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高中 数学
256 个秒杀公式
1.集合、命题、不等式
2.函数及导数
3.数列
4.三角函数
5.平面向量
6.立体几何
7.解析几何
8.概率统计
9.极参方程
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第 1 章 集合、命题、不等式、复数
1、有限集合子集个数：子集个数： 2n个，真子集个数： 2n 1个；
2、集合里面重要结论：
① A B A A B； ② A B A B A；
③ A B A B ; ④ A B A B
3、同时满足求交集，分类讨论求并集
4、集合元素个数公式： n(A B) n(A) n(B) n(A B)
5、常见的数集：Z：整数集；R：实数集；Q：有理数集；
N ：自然数集；C：复数集；
其中正整数集： Z N 1, 2,3,
6、均值不等式：若 a ,b 0时，则 a b 2 ab;若 a ,b 0时，则
a b 2 ab;
7、均值不等式变形形式：a2 b2 2ab(a,b R)； b a 2(ab 0)；
a b
b a
2(ab 0)
a b
8、积定和最小：若 ab p时，则a b 2 ab 2 p
2 2
9、和定积最大：若a b k时，则 ab (a b) k
4 4
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2
10、基本不等式： 2 ab a b a b
2
1 1
2 2
a b
11、一元二次不等式的解法：大于取两边，小于取中间
12、含参数一元二次不等式讨论步骤：(1)二次项系数a；(2)判
别式 ；(3)两根 x1, x2大小比较
13、一元二次不等式恒成立：(1)若 a 0ax2 bx c 0恒成立
0
(2)若 a 0ax2 bx c 0恒成立
0
14、任意性问题：① x I ,a f (x) a f (x)max；②
x I ,a f (x) a f (x)min。
15、存在性问题：① x I ,a f (x) a f (x)min；② x I ,a f (x) a f (x)max。
16、距离型目标函数:d (x a)2 (y b)2 可行域内的点 (x, y)到定点
(a,b)的距离；
17、斜率型目标函数: k y b 可行域内的点 (x, y)到定点 (a,b)的斜率；
x a
18、线性型目标函数: z ax by过可行域内的点 (x, y)且斜率为 b 的
a
直线截距的b倍；
19、 p是q充分不必要条件： p q,q p；则集合关系是： p q
20、 p是q必要不充分条件： q p, p q；则集合关系是： q p
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21、 p是q既不充分也不必要条件： p q,q p；则集合关系是：
p,q无包含关系
22、 p是q充要条件： p q,q p；则集合关系是： p q
23、全称命题及否定形式： P : x M , p(x); P : x0 M , p(x0);
24、特称命题及否定形式： P : x0 M , p(x0); P : x M , p(x);
25、命题否定形式的书写方法：任意变存在，存在变任意，条
件不变，结论否定
26、共轭复数： z a bi：(实部相同，虚部相反)，共轭复数的性
质： z z a2 b2
27、复数模长： z a bi a2 b2
28、复数的除法： z1 z1 z 2
z z z (分子、分母同乘分母的共轭复数)2 2 2
第 2 章 函数及导数
29、几个近似值： 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 3.142,e 2.718
30、指数公式
n a n为偶数
(1)am m an (2) n an
a n为奇数
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31、对数公式
(1).a x N x loga N； (7). loga a 1
(2). a log a N N (8). loga1 0
(3). loga (MN) logaM loga N； ( 9 ) . lo g b n
n
m lo ga m a
b
(4). log (M l o g ba ) c log a M log N (1 0 ) . lo g a b N a l o g c a
(5). log M n n log M ( 1 1 ) . l o g a b
1

