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2023-2024学年七年级数学上学期第三次月考卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-5章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随着贵州“村超”的火爆出圈，黔东南州榕江县搭乘“村超”快车，“超级星期六足球之夜”品牌价值日益彰显，旅游业持续升温．据初步测算，榕江县已累计接待游客50万人次，实现旅游综合收入亿元这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
3．下列说法正确的是（ ）
A．与是同类项
B．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数是
C．单项式的系数是
D．用四舍五入法把精确到的近似数是
4．在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，数轴上表示，表示，表示，为数轴上任意一点，其对应的数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的有（ ）
①圆上任意两点A，B间的部分叫做扇形；
②钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为75°；
③正三角形、长方形和正方形都是正多边形；
④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点在线段上，是的中点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
8．一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有（　　）块．
A．15 B．16 C．17 D．18
9．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（ ）
A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°
10．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则下列结论正确的个数是（　　）
①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C的距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则的最小值为12134．
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
11．李老师到体育用品店买排球，已知排球的单价为a元1个，且商店规定若买10个以上，则超出部分按8折优惠，若李老师买了30个排球，则需付 元钱．（用含a的式子表示）
12．在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
13．如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝ ．
14．如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则△-⊙的值为 ．
15．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ．
16．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．（用含有a的式子表示）
17．小青发现：如图的小圆按一定的规律堆放，推算出第8堆有 个小圆，发现了第n堆小圆的总数，可以用字母表示为 ．
18．“好习惯受益终身”，每天早晨6时到7时之间都是七（1）班雯雯同学的“经典诵读”时间，从6时起，至少经过 分钟，时针与分针所形成的钝角等于．
三、解答题：本题共8小题，共78分．第19-20题每题8分，第21-24题每题10分，第25-26题每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4).
20．解方程：
(1)；(2)．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）：
(1)连接并延长至E，使；
(2)作射线；(3)在直线上确定点G，使得最短．
23．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有________个小正方体；
（2）若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加________个小正方体．
24．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．
(1) ， ．
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？
(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．
25．【旧题重现】计算的值．
解：设，则
，
得：
，
，即.
通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．
请用你学到的方法计算：．
【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：（1）　 　；（2）　 　；（3）　 　；
【新方法迁移】（4）　 　；

