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三角函数的概念
一、学习目标
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.
2.掌握任意角三角函数在各象限的符号.
3.掌握三角函数诱导公式一并会应用．
预习自学（课本177-179页）
知识点一 任意角的三角函数的定义
如图，设是一个任意角，,它的终边与单位圆交于点，那么：
（1） 叫做的正弦函数，记作，即
（2） 叫做的余弦函数，记作，即
（3） 叫做的正切，记作，即
注：1)当时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标都等于0，所以无意义.除此之外，对于确定的角的值也是唯一确定的。所以， 是以 为自变量，
为函数值的函数称为正切函数。
我们将 、 、 统称为三角函数。
知识点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦： 象限正， 象限负．
余弦： 象限正， 象限负．
正切： 象限正， 象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
知识点三 公式一
sin (α＋2kπ)＝ ，cos (α＋2kπ)＝ ，tan (α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
三、例题导学
题型一 单位圆法求三角函数值
例1 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α.
变式1已知角α的终边经过点，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
题型二 坐标法求三角函数值
例2 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
变式2 已知角α的终边经过点P(5m，12)，且cos α＝－，则m＝________.
题型三 三角函数概念的应用
例3已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
变式3 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值.
题型四 三角函数值在各象限的符号
例4(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 285°·cos (－105°)________0.(填“<”“>”)
变式4（1）若－＜α＜0，则点P(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题型五 公式一的应用
例5求下列各式的值：
（1）cos＋tan；
sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
题型六 三角函数值符号与公式一的综合应用
例6确定下列函数值的符号.
(1)tan (－672°)；(2)cos ；(3)tan；
(4)sin 1 480°10′；(5)tan.
检测反馈
1.若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是
A.tan α B.sin α C.cos α D.都有意义
2.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为
A.1 B.－1 C. D.－
3.若角α的终边过点(5，12)，则cos α－sin α＝
A. B. C.－ D.－
4.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________.
5.判定下列各角的各三角函数符号：
6.填表：
7.求下列各式的值:
(1)；
(2).
8、求的值域.
9、若，则在
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限
课时作业
1.已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于
A.－ B. C.－4 D.4
2.给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.其中符号为负的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )
A. B．－ C．－ D.
4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为
A. B.
C. D.
5.(多选题)角α的终边经过点P(x，4)，且cos α＝，则sin α可能等于( )
A.0 B. C. D.1
6．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
7、已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，则tan α＝________.
8.(多空题)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________，tan θ＝________.
9.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第___象限角.
10、(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.
11.如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________.
12.若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号.
选做题
*13.(多选题)有下列说法，其中错误的是( )
A.终边相同角的同名三角函数值相等
B.同名三角函数值相等的角也相等
C.终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等
D.不相等的角，同名三角函数值也不相等
14．已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
15.求函数y＝＋－的值域．
16．已知，那么下列命题正确的是（ ）
A．若角、是第一象限角，则
B．若角、是第二象限角，则
C．若角、是第三象限角，则
D．若角、是第四象限角，则
答案
例1.解：由题意，设点A的坐标为，所以x2＋＝1，解得x＝或－.
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－.
变式1. － －
例2.解：r＝＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
变式2. －1
例3.解：由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，所以10sin α＋＝10×＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，sin α＝＝＝，
＝＝＝－，所以10sin α＋＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.综上所述，10sin α＋＝0.
变式3.解：因为角α的终边在直线y＝x上，所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝＝2|a|(a≠0).若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.若a<0时，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
例4【解析】 (1)因为点P(tan α，cos α)在第三象限，因此tan α<0，cos α<0，所以α在第二象限．
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0，因为－105°是第三象限角，所以cos (－105°)<0.所以sin 285°·cos (－105°)>0.【答案】 (1)B (2)>
变式4（1）解析：选B.由－＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点P在第二象限．
（2）解析：选D.由|cos θ|＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，所以角θ是第四象限角，故选D.
例5解 (1)原式＝cos＋tan＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝.
例6（1）>0;（2）>0;（3）>0;（4）>0;（5）<0.
检测反馈1.A； 2.C； 3.C； 4.(－2，3]；
5.（1）>0（2）<0;（3）<0;（4）<0.
6、
7.（1）；（2）
9.B
课时作业 答案
1、C 2、D 3、A 4、A 5、CD 6、D
6、【答案】D【详解】解:令得,故定点为,
所以由三角函数定义得，所以
7、 8、－8； －2 9、一
10、.解 (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°＋0°)＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
11.，k∈Z
12.解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.当a>0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a>0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin<0；当a<0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin >0.综上，当a>0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.
13.BCD；
14【答案】AC【详解】因点是角终边上一点，，于是得，A正确；
，当时，，当时，，B不正确；
又，则，C正确，D不正确.
15.
16【答案】BCD
【详解】设角、的终边分别为射线、．对于A，如图1，，此时，，，所以，故A错误；对于B，如图2，，
此时，，且，所以，故B正确；
对于C，如图3，，此时，，且，所以，故C正确；对于D，如图4，，，即，故D正确．故选：BCD.

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