a a l o g b a
(6). log a an n (12).log a b logb c log c a 1
32、函数定义域的求法
(1).分式的分母 0；
(2).偶次方根的被开方数 0；
(3).对数函数的真数 0；
(4).0 次幂的底数 0；
(5).正切函数的自变量 k ；
2
(6).满足几个条件时列不等式组的求交集；
33、增函数的标志：①任意 x1 x2 f (x1 ) f (x2 )；②导函数 f (x) 0；③
f (x1 ) f (x2 ) 0；
x1 x2
34、减函数的标志：①任意 x1 x2 f (x1 ) f (x2 )；②导函数 f (x) 0：③
f (x1 ) f (x2 ) 0
x1 x2
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35、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减
→减；减—增→减；③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，
单调改变：
36、奇偶性的快速法：①.奇 奇→奇；偶 偶→偶；
②.奇 ( )奇→偶；偶 ( )偶→偶；奇 ( )偶
→奇；
37、常见的奇函数： y kx, y k , y sin x, y tan x, y x奇数
x
38、常见的偶函数： y C, y x2 , y cos x, y x偶数 , y ex e x
39、函数的周期性： x D f (x T) f (x)，则称 f (x)为周期函数，
其中T为函数的一个周期。
40、周期性标志：①. f (x a) f (x b) T a b；
②. f (x a) f (x) T 2a；
③. f (x a) 1 T 2a
f (x)
41、奇函数的周期是对称轴的 4 倍：以 y sin x为例；
42、偶函数的周期是对称轴的 2 倍：以 y cos x为例；
43、函数图像平移规则：横加左减右，纵加上减下；
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44、函数图像翻折变换： f ( x )：偶函数，右不变，右翻左； f (x)：
上不变，下翻上；
45、函数图像伸缩变换： f (wx)：纵不变，横为原来的 1 倍； Af (x)：
w
横不变，纵为原来的 A倍；
46、解与零点的关系：方程 f (x) 0的解 函数 y f (x)的零点；
47、零点与交点的关系：函数 y f (x) g(x)的零点个数
方程 f (x) g(x) 0的解的个数；
方程 f (x) g(x)的解的个数；
函数 y1 f (x), y2 g(x)图像交点的个数；
注意：两个函数 y1 f (x), y2 g(x)图象可画，两函数为常见函数。
48、常函数的导数： f (x) C，则 f (x) 0；
49、幂函数的导数： f (x) x ，则 f (x) x 1；
50、正弦函数的导数： f (x) sin x，则 f (x) cos x；
51、余弦函数的导数： f (x) cos x，则 f (x) sin x；
52、指数函数的导数： f (x) a x，则 f (x) a x ln a；（特别地： f (x) e x，
则 f (x) e x）
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53、对数函数的导数： f (x) loga x，则 f (x) 1 ；（特别地：x ln a
f (x) ln x，则 f (x) 1 ）
x
54、和差求导数法则: ( f (x) g(x)) f (x) g (x)
55、乘法求导数法则:[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g (x)

56、商的求导数法则： f (x) f (x)g(x) f (x)g (x)
g(x)

