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高考数学必背公式整理
(衡水中学高三数学学科组)
一、集合
1.元素a 属于(不属于)集合A 记为a ∈A(a A).
2.AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC).
3.A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C).
4.若Vx∈A 有 x ∈B, 则有ACB(或 B≥A).
5.若A∈B,3x∈B, 且xA, 则有AGB,
6.ASB.BCA=A=R
7.空集是任何集合的子集，即OA(A 为任意集合);空集是任意非空 集合的真子集.
8.含有n个元素的集合有2"个子集，有2”-1个真子集，有2"-2个 非空真子集.
9.A∩B={x|x ∈A, 且x ∈B}.
10.AUB={x|x ∈A, 或 x ∈B}.
11.AUA=A,AUO=A;A∩A=A,A∩O=0.
12.AUB=A B∈A,A∩B=A AB.
13.CA={x|x ∈U, 且 x A}.
14.C(A∩B)=(CA)U(C B);
C(AUB)=(CA)∩(C B).
二、数列
1.数列的通项公式与前n 项和的关系
(n≥=21)),.
2.等差数列
(1)定义：a+i-a =d(n∈N”,d 为常数).
(2)通项公式：a =a +(n-1)d.
(3)等差中项：a,A,b 成等差数列 2A=或A= (4)性质：m+n=k+l→am+an=ax+a (m,n,k,l∈N*).
3.等比数列
(1)定义：非零常数).
(2)通项公式：a=a q-l.
(3)等比中项：a,G,b成等比数列 G =ab.
(4)性质：m+n=k+l→aa=a a (m,n,k,l∈N*).
(
5)前
n
项
)( q (q)1 .
4.常用求和公式
三、基 本 初 等 函 数
1.指数
(1)根式
dāy=aoeN·且D>D;/F-1a 于 (于)01的 (的)偶 (奇)),
(2)分数指数幂
正分数指数幂：a = √a”(a>0,m,n∈N^, 且n>1);
负分数指数1,m∈N*,且n>1).
(3)有理数指数幂的运算性质
a'a =a+(a>0,r,s∈Q);
(a') =a*(a>0,r,s∈Q);
(ab)'=a'b'(a>0,b>0,r∈Q).
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂a(a>0,
α是无理数).
2.对数
(1)基本性质
①负数和零没有对数；
②loga=1,log,1=0(a>0,a≠1).
(2)常用对数logwN 记为lgN; 自然对数log.N 记为InN. (3)运算性质
设M>0,N>0,a>0,a≠1, 则有
①log。(M·N)=log。M+log,N;
③log。M"=nlog,M(n∈R).
(4)公式
对数恒等式：a^=N(N>0,a>0, 且a≠1).
换底公5且a≠lk>0,且c≠1,b>0)。
特别地：a≠1,b≠1).
四 、三 角 函 数
1.角度和弧度的换算
2.弧度制下扇形的弧长和面积公式
(1)弧长公式：l=la|r;
(2)扇形面积公：
其中，l 为弧长，r 为圆的半径，a 为圆心角的弧度数.
3.同角三角函数的基本关系
平方关系：sin a+cos a=1.
4.三角函数的诱导公式 sin(k·360°+a)=sina cos(k·360°+a)=cosa tan(k·360°+a)=tana sin(90°±a)=cosa cos(90°±a)= 干sina tan(90°±a)= 干cota sin(一a)=—sina cos(一a)=cosa tan ( 一a)=—tana sin(180°±a)= 干sina cos(180°±a)=-cosa tan(180°±a)=±tana
五、三 角 恒 等 变 换
1.两角和与差的三角函数、倍角公式
(1)两角和与差的三角函数
sin(n+B)=singcosβ±cosasinβ
cos(a±β)=cosacosβ 干sinasing
(2)倍角公式
sin2a=2sinacosa
cos2a=cos a-sin a=2cos a-1=1-2sin a
2.积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
2sinacosβ=sin(a+β)+sin(a—β)
2cosasing=sin(a+β)-sin(a-β)
2cosacosβ=cos(a+β)+cos(a-β)
2sinasinβ=cos(a-β)-cos(a+β)
(2)和差化积公式
3.半角公式
cos ≌=±√
4.辅助角公式
(
其中φ满足
)asina+bcosa=√a +b^sin(a+g)(ab≠0),
六、解三角形
1.正弦定理
=2R(R 为△ABC外接圆的半径)
2.余弦定理
a =b +c -2bccosA;
b =c +a -2cacosB;
c =a +b -2abcosC.
推论：cc
3.三角形面积公式
三角a,b,c 所对的边).
3 (r 为三角形内切圆半径).
七、不等式
1.不等式的性质
(1)a>b=bb,b>c→a>c;
(3)a>b→a+c>b+c; (4)a+b>c→a>c-b;
(5)a>b,c>d→a+c>b+d; (6)a>b,c>0→ac>bc;
(7)a>b>0,c>d>0→ac>bd;(8)a>b>0→a >b” (n∈N,n≥2);
(9)a>b>0→Va>Vb(n∈N,n≥2).
