资源简介

准考证号__________姓名__________
绝密★启用前
（在此卷上答题无效）
萍乡市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号 姓名”与考生本人的准考证号 姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷 答题卡一并收回.
第I卷
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图，全集，集合，下列选项的集合中，包含于图中阴影部分表示的集合的是（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量，则“或”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
6.已知球的表面上有四个点，其中平面，，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.对于数列，定义为的“优值”，若，记数列的前项和为，则（ ）
A.1012 B.2020 C.2023 D.2025
8.法国数学家傅里叶用三角函数诠释美妙音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表达式都是形如的简单正弦型函数之和，这些正弦型函数各项的频率是最低频率的正整数倍（频率是指单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量），其中频率最低的一项所代表的声音称为第一泛音，第二泛音的频率是第一泛音的2倍，第三泛音的频率是第一泛音的3倍…….例如，某小提琴演奏时发出声音对应的震动模型可以用如下函数表达：，（其中自变量表示时间），每一项从左至右依次称为第一泛音 第二泛音 第三泛音.若一个复合音的数学模型是函数（从左至右依次为第一泛音 第二泛音），给出下列结论：
①的一个周期为；
②的图象关于直线对称；
③的极小值为；
④在区间上有2个零点.
其中正确结论的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A.为等比数列
B.为递增数列
C.的通项公式为
D.的前项和
11.已知正方体的棱长为1，若点在线段上运动（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A.直线平面
B.周长的最小值为
C.三棱锥与三棱锥的体积之和为
D.当时，与平面所成角的正切值为3
12.已知，则下列说法正确的有（ ）
A.对于任意，函数有且只有两个零点
B.当时，函数有三个极值点
C.当时，函数的图象的切线的斜率最小值为
D.若函数在上的最小值为，则
第II卷
注意事项：
本卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答题无效.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在平面直角坐标系中，已知向量与夹角为，则的坐标可能是__________.（写出一个即可）
14.直四棱柱的高为，底面是边长为2的菱形，，则二面角的平面角的大小为__________.
15.求值：__________.
16.定义域为的函数恰有一个零点，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知内角的对边分别为，面积为，且.
（1）求角；
（2）已知，求面积的最大值.
18.（本小题满分12分）
已知正项数列中，，前项和为，且__________.
请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
19.（本小题满分12分）
（1）已知关于的不等式的解集为，则当时，求的取值范围；
（2）已知函数的定义域与函数的值域的交集不为空集，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
如图，在正四棱台中，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为，为的中心，求异面直线与所成角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）若，求函数值域；
（2）若，把方程的根从小到大排列，记为数列，求的前20项和.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）证明：当时，恒成立；
（2）首项为的数列满足：当时，有，证明：.
萍乡市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
参考答案及评分标准
一 单项选择题（8×5=40分）
1-5ABCBB 6-8DDA
二 多项选择题（4×5=20分）
9.BD 10.ACD 11.ACD 12.BCD
三 填空题（4×5=20分）：
13.（答案不唯一）； 14.； 15.； 16..
四 解答题（共70分）
17.（1）由题知，，
，
，
在中，，且；
（2）由题知，，
则，又，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最大值为.
18.（1）【若选①】由题知，，
因为为正项数列，所以是公差为2等差数列，
则，当时，也满足上式，综上：；
【若选②】由题知，当时，，
与原式作差得：，则，
两式作差得，
即，所以数列为等差数列，
由已知可得，则；
（2）由（1）知，，
又，
【注：也可得分，但要注意验证.】
19.（1）由题知：，
解得，
，
令，所以时，有时，有，
所以的取值范围为；
（2）函数的值域为，
由题知，至少存在一个，使成立，
即当，存在使成立，
令，则时，，
所以，即实数的取值范围为.
20.（1）取中点，连接，则，
平面平面，
则平面平面，又平面，所以平面；
（2）连接，则，连接，因为，则，
且，所以为平行四边形，则，且，
同理可得：为平行四边形，则，所以为异面直线与所成角或其补角，
由条件可求得：，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
21.（1）
由题知，的最小正周期为，则，又为奇函数，则，而，则，故，
，其最小正周期为，考虑一个周期内的情况，
，则和时，单调递增，时，单调递减，故，即函数的值域为；
（2）可化为，
解得或，
即或，
当时，，所以，
当时，，所以，
故，因为的最小正周期为，
记，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
故.
22.（1）令，
则
当时，单调递增，则单调递增，则，
故当时，恒成立；
（2），由（1）知，则，即，依此类推，可知，
等价于，
当时，（等价于），
下证，
即证，即证，因为，
则只要证，
即
令，
则单调递增，，则单调递增，，
所以，
即，
所以，
即
所以.

展开更多......

收起↑