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4.2.2等差数列的前n项和公式(1)
第四章 数列
内容和内容解析
1
学情分析
2
4
教学重难点分析
3
教学目标
5
教学过程设计
一、内容和内容解析
等差数列前n项和公式的推导
1.知识逻辑结构
2.知识教育价值
数列
等差数列前n项和公式
函数单调性
导数及应用
等差数列
首尾配对法，倒序相加法，化归与转化以及从特殊到一般的思想.
素养：逻辑推理、数学运算.
延伸
基础
特殊
等比数列
定义
表示
性质
通项公式
二、学情分析
已具备的认知基础：
紧抓“配对”这条思想主线：一是在讲授等差数列“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”的性质时提前做好如何“配对”的思想铺垫；
二是引导学生根据奇偶数的性质以及两两配对的思想想到将两个和式自身相加从而完美实现配对；
最后通过几何图形数形结合加深学生的理解.
从学生已有的数学思维特点来看，等差数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等.
高斯算法（“首尾配对法”）和“倒序相加法”的共性本质都是如何“减项化简”,但两者的推导方法又有着形式上的差异，首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位. 怎么想到用倒序相加
需要的认知基础：倒序相加法，等差数列的前n项和公式.
三、教学目标
1.经历探索等差数列前n项和的过程，类比推理得出等差数列前n项和公式，培养逻辑推理素养；
2.通过例题的讲解及运算，引导学生运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升数学运算素养；
3.通过等差数列前n项和公式的推导和公式的简单运用，体会从特殊到一般的思想方法，提高分析问题、解决问题的能力.
四、教学重难点分析
1.教学重点：探索并掌握等差数列前n项和公式．
2.教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得.
五、教学过程设计
模仿高斯“探”公式
问题1：前面我们学习了等差数列，等差数列的研究路径是什么？
追问：如何研究等差数列的性质？
背景——定义——表示——性质——应用.
研究数学对象的性质就是研究它的组成要素、相关要素之间的关系，等差数列的定义和性质都是通过“运算”得出的.
本节课继续用运算来研究等差数列的重要性质——等差数列前n项和公式.
模仿高斯“探”公式
印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？
问题2：这其实就是我们所熟悉的高斯算法的故事，高斯是如何快速求出1+2+3+4+…+100的和的？
S100=1+2+3+4+…+100=？
等差数列1，2，···，n，···的前100项和
模仿高斯“探”公式
1+100=101
2+99 =101
3+98 =101
50+51 =101
=50 ×101=5050
计算：S100=1+2+3+4+…+100=？
高斯 Gauss.C.F
（1777~1855）
高斯, 德国数学家. 与阿基米德, 牛顿并称为历史上最伟大的数学家, 有“数学王子”之称.
a1+a100=101
a2+a99 =101
a3+a98 =101
a50+a51=101
等差数列an=n
前100项的和
首尾配对法
=50 ×101=5050
S100=(a1+a100)+ (a2+a99) +…+ (a50+a51)
通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”转化为“相同数的求和”.
模仿高斯“探”公式
追问1：高斯在求和过程中利用了数列的什么
性质？
依据：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
目的：不同数的求和转化为相同数求和
（简化计算）
高斯 Gauss.C.F
（1777~1855）
高斯, 德国数学家. 与阿基米德, 牛顿并称为历史上最伟大的数学家, 有“数学王子”之称.
设计意图：高斯算法蕴含着等差数列的特殊性质，让学生去观察、探索、发现等差数列的这一性质，引导学生提炼高斯算法的实质，体会转化与化归的思想方法.
高斯算法
模仿高斯“探”公式
追问2：你能用这种方法求数列 的前101项和吗？
高斯算法
摘出51
摘出101
配102
配0
设计意图：这是求奇数个项的和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，引导学生思考高斯算法在求和问题中的奇偶数项探讨.
模仿高斯“探”公式
问题3：你能用上述方法求数列 的前n项和吗？
追问1：在对项数n分奇偶讨论求和的过程中，遇到的难点是什么？
追问2：如何确定中间的项？
难点：当n是奇数时，配对的对数不好找，余下中间项时不好写.
模仿高斯“探”公式
问题3：你能用上述方法求数列 的前n项和吗？
当n为偶数时,有
当n为奇数时,有
综上，对任意正整数n,
演绎推理“推”公式
问题4：在求前n个正整数的和时，对n分奇偶数进行讨论得到的结果是一样的，那么怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”呢？
“奇数加奇数、偶数加偶数”都可以变成偶数，根据这个性质让它自己和自己配对.
倒序相加法
设计意图：紧抓“配对”这条主线，使得“倒序相加法”的产生过程不突兀，学生对倒序相加法带来的方便会更清晰，理解更深刻，也容易接纳.
演绎推理“推”公式
Sn= a1 + a2 + … + an-1 + an
Sn= an + an-1 + … + a2 + a1
问题5：你能将上述方法推广到求等差数列
的前n项和吗？
倒序相加法
演绎推理“推”公式
追问1：等差数列前n项和公式有什么特点？
只要知道首项和末项就可以求得前n项和.
数列的平均数
就是等差数列前n项的平均数的n倍，用首末两项的平均数代替原来的每一个数，从而将加法简化为乘法.
演绎推理“推”公式
数列的平均数
这也是等差数列的前n项和公式的另一种形式.
也可以通过
转化为基本量a1和d
利用求和公式和每项具体化
追问2：只要知道等差数列的首项和公差，数列就完全确定了，那么你能根据等差数列的首项和公差得到它的前n项和公式吗？
数形结合“释”公式
问题6：根据前面的推导过程，你能说出等差数列 的前n项和公式与梯形的面积
公式有什么联系吗？
典型例题“用”公式
典型例题“用”公式
方程思想
典型例题“用”公式
方程思想
典型例题“用”公式
　 在研究等差数列时，对“知三求二”的问题，一般是转化为基本量（首项、公差）和方程（组)的思想．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及方程思想、转化思想的运用．
小结回顾“固”公式
2.通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法 如何合理选择等差数列的求和公式使得解决问题又快又准呢？

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