g
2(x)
57、复合函数求导法则：若 y f [g(x)]，令 t g(x)，则
y f (t) y f (t)t f [g(x)]g (x)
58、切线 l的方程： y y0 f (x0 )(x x0 )，其中切点： P(x0 , y0 )；斜率：
k f (x0 )
59、切点的三大性质：(1).切线的斜率等于该点的导函数值；即
k f (x0 )
(2).切点在曲线 y f (x)上；
(3).切点在切线 l上
60、常见的不定积分表
函数名 被积函数 原函数
常函数 f (x) c F (x) cx C
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幂函数 f (x) x ( 1) F (x)
1
x 1 C
1
反比例函数 f (x) 1 x F (x) ln x C
正弦函数 f (x) sin x F (x) cos x C
余弦函数 f (x) cos x F (x) sin x C
61、积分的性质
(1). kf (x)dx k f (x)dx；
(2). f [(x) g(x)}dx f (x)dx g(x)dx
62、积分的几何意义：面积就是积分值。
定义在 a,b 上的函数 f (x)与 x轴， x a, x b, y f (x)构成曲边梯形的面
积就为 bf (x)在 a,b 的定积分值。 S f (x)dxa
63、牛顿-莱布尼茨公式： b f (x)dx F(x) ba F(b) F(a) .其作用：计算曲a
边梯形的面积。
64、不等式任意性： x D,a f (x) a f (x)max； x D,a f (x) a f (x)min
65、不等式存在性： x D,a f (x) a f (x)min； x D,a f (x) a f (x)max
66、不等式相同性：任意 x D，证明：
f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) 0 h(x)min 0
存在 x D，证明：
f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) 0 h(x)min 0
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67、不等式相异性：任意 x1, x2 D，证明：
f (x1) g(x2 ) x D, f (x)max g(x)min
存在 x1, x2 D，证明：
f (x1) g(x2 ) x D, f (x)max g(x)min
68、函数有零点 f (x) 0 min
f (x)max 0
69、函数无零点 f (x)max 0 或 f (x)min 0
70、抽象函数对数型：若 f (xy) f (x) f ( y)，则 f (x) loga x；
71、抽象函数指数型：若 f (x y) f (x) f ( y)，则 f (x) ax；
72、抽象函数正比型：若 f (x y) f (x) f ( y)，则 f (x) kx；
73、抽象函数一次型：若 f (x) c，则 f (x) cx b；
74、抽象函数导数型：若 f (x) f (x)，则 f (x) ke x或 f (x) 0 ;
75、指数不等式：ex x 1(当且仅当x 0时“ ”成立)
76、对数不等式： ln x x 1(当且仅当x 0时“ ”成立)
x
77、指对综合不等式： e x 1 ln(x 1) x e x 1(当且仅当x 0时“ ”成立)
ln x x 1
78．绝对值不等式： a b a b a b；
79、函数绝对值不等式： f (x1) f (x2 ) a f (x)max f (x)min a
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*80、柯西不等式：①.向量模型： a b a b ； ②.数字模型：
x 21 y
2 2 2
1 x2 y2 x1x2 y1y2
n n
*81、伯努利不等式： (1 x) x nx n 1
(1 x)n 1 nx 0 n 1
*82、洛必达法则： f (x) lim g(x) lim
f (x) (当 f (x) 0 或 时使用)
x a x a g (x) g(x) 0
83、恒成立问题： (1)a f (x) a f (x)max
(2)a f (x) a f (x)min
84、证明 f (x) g (x)思路：思路 1： (1)h(x) f (x) g (x) h(x) 0（常规首
选方法） 思路 2： f (x)min g(x)max（思路 1 无法完成）
第 3 章 数列
85、等差数列通项公式：an a1 (n 1)d kn b(一次函数模型)
86、等差数列通项公式： S n(a1 an ) na n(n 1)n 1 d An2 Bn (二次函数2 2
模型)
87、等比数列通项公式： a a qn 1n 1
n
88、等比数列通项公式： S a1(1 q ) a1 anq A Aqnn 1 q 1 q
89、等差数列的性质：若m n p q，则 am an ap aq
90、等比数列的性质：若m n p q，则 aman apaq
91、等差中项：若 a, A,b成等差数列，则2A a b
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92、等比中项：若 a,G ,b成等比数列，则G 2 ab
93、裂项相消法 1：若 1 1 1 ，则有T 1 1 n
n(n 1) n n 1 n n 1 n 1
94、裂项相消法 2：若 1 1 1 1 ，则有T 1 (1 1 1 1 )
n(n 2) 2 n n 2
n
2 2 n 1 n 2
95、裂项相消法 3：若 1 1 1 1 1 1 1 ，则有T ( )
an 1an d
n
an an 1 d a1 an 1
96、裂项相消法 4：若 1 1 1 1 ，则有T 1 1 (1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
n
2 2n 1
97、分组求和法：
S (1 1n ) (3
1 1
) (5 ) [(2n 1) 1 ] 1 1 1 n (1 3 2n 1) ( )2 4 8 2 2 4 2n
*98、错位相减法求和通式：T a b 1 1 dq(b1 bn ) a nbnqn 1 q (1 q)2 1 q
99、自然数的平方和： 2 n(n 1)(2n 1)1 22 32 n2
6
2 2
100、自然数的立方和： 13 23 33 n (n 1) n3
4
101、去 留 思想： Sn f (an )S n an Sn f (a n) a f (aS f (a n 1 n 1) f (an ) n 1 n 1)
102、去 an留 S n思想： an f (S n ) an 1 Sn 1 Sn S n 1 S n f (S n )
第 4 章 三角函数
103、三角函数的定义：正弦：sin y ；余弦：cos x ；正切：
r r
tan y ；其中：r x2 y2
x
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104、诱导公式： 倍加减名不变，符号只需看象限；半 加减
名要变，符号还是看象限。
105、和差公式：① sin( ) sin cos cos sin （伞科科伞，符号不
反）
② cos( ) cos cos sin sin （科科伞伞，符号相反）
③ tan( ) tan tan （上同下相反）
1 tan tan
106、二倍角公式：①sin2 2sin cos
② cos 2 cos2 sin 2 1 2 sin 2 2 cos2 1
③ tan 2 2 tan
1 tan 2
107、平方关系：①.sin2 cos2 1 ②. (sin cos )2 1 sin 2
108、齐次式求值：①. sin 2 cos tan 2
3sin cos 3 tan 1
②.sin cos sin cos tan
sin 2 cos2 tan 2 1
109、辅助角公式: a sin wx b coswx a2 b2 sin(wx b ).(tan ,a,b 0)
a
110、三角函数不等式：sin x x tan x，当 x (0, )时恒成立;
2
111、 y sin x单调性：增区间： 2k , 2k ,

