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泉州市四校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3．考生须保持答题卡卡面清洁，并在考试结束后将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线l：的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线：与：平行，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．或2
3．直线l：被圆C：所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
4．若椭圆C：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正三棱柱中，若，则点C到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．若圆：（）与圆：（）恰有三条公切线，则ab的最大值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
7．已知是l：上一点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（ ）
A． B． C． D．4
8．已知p是椭圆C：上的动点，且C与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点M在的平分线上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列选项正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则
C．直线 的方向向量，平面的法向量是，则
D．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
10．下列结论正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则它们的距离为
B．点关于直线的对称点的坐标为
C．原点到直线的距离的最大值为
D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为
11．已知直线经过椭圆C：（）的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的短轴长为 B．弦的最大值为4
C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点（1，0） D．若，则
12．已知点，，动点P在：上，则（ ）
A．直线MN与相离
B．线段PN的中点轨迹是一个圆
C．的面积最大值为
D．P在运动过程中，能且只能得到4个不同的
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题第一空2分，第二空3分。
13．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则k的值为______．
14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______．
15．已知点，直线l：，则点P到直线l的距离的取值范围为______．
16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则______，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于点N，则______．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．
（1）求对角线的长度．
（2）求与夹角的余弦值．
18．（12分）
已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程．
19．（12分）
在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面ABC，，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
20．（12分）
已知圆M：（其中M为圆心），P是直线l：上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）设的外接圆为圆N，当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（12分）
已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率为，点M在椭圆上，且满足轴，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于A，B两点，求（O为坐标原点）面积的最大值．
22．（12分）
已知圆：，E为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G．
（1）求动点G的轨迹C的方程；
（2）已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，．
Ⅰ．求AM与AN的斜率的乘积；
Ⅱ．问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
泉州市四校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1~8 DDAB BBCD
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9~12 ADBCC DABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题第一空2分，第二空3分。
13． 14． 15． 16．；
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：（1）由题意及图得，，
，
所以，即．
（2）由题意及图得，设与AB夹角为，
．
18．解：（1）由题得线段AB的垂直平分线的方程是．
设圆C的标准方程为，其中，半径为r（），
由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得，
所以圆心，，所以圆C的标准方程为．
（2）由（1）设F为MN中点，则，得，
圆心C直线l的距离，
当直线l的斜率不存在时，l的方程，此时，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程，即，
由题意得，解得；
故直线l的方程为，即；
综上直线l的方程为或．
19．解：（1）取AC中点O，连结OS、OB
∵，，∴，且
∵平面平面ABC，
∴，
如图建立空间直角坐标系O-xyz：
则，，，，，
∴，，∵，∴
（2）由（1）得，
设为平面CMN的一个法向量，则，取
则，，∴
又为平面ABC的一个法向量
∴∴
20．解：（1）设点，则，即，解得或，
因此，点P的坐标为（0，0）或．
（2）由圆的切线的几何性质可知，
设点，则，
圆N的圆心为，半径为，
故圆N的方程为，即，
解方程组，解得或，
因此，圆N过定点、．
21．解：（1）由已知得，又由，
可得，，得椭圆方程为，
因为点M在第一象限且轴，可得M的坐标为，
由，解得，所以椭圆方程为；
（2）设，，将代入椭圆，可得，
由，即，可得，①
则有，
所以，
因为直线与轴交点的坐标为，
所以的面积，
令，由①知，可得，
所以时，面积最大为．
22．（1）由题意知，，，因为，所以点在圆内，
如图所示，由题意知，，所以，
所以动点G的轨迹为：以、焦点且长轴长为4的椭圆．
即：，，所以，，
所以动点G的轨迹C的方程为．
（2）Ⅰ由题意知，直线AM与直线AN的斜率存在且不为0，
设，，，则
∵M、N在椭圆上，∴，即，
∴，
即：直线AM与直线AN的斜率的乘积为．
Ⅱ设直线AM方程为，
由Ⅰ知，，所以，则直线AN方程为，
联立，
因为A、M在轨迹C上，所以，即：，所以，
所以，
联立，
因为A、P在圆上，所以，即：，所以，
同理：，，
所以，
所以，即为定值．

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