2.不等式及其解法
(1)一元二次不等式及其解法
△=b -4ac △>0 △=0 △<0
ax +bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xxz} (x ax +bx+c<0 (a>0)的解集 {x|xi(2)一元高次不等式的解法
一元高次不等式(x-x ) (x-x )…(x-x )>0(<0) ( 其中x
(3)分式不等式的解法
(4)绝对值不等式的解法
lf(x)||f(x)|>g(x)=f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x).
③|f(x)|>|g(x)|=[f(x)] >[g(x)].
④形如|x-a|+|x-b|(1)a +b ≥2ab. 其 中a,b∈R, 当且仅当a=b 时等号成立. (2)基本不等式：
其中a;b>0, 当且仅当a=b 时等号成立.
其中，a,b>0, 当且仅当a=b 时等号成立.
(4)4ab≤(a+b) ≤2(a +b ).
其中，a,b∈R, 当且仅当a=b 时等号成立.
(5)a +b b+bc+ca.
“ 其中，a,b,c∈R, 当且仅当a=b=c 时等号成立.
(6) =2,当且仅当|a|=|b| 时等号成立.
4.利用基本不等式求最值
已知x,y>0, 则
(1)若x+y=s (和为定值),则当x=y 时，积xy 取得最大值
(2)若xy=p (积为定值),则当x=y 时，和x+y 取得最小值2 √p
(x+y≥2 √xy=2√p).
八、立体几何
1.空间几何体的侧面积公式
(1)S 正棱柱制=Ch
(3)S =2π (4)S圆锥侧=πrl
(5)Sm台m=π(r+r')l
2.空间几何体的表面积公式
(1)S 圆柱=2πr(r+l) (2)S 圆锥=πr(r+l)
(3)S圆台=π(r' +r +r'l+rl) (4)S=4πR
3.空间几何体的体积公式
(1)V柱体= Sh
(3) √SS+S')h (4)Vm 生=πt h
4.平面的基本性质
公理1 :A∈l,B∈l, 且 A∈a,B∈a→lCa.
公理2;A,B,C∈a,A,B,C∈β,且A,B,C 三点不共线→ α与β重合. 公理3:P∈a, 且P∈β→a∩β=l, 且 P∈l.
5.空间两直线平行的判定
6.空间两直线垂直的判定
(3)三垂线定理及其逆定理
7.空间两直线异面的判定方法
(1)反证法；
(2)平面外一点与平面内一点的连线，与平面内不过该点的直线是 异面直线.
8.直线与平面平行的判定
9.直线与平面平行的性质
10.平面与平面平行的判定
11.平面与平面平行的性质
12.直线与平面垂直的判定
13.直线与平面垂直的性质
(
14.平面与平面垂直的判定
(2)二面角的平面角θ=90°
15.平面与平面垂直的性质
九、直线、圆与方程
1.直线与方程
(1)直线方程
①点斜式：y-yo=k(x-x );
②斜截式：y=kx+b;
⑤一般式：Ax+By+C=0( A,B 不同时为0).
(2)直线的斜率公式
经过两点P (x ,y ),P (x ,yz)(x ≠x )的直线的斜率公式：k
(3)两条直线的位置关系
①l(y=k x+b ) 与l (y=k x+b ) 平行：k =k 且 b ≠b ; ②l (y=k x+b ) 与l (y=k x+b ) 垂直：k k =-1;
③L(A x+B y+C =0) 与l(Ax+B y+C=0) 平行：
④l(A x+B y+C=0) 与l (A x+B y+C =0) 垂直：A A +
B B =0.
(4)距离公式
①两点P (x ,y ),P ( x ,y )间的距离：
|P P |=√(xz-x ) +(y -y ) . 特别地，原点O(0,0) 与
任意一点 P(x,y)的距离|OP |= √x +y .
②点P(zo,yo)到直线Ax+By+C=0 的距离：
③两平行直线l:Ax+By+C =0 和l :Ax+By+C =0 间的距离：
2.圆与方程
(1)圆与方程
①圆的标准方程：(x-a) +(y-b) =r , 圆心为(a,b),半径
为r.
②圆的一般方程：x +y +Dx+Ey+F=0, 其中D +E -4F >0,圆心 ),半径
(2)直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0, 圆C:(x-a) +(y-b) =r , 圆心到
直线的距
d>r 直线与圆相离；
d=r 直线与圆相切；
d(3)过圆上一点的切线方程
①与圆 x +y =r 相切于点(zo,yo)的切线方程：z x+ yoy
=r .
②与圆(x-a) +(y-b) =r 相切于点(x ,yo)的切线方程：
(z -a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r .
(4)圆与圆的位置关系
设两圆C:(x-a ) +(y-b ) =r+,C :(x-a ) +(y-b ) =
r2,圆心距d=√(a -a ) +(b -b ) , 则
|d|>r+ r 两圆相离；
|d|=r+r 两圆外切；
n-rz|<|d||d|=|rn-rz| 两圆内切；
|d|<|r -rz| 两圆内含.
