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10.3频率与概率 练习10.3频率与概率 练习
一、单选题
1．有下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②在同一次试验中，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；
③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率.
A．①③ B．①②④ C．①② D．③④
2．已知某厂的产品合格率为，现抽出件产品检查，则下列说法正确的是
A．合格产品少于件
B．合格产品多于件
C．合格产品正好是件
D．合格产品可能是件
3．下列叙述正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值
B．若随机事件A发生的概率为，则
C．若事件A与事件B互斥，则
D．若事件A与事件B对立，则
4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石 B．224石
C．230石 D．232石
5．已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：
10 8 6 10 13 8 10 12 11 7
8 9 11 9 12 9 10 11 12 11
那么频率为0.4的范围是（ ）
A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5
6．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
7．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币10次，事件A必发生5次
B．抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次
C．抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一定等于0.5
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
8．下列说法中不正确的是
A．对于线性回归方程，直线必经过点
B．茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录
C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变
D．掷一枚均匀硬币出现正面向上的概率是，那么一枚硬币投掷2次一定出现正面
二、多选题
9．以下命题成立的是（ ）
A．函数是偶函数，则关于直线对称
B．盒子中有5张奖券，只有一张上面写着“中奖”，其它四张上都写着“谢谢”.学生甲先抽，已知甲抽中的是“谢谢”，学生乙接着抽，则乙抽到“中奖”的概率为
C．某个红绿灯路口的红灯持续时间共为50秒钟.李先生开车到达路口时，此时信号灯显示为红灯，则他等候红灯时间不超过30秒的概率为.
D．向右平移个单位得到一奇函数.
10．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大 试验次数较大时，频率波动较小；所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
11．下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为
12．（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C．抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷6 000次，朝上的点数为2的次数大约为1000次
三、填空题
13．某人连续掷一枚质地均匀的硬币24000次，则正面向上的次数最有可能是 次.
14．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20000辆汽车的信息,时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日,发现共有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为 .
15．甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是 ．（填序号）
16．下列命题中：
①某校共有男生2700人，女生1800人，用比例分配的分层随机抽样抽取容量为90的样本进行健康测试，则样本中男生有54人；
②随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率；
③数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的2倍；
④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件“取出的两球均为红球”，事件“取出的两个球颜色不同”，则事件A与B互斥而不对立；
其中正确命题的编号为 .
四、解答题
17．要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
18．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取7名学生，测试成绩如下：
其中m，n是正整数.
（Ⅰ）若该校高一年级有280学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；
（Ⅱ）若从高一年级抽取的7名学生中随机抽取2人，记X为抽取的2人中为“体质良好”的学生人数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出m，n的值.（只需写出结论）
19．同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和．
(1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？
(2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率；
(3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计；
(4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？
(5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？
20．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四张卡片，现从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，每张卡片被取出的可能性相等.
（1）求取出的两张卡片上标号为相邻整数的概率；
（2）求取出的两张卡片上标号之和能被3整除的概率.
21．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
22．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
参考答案：
1．C
【分析】根据统频数和频率的关系，以及频率和概率的关系，进行判断即可得解.
【详解】由频率 频数 概率的定义易知①②正确.
故选：C.
2．D
【详解】合格产品可能是9件，合格率只是对生产的产品合格数量的一种估计并不一定等于真实值
3．D
【分析】选项A，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并非越来越接近；选项B， ；选项C. 事件A与事件B互斥，；选项D，对立事件的概率和为1.
【详解】选项A，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，
即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确；
选项B，样本空间Ω的子集称为随机事件，
必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，即，故B不正确；
选项C. 若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即发生则一定不发生，
所以，则，
则有，不一定与相等，故C不正确；
选项D. 若事件A与事件B对立，则为必然事件，且事件A与事件B互斥，则，故D正确.
故选：D.
4．B
【分析】由题意求出夹谷占有的概率，从而可求出这批米内的夹谷数
【详解】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为，所以2020石米中夹谷约为2020×≈224(石)．
故选：B
5．C
【分析】通过计算各组频率来求得正确答案.
