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课有本，题有根，题根课根连考根
------新人教A版必修一教材习题研究
目录
CONTENT
01
题源分析
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03
对不同类型习题的教学方式分析
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02
必修一习题的功能及数量分析
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04
案例分析
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题源探究
2023年高考题：
教材习题：
必修一P12
必修一P53
6
题源探究
2023年高考题：
教材习题：
选修一P92
题源探究
2023年高考题：
教材习题：
选修二P25
题源探究
2023年高考题：
教材习题：
必修一P228
题源探究
2023年高考题：
教材习题：
必修一P141
题源探究
2020年高考题：
教材习题：
必修一P256
这两道题在情境上类似，都考查三角函数的应用，只是教材中给出的是平面图，而高考题中为立体图，有了教材习题的铺垫，学生只需要将立体图形转化为平面图形就能建立熟悉的数学模型，发现解决问题的思路。
高考考题是课本内容的拓展和延伸，考题的思想与课本上某个例题或习题的思想高度统一，既不可能出现原题，而且要保证所考查的知识点 一定来源于教材。因此我们需要对教材中的例题或习题进行二次开发，用好教材中的题。
必修一习题的功能及数量分析
新人教A版高中数学必修一共有习题241道，其中“复习巩固”类习题最多，102道，“综合运用”类习题94道，“拓广探索”类习题最少，共45道。
复习巩固 综合运用 拓广探索 总计
第一章 13 9 6 28
第二章 11 10 5 26
第三章 13 18 8 39
第四章 25 23 10 58
第五章 40 34 16 90
必修一习题的功能及数量分析
相比人教A版高中数学旧教材将习题分为A、B组的编排方式，新人教A版高中数学教材根据习题的功能与难度不同，将习题分为“复习巩固”、“综合运用”、“拓广探索”三种类型，层次分明，定位清晰，且题目数量有所减少，更贴合“双减”政策的要求.
复习巩固类习题的功能：
这类习题主要起到巩固强化的功能.主要作用有两个：一是熟悉消化新知，二是对新知的巩固，从而加深对新学知识的记忆与理解，通过这类习题的训练，达到孰能生巧的效果.
如图，在新人教A版高中数学教材中，通过1.1节集合概念的学习，学生在了解集合含义的基础上，会用列举法、描述法刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系，紧接着给出习题1.1对本节所学知识进行强化，达到熟练掌握所学知识的目的。
必修一习题的功能及数量分析
总体来看，“复习巩固”类习题的数量最多，且难度不大，基础性较强，对这类题目要让学生达到模仿、理解的水平。
必修一习题的功能及数量分析
综合运用类习题的功能：
这类习题主要功能是综合应用新知，灵活地运用数学知识解决问题，让学生通过类比、迁移等方式，将学过的数学知识、思想方法以及解决问题的经验应用于新的情境，体会数学知识与其他学科以及实际生活之间的联系，帮助学生系统掌握数学知识，进一步体会数学应用的广泛性。
如图，教材2.1中类比等式基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用，并类比教材42页例2得到“综合运用”类习题的第7题、8题，将不等式的基本性质与命题结合起来，9-10题为不等式的性质在实际问题中的运用，使学生体会数学的实用价值。
必修一习题的功能及数量分析
“综合运用”类习题的数量适中，相对“复习巩固”类题目难度有所增加，对这类题目要求学生在模仿、理解的基础上学会应用和探究，题目大多为利用本章节所学知识解决实际问题。
必修一习题的功能及数量分析
拓广探索类习题的功能：
这类习题的主要功能是拓展延伸，其拓展延伸功能表现在两个方面，一是作为教材正文内容的延伸，有利于学生把握数学概念和命题的内涵；二是为后面学习内容作铺垫，起着承前启后的作用，构建逻辑严密的知识体系。
如图，教材5.3中利用单位圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数的计算和化简，并进行恒等式的证明，在学生会把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，以及通过诱导公式实现正弦函数与余弦函数的相互转化后，在“拓广探索”类习题第9题中通过引入参数n对诱导公式进行探究，加深学生对诱导公式的理解，同时增加探究的难度，使学生掌握研究问题的通性通法。第10题借助单位圆探究三角函数值之间的恒等关系不仅是对本节所学知识的拓展，也为下一节利用单位圆研究三角函数的图像与性质做铺垫。
必修一习题的功能及数量分析
“拓广探索”类习题的数量较少，且难度较高，对学生的数学思维含量和深度要求较高，合理使用有助于培养学生的探究意识和创新精神。
对不同类型习题的教学方式分析
对于“复习巩固”类习题，题目所涉及的内容与每节课的知识点高度一致，是针对一节课的主要内容展开的，是教材例题的延伸。在学生熟练掌握相关知识点的基础上，可以适当增加具有典型性、代表性的题目，并帮助学生总结解决问题的通性通法，达到识记、理解相关知识的目的。