；减区间： 2 2

2k ,
3
2k ,
2 2
112、 y cos x单调性：增区间： 2k , 2k , ；减区间： 2k , 2k ,
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113、 y tan x单调性：增区间： k , k 2 2
114、对称轴方程：(1) y sin x对称轴方程： x k ；(2) y cos x对
2
称轴方程： x k
115、对称中心：(1) y sin x对称中心 k , 0 ；(2) y cos x对称中心

k , 0

2
；

(3) y tan x对称中心 k , 0 ；
2
116、周期性：(1) y sin x的周期T 2 ；(2) y cos x的周期T 2 ；
w w
(3) y tan x的周期T ；
w
117、正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sinC
2 2
118、余弦定理：① cos A b c a
2
a2 b2 c2 2bccos A
2bc
②cosB a
2 c2 b2
b2 a2 c2 2accosB
2ac
2 2 2
③cosC a b c c2 a2 b2 2abcosC
2ab
119、边大角大思想：大角对大边，大边对大角。
a b sin A sinB A B
120、边变角思想：(1)、公式： a 2Rsin A；b 2Rsin B；c 2RsinC
(2)、“=”两边为边、角(正弦)同次式；
(3)、正余弦的混合组；
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121、角变边思想：(1)公式： sin A a ； sin A a ； sin A a
2R 2R 2R
(2) “=”两边为边角(正弦)同次式;
(3)只有一个余弦( cos )
122、正弦定理使用情况：已知条件为：AAS、ASA、边角同次
式、角多用正弦
123、余弦定理使用情况：已知条件为：SSS、SAS、边的二次
式、边多用余弦
124、三角形两角和关系：
sin(A B) sinC ; cos(A B) cosC ; tan(A B) tanC.
125、正弦值双相等：若sin A sinB A B 等腰三角形；
126、正余弦值相等： sin A cos B A B 直角三角形；
2
A B A B 钝角三
2 2 2
角形；
127、余弦值双相等：cos A cosB A B 等腰三角形；
128、二倍正弦值相等：sin2A sin2B 2A 2B 等腰三角形；；
2A 2B A B 直角
2
三角形；
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129、余弦值正负号：cosA 0 锐角三角形；cosA 0 直角三角形；
cos A 0 钝角三角形；
130、三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时，另外
两边或两角相等时周长取得最小值，面积取得最大值；
第 5 章 平面向量
131、向量加法的作图：上终下起，中间消去； AB BC AC
132、向量减法的作图：起点相同，倒回来读； C C

133、向量平行的判定：(1)向量法:a / /b b= a ; (2)坐标法:

a / /b x1y2 x2y1 0

134、向量垂直的判定：(1)向量法: a b a b 0; (2)坐标法:
a

b x1x2 y1y2 0
135、向量的数量积公式：(1)向量法: a b a b cos ; (2)坐标法:
a

b=x1x2 y1y2
136、向量的模长公式：(1)向量法: a 2b (a 2b)2 （先平方，再
根号）；
(2)坐标法: a x 2 y 21 1
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137、向量的投影公式：(1) 在 a 方向的投影： a