【详解】5.5~7.5的频率为，
7.5~9.5的频率为，
9.5~11.5的频率为，
11.5~13.5的频率为，
所以C选项正确.
故选：C
6．D
【分析】结合概率和频率的定义、概率的计算公式依次判断选项即可.
【详解】A：概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.
虽然甲获胜的概率为，但是比赛5场，甲获胜3场的说法不符合定义，故A错误；
B：前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，这种说法不符合概念的定义，故B错误；
C：频率和概率是两个不同概念，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D
7．D
【分析】根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
8．D
【分析】对于A由线性必经过判断；对于B由茎叶图的优点判断；对于C由方差的定义判断；对于D由概率的定义判断.
【详解】对于A由线性回归方程的推导可知直线必经过点，故正确；
对于B茎叶图的优点在于它可以保存原始数据，并且可以随时记录，故正确；
对于C可以对新的一组数据重新计算它的方差会发现方差与原来的方差一样，不会改变，故正确；
对于D概率是一种可能性，概率大的事件一次实验中也可能不发生，概率小的事件一次试验中也可能发生，所以一枚硬币投掷2次也可能不会出现正面，故错误；
故选：D
9．ACD
【解析】结合奇偶函数的性质，及函数图象的平移变换规律，可知AD正确；结合古典概型、几何概型知识，计算可得B错误，C正确.
【详解】对于A，函数是偶函数，其图象关于轴对称，因为的图象向右平移1个单位后，得到的图象，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，5张奖券，其中1张上面写着“中奖”，学生甲已经抽了一张，没有中奖，因为是不放回抽奖，所以还剩4张奖券，其中1张上面写着“中奖”，学生乙接着抽，则乙抽到“中奖”的概率为，故B错误；
对于C，根据几何概型的概率公式可得，等候红灯时间不超过30秒的概率为，故C正确；
对于D，，则的图象向右平移个单位得到的图象，是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查古典概型、几何概型知识，考查函数的奇偶性，及函数图象平移变换规律，考查三角函数的恒等变换，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
10．AC
【分析】根据频率和概率的关系判断.
【详解】A. 试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故正确；
B.试验次数较小时，频率波动较大 试验次数较大时，频率波动较小；所以试验次数越多越好，故错误；
C. 随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近，故正确；
D. 我们要得到某事件发生的概率时，需要多次实验才能得到概率的估计值，故错误.
故选：AC
11．ABC
【分析】根据概率和频率的概念即可判断答案.
【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.
故选：ABC.
12．BD
【分析】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C.
【详解】由题意知朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误；
当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确；
抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次朝上的点数为2的次数大约为．（理论和实际会有一定的出入）故D正确.
故选：BD
13．12000
【分析】根据正面向上的概率为即可求解.
【详解】由正面向上的概率为，
所以，
故答案为：12000
14．
【解析】因为实验次数较大,可用频率估计概率,根据频率的计算公式,即可求得答案.
【详解】 实验次数较大,可用频率估计概率
概率.
故答案为:.
【点睛】本题考查了用频率估计概率,解题关键是掌握频率和概率的定义和二者之间的关系,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
15．②
【分析】依次求出每个游戏中甲胜、乙胜的概率，然后可得答案.
【详解】对于游戏①，P（点数为奇数）=P（点数为偶数）=；对于游戏②，P（恰有一枚正面向上）=，P（两枚都正面向上）=；
对于游戏③，P（牌色为红）=P（牌色为黑）=；对于游戏④，P（同奇或同偶）=P（奇偶不同）=．故不公平的游戏是②．
故答案为：②.
16．①②④
【分析】根据总体与样本之间的关系，结合分层随机抽样得概念计算即可判断①；根据频率与概率得关系可判断②；根据方差的计算公式求解即可判断③；由基本事件与互斥事件与对立事件的概念，即可判断④.