对于“综合运用”类习题，在“复习巩固”类习题的基础上更加注重变式训练和综合运用知识解决问题的能力，考察学生的应变能力和综合知识储备，也是考试中经常会遇到的题目。教师要在教学过程中设置不同难度而又相关联的题目逐步引导学生，进而解决综合类问题。同时，还要善于一题多解和题后反思，提高分析问题、解决问题的能力。
对于“拓广探索”类习题，虽然数量较少，但难度较大，对教材进行分析时发现，探究性问题和开发性问题大多出自此类习题。教师应通过引导学生，师生共同探究，共同感受，小坡度推进，在探究的过程中把学生思维逐步引向深入，达到“螺旋上升”的效果。
“复习巩固”教学方式案例1
这3道“复习巩固”类习题作为基础题，起到巩固函数基本概念，函数的三要素定义域、值域、对应关系的作用，特别是第2题，仅用初中学习过的函数概念很难回答这个问题，学生做完这三个题之后老师要引导学生做一个题后反思使学生体会为什么初中学习过函数的概念之后，高中还要再学习函数概念的必要性，体会高中数学对函数概念的定义相比于初中函数概念的精确性。
“综合运用”教学方式案例1
这个集合题难度较低，学生能很快完成，通过对这个题的解答一方面可以达到复习集合基础知识的作用，另一方面可以深化学生对元素与集合关系以及集合与集合关系的理解，学会利用Venn图进行简单的集合交并补混合运算。
在学生快速完成该小题后，教师可以通过设置变式问题将难度适当加深，
设计意图： 引导学生对比发现虽然题目变了，但是处理问题的基本思想和基本方法不变，改变的只是问题的呈现形式，但是问题的本质没有变，一方面充分体现了多题一解的基本思想，另一方面也开阔了学生的视野。
P14
“综合运用”教学方式案例1
设计意图：充分体现逆向变式，在之前解题经验的基础之上先给出全集，再给出集合间的交并补运算结果，要求学生逆向计算集合B，给学生的思维设置一定难度的障碍，引导学生认真分析问题的本质。一方面体现了韦恩图的作用和功效，另一方面引导学生体会数与形的关联和转化。
“综合运用”教学方式案例2
P48
“综合运用”教学方式案例3
习题3.2综合运用P86
本题难度不大，重在用好奇函数的性质求解析式。
变式1和变式2是为了强化利用函数奇偶性求解分段函数解析式的基本方法。
“综合运用”教学方式案例3
习题3.2综合运用P86
“综合运用”教学方式案例3
习题3.2综合运用P86
“综合运用”教学方式案例4
习题4.3综合运用P127
“综合运用”教学方式案例5
复习参考题P255
这道课本习题看起来很平常，实际上却有很大的教学价值和研究空间，可以探究出它有10种解法。
这种解法技巧性很强，一般同学不易想到这种解法
“综合运用”教学方式案例5
“综合运用”教学方式案例5
“综合运用”教学方式案例5
把含有正弦和余弦的代数式或方程转化为含有正切的代数式或方程。体现了方程思想和化归思想.
“综合运用”教学方式案例5
“综合运用”教学方式案例5
“综合运用”教学方式案例5
“综合运用”教学方式案例5
“综合运用”教学方式案例5
三角函数，不仅自身有许多基本而重要的公式，如：同角三角函数关系式、诱导公式、和差角公式、倍角公式等等，而且还离不开解方程（组）等代数运算，还要用到三角知识之外的知识，因此，三角函数是一个思维训练的良好场所，我们学习三角函数时，要充分利用课本的例题习题，着重加强这方面的训练，就有利于培养学生的分析和解决能力。
“拓广探索”教学方式案例1
习题2.2P49
此题到此结束，只能算照本宣科，没有发挥这道拓广探索题应有的作用，解决该题还可以在学完第三章内容后引导学生通过求函数解析式或求函数最值的思路解决。
“拓广探索”教学方式案例1
对求函数解析方法的探究：
“拓广探索”教学方式案例1
对求函数最值方法的探究：
“拓广探索”教学方式案例1
其他方法的探究：
其他方法的探究：
“拓广探索”教学方式案例1
从不同角度提问：
“拓广探索”教学方式案例1
从不同角度提问：
“拓广探索”教学方式案例2
习题3.2P87
这是课本习题中极具探究性的一个问题，通过解决这个问题可以引导学生发现并总结出处理一类数学问题的基本思想和方法，考查了函数奇偶性也考查了函数单调性的证明方法，一方面深化了函数的概念，另一方面挖掘函数奇偶性与单调性的关系。
“拓广探索”教学方式案例2
习题3.2P87
“拓广探索”教学方式案例2
习题3.2P87
“拓广探索”教学方式案例3
习题4.4P141
这道题可能我们会和学生说用图像法解，但是这种解法有点“牵强附会”哦，因为学生不可能画出那么准确图像。
复习了函数的单调性的定义
“拓广探索”教学方式案例3
习题4.4P141
“拓广探索”教学方式案例3
习题4.4P141
“拓广探索”教学方式案例3
“拓广探索”教学方式案例3
习题4.4P141
“拓广探索”教学方式案例4
习题5.5P230
“拓广探索”教学方式案例4
“拓广探索”教学方式案例4
“拓广探索”教学方式案例4
追问4：利用诱导公式将 写成 。可将等式全部转化为只含有正弦的等式
已知 为任意角时等式恒成立，那么，如果将等式中的 改为任意角时等式还成立吗？
分析：通过两种不同的思路证明等式成立，解题过程中涉及三角恒等变形，三角函数定义，实现一题多解，开拓学生思维，在追问4中，对原有问题进行变式，真正做到一题多思，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，发挥“拓广探索”类习题的最大价值。

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