26．已知、共顶点O，平分，平分．
(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）的条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，求出所有的值．
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2023-2024学年七年级数学上学期第三次月考卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-5章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随着贵州“村超”的火爆出圈，黔东南州榕江县搭乘“村超”快车，“超级星期六足球之夜”品牌价值日益彰显，旅游业持续升温．据初步测算，榕江县已累计接待游客50万人次，实现旅游综合收入亿元这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【解析】亿，故选B．
2．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【解析】∵正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，∴截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，故选D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．与是同类项
B．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，则这个两位数是
C．单项式的系数是
D．用四舍五入法把精确到的近似数是
【答案】B
【解析】A、与相同字母的指数不同，不是同类项，说法错误，该选项不符合题意；
B、说法正确，该选项符合题意；
C、单项式的系数是，说法错误，该选项不符合题意；
D、把精确到的近似数是，说法错误，该选项不符合题意．故选B．
4．在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】根据题意可得：
补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6个，故选D．
5．如图，数轴上表示，表示，表示，为数轴上任意一点，其对应的数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，在同一数轴上，∴，
∵，∴，∴表示数为，即，故选．
6．下列说法正确的有（ ）
①圆上任意两点A，B间的部分叫做扇形；
②钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为75°；
③正三角形、长方形和正方形都是正多边形；
④.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①圆上任意两点A，B间的部分叫做弧，故①错误；
②钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为，故②正确；
③长方形不是正多边形，故③错误；④，故④错误，故选A．
7．如图，点在线段上，是的中点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
是的中点，，
，．故选A．
8．一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有（　　）块．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解析】设有块石头，为自然数，
由题意可得：中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，，
除第一次搬石头走1次外，其余搬石头都需要走2次，
则：，
即，，
因为石头的总数为奇数个，所以排除B、D选项，
当石头总数为15块时，，解得，
将代入，可得，A选项不符合题意；
当石头总数为17块时，，解得，
将代入，可得，则C选项符合题意，
即这些石头共有17块.故选C.
9．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（ ）
A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°
【答案】C
【解析】如图1所示，当在内部时，
∵，，∴，
∵为的角平分线，∴，∴；
如图2所示，当在外部时，
∵，，∴，
∵为的角平分线，∴，∴.
综上所述，的角度是30°或120°，故选C．
10．如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则下列结论正确的个数是（　　）
①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C的距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则的最小值为12134．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】①不知道表示的数字，无法确定的值，故①错误；
②∵，∴为的中点，故②正确；
③由图可知：，∴，故③错误；
④∵数轴上点M到A，B，C的距离之和最小，∴点M与点B重合，故④正确；
⑤设点表示的数为，
当点在点A左边时，依题意有：，解得：
当点在点右边时，依题意有：，解得：，
综上，点表示的数为或5，故⑤错误；
⑥∵，
∴，∴，，，
∴当时，有最小值为，故⑥正确.综上，正确的是②④⑥，共3个.故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．
11．李老师到体育用品店买排球，已知排球的单价为a元1个，且商店规定若买10个以上，则超出部分按8折优惠，若李老师买了30个排球，则需付 元钱．（用含a的式子表示）
【答案】
【解析】由题意得：，．故答案为：．
12．在一次台球比赛中，运动员需要把台球A向 （填方向） 撞击B球，使B被击进袋中．
【答案】南偏西，60
【解析】运动员需要把台球A向南偏西撞击B球，使B被击进袋中，故答案为：南偏西，60．
13．如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝ ．
【答案】2
【解析】正八面体有6个顶点，12条棱，8个面，
∴正八面体的顶点数＋面数－棱数=6+8-12=2.故答案为：2．
14．如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则△-⊙的值为 ．
【答案】或1
【解析】由题意得，
∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，∴⊙，
∴小圆圈上空白圆圈上数字为，
∴△或2，∴△-⊙或1．故答案为：或1.
15．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ．
【答案】2或3，或
【解析】如图2所示，由题意得，，
∵都是自然数，且，∴，∴，∴；
如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或，
当时，符合题意，此时的乘积为；
当时，符合题意；，此时的乘积为；
故答案为：2或3，或.
16．已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．（用含有a的式子表示）
【答案】或
【解析】∵，，N是线段的中点，∴，，
①若，如图，此时，
∵，∴，∴，
故E在D右侧，如图，
∵M是线段的中点，∴，∴，
此时；
②若，如图，此时，
∵，∴，∴，
故E在D右侧，如图，
∵M是线段的中点，∴，∴，
此时.故答案为或．
17．小青发现：如图的小圆按一定的规律堆放，推算出第8堆有 个小圆，发现了第n堆小圆的总数，可以用字母表示为 ．
【答案】36，
【解析】第1个图形共有小圆的个数为；
第2个图形共有小圆的个数为；
第3个图形共有小圆的个数为；
第4个图形共有小圆的个数为；…；
则第n个图形共有小圆的个数为，
∴第8个图形共有小正方形的个数为：．故答案为：36；．
18．“好习惯受益终身”，每天早晨6时到7时之间都是七（1）班雯雯同学的“经典诵读”时间，从6时起，至少经过 分钟，时针与分针所形成的钝角等于．
【答案】
【解析】由题意可得，每分钟时针转动的度数是：，
每分钟分针转动的度数是：，
当分针在右半圆时，由题意可得，，解得：，
②当分针在左半圆时，由题意可得，，解得：，
∵，∴至少经过分钟，时针与分针所形成的钝角等于，故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共78分．第19-20题每题8分，第21-24题每题10分，第25-26题每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【解析】（1）；（2分）
（2）；（4分）
（3）；（6分）
（4）
．（8分）
20．解方程：
(1)；(2)．
【解析】（1），
去分母：，（1分）
去括号：，（2分）
移项、合并同类项：，（3分）
系数化1：；（4分）
（2），
去分母：，（5分）
去括号：，（6分）
移项、合并同类项：，（7分）
系数化1：．（8分）
21．先化简，再求值：，其中，．
【解析】
.（6分）
当，时，原式．（10分）
22．平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）：
(1)连接并延长至E，使；
(2)作射线；(3)在直线上确定点G，使得最短．
【解析】（1）连接并延长，以B为圆心半径画圆交延长线于一点即为E点，如图所示，
（3分）
（2）以C为端点为方向作图，如图所示，
（6分）
（3）过B、D两点画直线，根据两点间线段最短连接交于一点即为G点，如图所示，
（10分）
23．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有________个小正方体；
（2）若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加________个小正方体．
【解析】（1）10（1分）
提示：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体，故答案为：.
（2）分析这个图形的三视图可得：
（4分）
主视图面积为：，
左视图面积为：，
俯视图的面积为：,（5分）
该组合体的表面积为：
所以：这个几何体喷漆的面积为：．（7分）
（3）2（10分）
提示：要保持俯视图和左视图都不变，结合三视图，中间位置的小正方形上面叠加一个，右侧位置的小正方形上面叠加一个，所以最多可以添加个 故答案为：．
24．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．
(1) ， ．
(2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？
(3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由．
【解析】（1），16；（2分）
提示：，，
解得：，，故答案为：，16.
（2）此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）；
（秒）或（秒），
答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度；（6分）
（3）正确，，当在之间时，是定值5，
（秒），
此时（单位长度），
故这个时间是0.625秒，定值是8单位长度．（10分）
25．【旧题重现】计算的值．
解：设，则
，
得：
，
，即.
通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．
请用你学到的方法计算：．
【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：（1）　 　；（2）　 　；（3）　 　；
【新方法迁移】（4）　 　；

【解析】旧题重现：设，则：
所以，
. （6分）
新方法生成： （3分，每空1分）
提示：结合图形可得：（1）；
（2）；
（3）.
新方法迁移：（4）（本空2分）
提示：.故答案为.
26．已知、共顶点O，平分，平分．
(1)如图1，当与重合时，若，，求的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转一个角α至图2所示位置，设，求的度数（用、表示）；
(3)在（1）的条件下，将从图1所示位置逆时针以每秒2°的速度旋转，设运动时间为秒（），当时，求出所有的值．
【解析】（1）如图1，

∵平分，平分，与重合，
∴，，∴.（2分）
（2）如图2，
∵平分，平分，∴，，
∴＝＝
＝＝＝，
∵绕点O逆时针旋转一个角，∴，
∵，∴.（3分）
（3）①当时，如图3，
由题可知，，则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，∴，解得：；（5分）
②当时，如图4，
由题可知，，则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，∴，
解得：（不符合题意，舍去）；（7分）
③当时，如图5，
由题可知，，则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，∴，
解得：（不符合题意，舍去）；（9分）
④当时，如图6，
由题可知，，则，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，∴，解得：；
综上，t的值为或．（11分）
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