b cos
a b ；
b
(2)b在a方向的投影： b cos a b ；
a

138、向量的夹角公式：(1)向量法: cos = a b ; (2)坐标法:a b
cos = x1x2 y1y2
x 2 2 21 y1 x2 y
2
2

139、a 方向上的单位向量: (1)向量法: e a ; (2)坐标法:a
a x y e = 1 , 1 a 2 2 2 2 x1 y1 x1 y1
140、证明 A、B、C 三点共线两种方法：(1)两个向量 AB, AC共
线且有一个公共点 A；(2) PA xPB yPC(x y 1)
第 6 章 立体几何
141、线线平行三方法：
①、线面平行的性质：一条直线和一个平面平行，过这条直线
的平面和已知平面相交的交线和已知直线平行；
②、面面平行的性质：第三个平面与两个平行平面相交，则两
条交线平行；
②、线面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行；
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142、线线垂直两方法：线面垂直的性质：一条直线垂直一个平
面，这条直线垂直这个平面内的所有直线。
143、线面平行两方法：①、线面平行的判定：线线平行 线面
平行（一内一外一平行）
②、面面平行的性质：两个平面平行，
一个平面内任意直线平行第二个平面
144、面面平行两方法：①、面面平行的判定：线面平行 面面
平行（两内一交两平行）
②、面面平行的推论：两个平面内两
组相交直线分别对应平行，则这两个平面平行
145、线面垂直两方法：①、线面垂直的判定：线线垂直 线面
平行（两内一交两垂直）
②、面面垂直的性质：两个平面垂直，
一个平面内垂直于交线的直线必垂直第二个平面
146、面面垂直一方法：①、面面垂直的定义：两个平面的二面
角为90
②、面面垂直的判定：线面垂直 线
面平行（一内一垂直）
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147、证明四点共面三方法：①两平行条线确定一个平面；
②两条相交直线确定一个平面；
③直线及直线外一点确定一个平面；
148、证明三点共线原理：两个平面有一个公共点，那么两个平
面有且仅有一条过该点的直线。
149、证明三点共线方法：① A 分别属于两个平面 , ：
A ,A
②B,C 在平面 , 的交线 l上： l,B,C l
③ A l即： A,B,C l
即 A,B,C 三点共线；
150、法向量行列式公式： y1 zm 1 x z x y a b , 1 1 , 1 1 .其中 ad bc
y2 z2 x2 z2 x2 y2 c d

151、线线角向量法公式： a bcos ；其中 0,
a b 2

152、线面角：(1)向量法公式： a msin ；(2)几何法公式：
a m

sin h x ；其中 0,
a 2

153、二面角：(1)向量法公式： m ncos ；(2)几何法公式：
m n
S
cos 射影 ；其中
S 0, 原图
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154、点面距：(1)向量法公式： m ABhx ；(2)几何法公式：
m
h S1h1x S2
155、不定点设法：(1)P 在线段 AB 上： AP t AB(t 0,1 )
(2)P 在直线 AB 上： AP t AB(t R)
156、多面体的内切球半径： r 3V 3V
S表 S1 S2 Sn
157、长方体的外接球半径： 2R a2 b2 c2
R2 r 2 (h )
2
158、直棱锥的外接球半径： 2
2r a
sin A
R2 r 2 (h R)2
159、正棱锥的外接球半径： 2r a sin A
160、正三角形的性质：高： h 3 a，面积： S 3 a2
2 4
161、正三角形与圆：内切圆半径： r 3 a，外接圆半径： R 3 a，
6 3
且 R 2
r 1
162、正四面体的高：斜高： h 3 a，正高： h 6 a
斜 2 正 3
163、正四面体与球：内切球半径 r，外接圆半径R，且 R 3 且
r 1
r R h正
第 7 章 解析几何
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164、圆的定义:若 PA PB，则 P的轨迹为以 AB为直径的圆
165、椭圆的定义:若 PF1 PF2 2a(2a F1F2 ) ,则 P的轨迹为以 F1F2为焦
点, 2a为长轴的椭圆
166、双曲线的定义: 若 PF1 PF2 2a(2a F1F2 ) ,则 P的轨迹为以 F1F2为焦
点, 2a为实轴的双曲线
167、抛物线的定义：到定点 F ( p , 0)和到定直线： x p 的距离相
2 2
等的点 P的轨迹为抛物线
168、直线的纵斜截式方程： y kx b；直线过 y轴上点为 B(0,b)且不
竖直于 x轴
169、直线的横斜截式方程： x my a；直线过 x轴上点为 A(a, 0)且
不平行于 x轴
170、直线平行： l1 // l2 k1 k2 (b1 b2 )；或 A1B2 A2B1 0
171、直线垂直： l1 l2 k1k2 1；或 A1A2 B1B2 0
172、点点距公式： AB (x x )22 1 (y2 y1)2
173、点线距公式： Ax0 By0 Cd
A2 B 2
174、线线距公式： C1 Cd 2
A2 B2
175、直线方程：（1）斜截式： y kx b； （2）点斜式：
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y y0 k(x x0)；
（3）截距式： x y 1； （4）一般式；
a b
Ax By C 0；
176、平行直线系： Ax By 0( C)；( A,B相同，C不相同)
177、垂直直线系： Bx Ay 0；( A,B互换，符号变反)
178、交点直线系方程： A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0
179、直线一般式与斜截式的互换： k A C ,b
B B
180、直线的斜率公式： k tan ， k y2 y 1
x2 x1
181、斜率取值范围确定：过定点，作垂线；有交点，两 k外；
无交点，两k间；
182、圆与圆的位置关系
相离： d R r 外切： d R r 相交：
R r d R r
内切： d R r 内含：0 d R r
2 2
183、点差法的斜率公式： k b x 0 , k b x 0 , k p椭 a2 y 双 a2 y 抛0 0 y0
184、通用弦长公式： l 1 k2 (x x )2 4x 1 21 2 1x2 , l (1 2 )[ y1 yk 2 4y1y2 ]
185、圆的弦长公式： l 2 r2 d 2
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*186、焦半径公式（带坐标）：
(1)椭圆中： MF a ex0 ,；(2)双曲线： MF ex0 a, (3)抛物线：
MF x p 0 2
*187、焦半径公式（倾斜角）：
2 2
(1)椭圆中： ba(1 e cos )；(2)双曲线：
b
a(1 e cos )；(3)抛物线：
p
1 cos
*188、焦点弦公式（倾斜角）：
2 2
(1)椭圆中： 2b 2ba(1 e2 cos2 )；(2)双曲线： a(1 e2 cos2 )；(3)抛物线：
2p
sin2
2
189、抛物线的焦点弦长： l x x 2k 21 2 p 2 p
2p

