导公式中涉及特殊角与任意角α的和（或差）的三角函数进行一般化处理，变为任意角α与β的和（或差）的三角函数计算问题，由和角公式自然就会生成二倍角公式. 一方面，通过扩充把运算算理一般化，打通公式之间的逻辑关系；另一方面，为一般类型的三角函数图象和性质的研究提供算法保障. 然后，再进一步提出函数y = A sin(ωx + φ) 的图象和性质的研究. 基于换元法，函数 y = A sin(ωx + φ) 的性质已经可以解决，自然引出：函数 y = A sin(ωx + φ) 的图象能否通过变换由三角函数 y = sin x （或 y = cos x） 得出？最后，再举例说明三角函数在科学与生活中的基本应用. 在知识学习中遵循循序渐进的原则，渗透了由特殊到一般的思想，体现了知识生成、发展与应用的完整过程.
第5.1节
预备知识
第5.2节
三角函数的概念
定义
三角函数之间的基本关系
（第5.3节的诱导公式）
定义和运算
三角函数的
图象与性质
如何贯彻大单元教学
以一条逻辑线索统领三角函数教学
如何贯彻大单元教学
以一个单位圆引出三角函数的学习内容
P193 例5
P201 例2
如何贯彻大单元教学
以一种整体换元方法贯穿典型例题教学
P205 例3（2）
P206 例5
P221例5
P222例6
P225 例8（2）
P237 例1
三角函数可以用来刻画现实世界中的许多变化与现象，如潮汐变化、物体做匀速圆周运动的位置变化、物体做简谐运动的位移变化、交变电流变化乃至月亮圆缺现象等. 新教材形象地呈现两个齿轮的旋转示意图，提出旋转方向不同，需要扩充角，也建构了扩充的基本线索：角度 + 旋转的方向.
在利用单位圆探究三角函数的基本运算和性质后，新教材回应了前面的章引言，用古代筒车作为数学模型来研究匀速圆周运动，通过提出问题、优化变量、分析模型，建立模型中盛水筒 M 距离水面的高度 H与时间 t 的函数关系式 H = r sin(ωt + φ) + h . 利用函数y = sin x 的性质研究方法，可以研究该模型的基本性质，提出“如何用变换的方法研究函数 y = A sin(ωx + φ) 的图象”的问题. 通过展示现实生活中摩天轮的模型，引导学生明白如果做相似研究 （游客距离地面的高度 H关于转动时间 t 的关系），可以利用本章学习的知识进行探究.
如何贯彻大单元教学
以一类函数建模驱动素养教学

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