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菱形
班级：_____________姓名：__________________组号：_________
菱形的判定
1．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ ）
A．四条边相等； B．四个内角都相等 C．对角线互相平分； D．对角线互相垂直。
2．菱形的性质：
（1）两条对角线互相 ；
（2）四条边都 ；
（3）每条对角线平分 。
3．菱形的判定1
定义：
有一组邻边__________________的平行四边形是菱形。
几何语言：
4．我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
证明你的判断。（四边相等呢？课后证明小组交流）
结论：（结合上图）
菱形判定2：___________________________的平行四边形是菱形
几何语言：
菱形判定3：___________________________的四边形是菱形
几何语言：
5．如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6。求证：四边形ABCD是菱形。
6．矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线为EF，与边AD，BC分别交于点E，F
（1）求证：△AEO△CFO；
（2）求证：四边形AFCE是菱形。
★通过预习你还有什么困惑？
一、课堂活动、记录
菱形有哪些判定方法？
二、精练反馈
A组：
1．下列条件不能够“平行四边形ABCD是菱形”的是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．AD=CD D．AC=BD
2．如图，四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充
一个条件 ，就可以它是一个菱形。
B组：
3．四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE与DE交于点E，试说明OE⊥CD．
三、课堂小结
菱形有哪些判定？
四、拓展延伸（选做题）
1．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°。
有下列结论：① AE=BF；② △DEF是等边三角形；③ △BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°。点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）。过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF。
（1）AC的长是 ，AB的长是 。
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由。
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由。
（4）当t为何值时，△BEF的面积是？
【答案】
【学前准备】
1．D
2．（1）垂直平分（2）相等（3）每组对角
3．相等；
符号语言：在平行四边形ABCD中，
∵AB=AD
∴平行四边形ABCD为菱形
4．∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD ，BO=DO
∵AO=OA ，BO=DO ，∠AOB=∠AOD=90°
∴△AOB≌△AOD （SAS）
∴AB=AD
∴平行四边形ABCD是菱形
菱形判定2：对角线互相垂直
几何语言 在平行四边形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD为菱形
菱形判定3：对角线互相垂直平分
几何语言：∵AC⊥BD
OA=OB，OC=OD
∴四边形ABCD为菱形
5．证明：在平行四边形ABCD中，
OA=1/2AC=4，OB=1/2BD=3
在△AOB中
∵OA +OB =4 +3 =25
又AB =5 =25
∴OA +OB =AB
∴∠AOB=90°
∴AC⊥BD
在平行四边形ABCD中，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形
【课堂探究】
课堂活动、记录
略
精练反馈
1．D
2．AB=BC
3．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形。
∵ABCD是矩形，∴OC=OD。
∴四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD
课堂小结
略
拓展延伸（选做题）
1．A
2．（1）5；10
（2）EF与AD平行且相等
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t。
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠ABO=90°
∴AE∥DF。
∴四边形AEFD为平行四边形。
∴EF与AD平行且相等。
（3）解：能；
理由如下：
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
∴AD=AC－DC=10－2t。
即t=10－2t，t=
即当t=时，四边形AEFD为菱形
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，
∴DF=，∴CF=
又∵BE=AB－AE=5－t，BF=BC－CF=
∴S△BEF=
即
解得：t=3，t=7（不合题意舍去）
∴t=3．
故当t=3时，△BEF的面积为
学前准备
课堂探究
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