k sin2
190、特殊弦长公式：(1)圆的弦长公式： l 2 r 2 d 2 ；(2)抛物线焦
点弦长： l x1 x2 p
2b2 2b2
*191、焦点弦：(1)椭圆中： a(1 e2 cos2 )；(2)双曲线： a(1 e2 cos2 )；
(3)抛物线： 2 p
sin 2
192、焦点三角形面积：(1)椭圆中： S 2 F MF b tan ；(2)双曲线：1 2 2
S 2 F1MF b cot2 2
(3)通用面积： S 1 F MF d d sin 1 2 2 1 2
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193、双曲线的渐近线方程： y b x
a
194、双曲线的焦渐距为：b (虚半轴)
2
195、椭圆的离心率公式： e c b 1
a a2
2
196、双曲线的离心率公式： e c 1 b 1 k 2
a a2 渐
*197、圆锥曲线的离心率公式： 1ecos
1
2
198、椭圆、双曲线通径公式： PQ 2b
a
199、抛物线的通径公式： PQ 2p
200、抛物线焦点弦圆：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相
切；
201、抛物线焦点弦性质： 1 1 2 ,
AF BF p
202、抛物线焦点直线的韦达定理：
p2 k 2x 2 2p1x2 , x1 x2 2 p, y1y2 p
2 , y1 y 4 k 2 k
203、解析几何中的向量问题： OA OB x1x2 y1y2 ,OA OB (x1 x2 , y1 y2 )
204、向量与夹角问题：(1) AOB钝角 OA OB 0 ;
锐角 (2) AOB OA OB 0 ;
(3) AOB直角（