【详解】总体容量为4500，样本容量为90，所以抽样比为，所以样本中男生的人数为，①正确；
对于有限n次随机试验，事件A发生的频率是随机的，而随机试验次数n趋向无穷大，随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，②正确；
数据4，8，10，14的平均数，方差，
数据2，4，5，7的平均数，方差为，
则，故数据4，8，10，14的方差是2，4，5，7的方差的4倍，③错误；
基本事件有“取出的两球均为红球”，“取出的两球均为白球”，“取出的球为一红球和一白球”等，因此事件A与B互斥而不对立，④正确；
故正确命题的编号为①②④.
故答案为：①②④.
17．答案见解析.
【分析】方法一：把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，充分搅拌，从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数；方法二：利用计算机产生随机数.
【详解】法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，
把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，
放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
（1）选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，
则在此格中的数是随机产生的；
（2）选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，
则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，
这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
【点睛】本题考查了随机数的产生，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
18．（Ⅰ）120人；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ ）高一年级随机抽取的7名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为，即可算出答案
（Ⅱ）高一年级抽取的7名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人.所以X的可能取值为0，1，2，然后分别算出对应的概率即可
（Ⅲ）高一年级被抽取学生的测试成绩的平均数为，故高二年级被抽取学生的测试成绩的平均数也为，从而可得，所以要使方差最小，.
【详解】（Ⅰ）高一年级随机抽取的7名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率，估计高一年级“体质优秀”的学生人数为.
（Ⅱ）高一年级抽取的7名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人.所以X的可能取值为0，1，2
所以，，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P

（Ⅲ）.
【点睛】本题考查的是概率与统计的相关知识，属于基础题.
19．(1)有，，，，，，，，，，共种可能
(2)分别约为，，
(3)分别约为，，，且比第（2）问结果更加接近，，
(4)可增加重复试验的次数
(5)不相等
【分析】动手试验，观察、记录数据，根据题意进行计算，由频率估计出相应概率，依次解答即可.
【详解】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能.
实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共种可能，
并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能.
（2）重复抛掷两枚骰子次，分别观察、记录，
记“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频数分别为，，，（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由此可以分别求出“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频率分别为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
由频率估计概率，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率分别约为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）.
实际上，由古典概型知识可以求得，
“掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故，
“掷出的点数之和为”有，，，，，共种可能，概率为，故，
“掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故.
（3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”进行估计，所得结果会更加接近，，（随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）.
（4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验的方法实现.
（5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率不相等.
实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）先利用树状图法或列举法列出所有可能的结果，然后确定两张卡片上标号为相邻整数的所有可能结果的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
（2）利用树状图法或列举法列出所有可能的结果，然后确定两张卡片上标号之和能被3整除的所有可能结果的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】方法一 利用树状图列出从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片的所有可能结果：

可以看出，试验的所有可能结果有16种.
（1）所取两张卡片上的标号为相邻整数的结果有1-2，2-1，2-3，3-2，3-4，4-3，共6种，故所求概率为，即取出的两张卡片上的标号为相邻整数的概率为.
（2）取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的结果
有1-2，2-1，2-4，3-3，4-2，共5种，故所求概率为，即取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的概率为.
方法二 设从甲、乙两个盒子中各取一张卡片，其标号分别为，用表示抽取结果，则所有可能的结果为，，，，共16种.
（1）所取两张卡片上的标号为相邻整数的结果有，共6种，故所求概率为.
所以取出的两张卡片上的标号为相邻整数的概率为.
（2）取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的结果有，共5种，故所求概率为，所以取出的两张卡片上的标号之和能被3整除的概率为.
【点睛】本题考查基本事件，古典概型，属于基础题型.
21．（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0
【解析】利用频率表以及互斥事件的概率公式得出（1），（2），（3）对应的概率，由对立事件的概率公式得出（4）的概率.
【详解】解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
（1）；
（2）（或）；
（3）；
（4）.
【点睛】本题主要考查了利用互斥事件以及对立事件的概率公式求概率，属于中档题.
22．(1)；
(2)Y值见解析，
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量；
（2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y大于零的概率．
【详解】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P；
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为（瓶）；
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为600，
Y＝550×2＝1100元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为400，
Y＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元，
当温度低于20℃时，需求量为300，
Y＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
，
∴估计Y大于零的概率P．

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