(5)直线被圆所截弦的问题
设直线与圆相交于两点A(x ,y ),B(x ,yz), 则弦AB 的长：
① |AB| = √ 1+k |x -x | =
√(1+k )[(x +x ) -4x x ](k 为直线 AB 的斜
率).
②|AB| =2 √F-d (d 为弦心距，r为圆的半径).
3.空间直角坐标系
(1)空间两点间的距离公式
①空间中的任意一点 P(x,y,z)与原点的距离：
|OP|=√x +y +z.
②空间中任意两点P (xj,y ,z ),P (x ,Yz,za )间的距离：
|P P |=√(x -x ) +(y -yz) +(x -xz) .
(2)空间线段的中点坐标
(
则线
段
)在空间直角坐标系中，若A(x ,y ,z ),B(xz,y ,zz),
AB 的中点坐标是：
十、圆锥曲线与方程
1.椭圆的标准方程及几何性质
焦点：(±c,0)或(0,±c)
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程：
焦点：(±c,0)或(0,±c)
渐近线：.
3.抛物线的标准方程及几何性质
标准方程：y =2px(p>0)
焦半径： |
准线方程：
4.直线截圆锥曲线的弦长
设弦AB的端点坐标为A(x ,y ),B(x ,y ), 直线AB的斜率为 k,则 |AB|=√(1+k)[(x +xz) -4zyx ].
十一、平 面 向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小、方向.
(2)向量的表示
字母表示：AB,a
坐标表示：a=(x ,y ).
(3)向量的模：向量的模即向量的大小，记作|a|.
若 a=(x ,y ), 则 |a|=√x{+yǐ.
(4)特殊的向量：
①零向量：a=0 |a|=0.
②单位向量：a 为单位向量 |a|=1.
③相等向量：长度相等且方向相同的向量.
设a=(xi,y ),b=(x ,y ), 则a=b=x =x ,y =yz.
2.向量的运算
(1)向量的加减法
几何运算：三角形法则或平行四边形法则.
坐标运算：设a=(x ,y ),b=(xz,yz),则
a±b=(x ±xz,y ±y ).
(2)实数与向量的积
定义：Aa是一个向量，满足λ>0时， λa 与a 同向；λ<0时， λa与a 反向；λ=0时，λa=0.|λa|=|a||a|.
坐标运算：Aa=λ(x ,yi)=(λx ,dy ).
(3)向量的数量积
定义：a·b=|a||b|cos0, 其中0是a 与b 的夹角，O≤Q≤π. 坐标运算：a·b=x x +y y .
3.重要公式
(1)平面向量基本定理：α=λ e +λge ,e ,e 不共线.
(2)距离公式：设A(x ,y ),B(xz,y ), 则AB=(x -x ,y -y),
|AB|=√(xz-x ) +(y -y ) .
(3)非零向量平行的充要条件：a//b a=λb z1yz-x yi=0. (4)非零向量垂直的充要条件：a⊥b a·b=0 x x +y y =0.
(5)夹角
十二、导数及其应用
1.几种常见函数的导数
(1)c′=0(c为常数) (2)(x")'=nx- (n∈Q, 且n≠0)
(3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx
(5)(e )'=e (6)(a )'=alna(a>0, 且a≠1)
2.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
3.复合函数的导数
若函数u=g(x) 在 x 处可导，y=f(u) 在u 处可导，则复合函数y= f[g(x)] 在x 处可导，且y' =y'·u
4.定积分的基本性质
十三、统计与概率
1.统计
(1)方差与标准差
(2)离散型随机变量的均值(或数字期望)与方差
①离散型随机变量的均值：
E(X)=x p +x p +…+x;P;+…+xp.
性质：E(aX+b)=aE(X)+b(a,b 是常数);
若X 服从两点分布，则 E(X)=p;
若 X 服从二项分布，即 X~B(n,p), 则 E(X)=np.
②离散型随机变量的方差：
i ·
性质：D(aX+b)=a D(X)(a,b 是常数);
若X 服从两点分布，则D(X)=p(1-p);
若X 服从二项分布，则 X～B(n,p), 则D(X)=np(1-
p).
2.概率
(1)概率的加法公式
如果事件A与事件B 互斥，则 P(AUB)=P(A)+P(B). 若事件A 与事件B 为对立事件，则P(A)=1-P(B).
(2)古典概型的概率公式
(3)几何概型的概率公式
构成事件A 的区域长度(面积或体积)
P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) · (4)条件概率
设 A,B 为两个事件，则 A发生的条件下B 发生的概率：
如果 B 和C 是两个互斥事件，则
P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A).
(5)P(A A A …A )=P(A )P(A )…P(A 。). 其中事件A ,A ,…,
A。相互独立.
特别地，如果事件A 与事件B 相互独立，则有
P(AB)=P(A)P(B).
(6)①两点分布(0-1分布);P(X=0)=1-p;P(X=1)=p.
其中m=min{M,n}, 且n≤N,M≤N,m,M,N∈N*.
③二项分布：P(X=k)=Cp*(1-p)*-*,k=0,1,2,…,n.
十四、常用逻辑用语
p q pAq pVq 7p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真

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