OA OB） OA OB 0
25、向量与圆的问题： P与以 AB为直径的圆的位置关系：
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(1) 在圆内： 钝角 P APB PA PB 0 ;
(2) P在圆上： APB直角 PA PB 0 ;
(3) 在圆外： 锐角 P APB PA PB 0 ;
206、坐标轴平分角问题： k1 k2 k1 k2 0
207、定点与定值问题：特殊位置，锁定答案；设而不求，再作
验证；
208、均值思想：当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量
的最值，当这两个正数变量相等时，则所求变量取得最值；
第 8 章 概率统计
209、频方图的频率 =小矩形面积： f S y d ni ii i ；频率=频数/N
总数
210、频方图的频率之和： f1 f2 fn 1；同时 S1 S2 Sn 1；
211、频方图的众数：最高小矩形底边的中点。
212、频方图的平均数： x x 1 f中 1 x 2 f2 x 3 f3 x f中 中 中n n
x x 1S1 x 2S2 x 3S3 x nS中 中 中 中 n
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213、频方图的中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于
0.5 时 x的值。
214、频方图的方差： s2 (x x)2 f (x x)2 f (x x)2
中1 1 f中2 2 中n n
215、古典概型公式： P(A) n A
n
216、几何概型公式： P(A) lA S V A A A
l S V
217、几何概型中面积问题：积分问题、双变量问题、线性规划
问题
218、常见的排列问题：任职问题、数字问题、排队照相问题、
逐个抽取问题
219、排列公式： Amn n(n 1) (n m 1)
220、常见的组合问题：产品抽查问题、一次性抽取问题
221、组合公式：C m n(n 1) (n m 1)n m(m 1) 3 2 1
222、常见排列组合顺口溜：
特殊元素先考虑，特殊位置先安排；
先选后排应切记，正难则反间接法；
相邻问题捆绑法，相隔问题插孔法；
定序问题除阶乘；平均分组除阶乘；
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223、均值公式：E(X ) x1p1 x2p2 xn pn
224、方差公式： D (X ) [x1 E (x)]2 p1 [x2 E (x)]2 p2 [xn E (x)]2 pn
225、任意事件概率公式： P(A B) P(A) P(B) P(A B)
226、互斥事件概率公式： P(A B) P(A) P(B)
227、对立事件概率公式： P(A) 1 P(A) (题目含有“至多、至少等
关键词”)
228、条件概率公式： P(B A) P(AB) n AB
P(A) nA
229、独立事件概率公式： P(AB) P(A)P(B)
230、独立事件的性质：若 A与B独立，则 A与B、 A与B、 A与B也
独立
231、独立事件至少有一个发生概率公式： P(A B) 1 P(AB)
k n k
232、超几何分布的概率公式：P(x k) C MCN M
CnN
233、超几何分布的均值公式： E(X ) n M
N
234、无放回抽取：①一次性抽取 超几何分布；②逐一抽取
独立事件
235、有放过抽取：等可能性 二项分布
236、二项分布的概率公式： P(x k) C k pk (1 p)n kn
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237、二项分布的性质：有限性、等可能性、独立性
238、二项分布的均值与方差： E (X ) np；方差：D(X ) np(1 p)。
239、二项式定理展开式：
(ax b)n Con (ax)
n C1n (ax)
n 1b Ckn (ax)
n kbk Cnnb
n
240、两个系数： 其中 (ax b) n展开式中第 r 1项为：
T Cr (ax)n r r r n r r n rr 1 n b Cna b x 。
(1)、二项式系数：C rn (2)、项的系数：Cr n r rna b
241、所有二项式系数为 2n：C0 1 2 n nn Cn Cn Cn 2
242、所有奇数项、偶数项二项式系数为2n 1：
C0 C2n n C
4
n 2
n 1;C1n C
3 C5n n 2
n 1;
243、展开式系数：设 (ax b)n a a x a x2 a x30 1 2 3 anxn的展开式中
(1)各项系数和：令 x 1时，a a a (a b)n0 1 n ①
(2)奇偶项系数和：令 x 1时，a0 a1 a2 a3 ( a b)n ② (将①、
②相加减即可得到)
第 9 章 极参方程
2 2 y
244、极坐标方程与直角方程互换： x y , tan x
x cos , y sin , x
2 y2 2
245、极坐标点M ( , )的意义： OM , xOM
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246、过原点且倾斜角 的直线极坐标方程： ( R)
247、过原点且倾斜角 的射线极坐标方程： 或 ( 0)
248、极坐标方程为 ( R)的直线上两点的距离公式：
AB 1 2 , OA 1, OB 2
249、圆的参数方程： x a r cos （ 为参数）
y b r sin
250、直线的参数方程： x a t cos （ t为参数）
y b t sin
251、椭圆的参数方程： x acos （ 为参数）
y bsin
252、参数方程的意义： x f ( ) （ 为参数）上的任意点P的坐标
y g( )
可表示成：P( f ( ), g( ))
253、直线参数 t的意义 1: PA t1 , PB t2
254、直线参数 t的意义 2: PA PB t1t2
255、直线参数 t的意义 3: AB t1 t 22 (t1 t2 ) 4t1t2
256、直线参数 t的意义 4: tPA PB t t 1 t2 t1、t2同号1 2
t1 t2 t1、t2异号
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