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《函数》教学设计
湖北省赤壁市教研室　来小静
一、内容和内容解析
1．内容
变量与常量的概念．
2．内容解析
本课是函数的起始课，函数是刻画运动变化现象的重要数学模型，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先要关注变化过程中量的变化，这就是变量．有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础．
本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能找出一个变化过程中的变量与常量．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）了解常量、变量的意义；
（2）充分体会运动变化过程中量的变化．
2．目标解析
（1）知道在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量；
（2）体会在一个变化过程中，一个量随着另一个量的变化而变化，初步体会两个变量之间的单值对应关系．
三、教学问题诊断分析
变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系，类似于二元一次方程，没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖的变化．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：体会运动变化过程中量的变化．
四、教学过程设计
1．创设情境，观察思考
引言　
我们生活在一个变化的世界，行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化…所谓“万物皆变”．唯一不变的就是变化本身．我们发现，在各种各样的变化过程中往往蕴含着量的变化，研究这些量之间的依赖关系是我们把握变化规律的关键．
【设计意图】通过引言教学，提出本节课需要研究的问题，合理地引起学生注意．
2．合作探究，形成概念
问题1 有如下几个变化过程，请找出各变化过程中的量，并分类：
（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶． 行驶路程为s km/h，行驶时间为t h． 填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？
t/h
1
2
3
4
5
s/km
　
　
　
　
　
（2）电影票的售价为10元/张． 第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？
（3）用10m长的绳子围一个矩形．当矩形的一边长分别为3m,3．5m,4m,4．5m时，它的邻边分别为多少？
（4）美丽的水中涟漪图中，圆形水波纹慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时，圆的面积S分别为多少？
师生活动1　教师与学生一起通过计算填表，并分析问题（1）中出现的三个量，发现其中有些量的数值是变化的，如时间t，路程s；有些量的数值是始终不变的，如速度60km/h．
【设计意图】在常见的“行程问题”中，引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量，可以较为自然地引导学生对三个量进行分类．
师生活动2 ?学生继续分析问题（2）（3）（4）中的量并分类，领会“变量”、“常量”的含义．发现在同一个变化过程中，始终保持不变的量为常量，而数值发生变化的量为变量．
【设计意图】有前述的示范引导，让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量，通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律，深刻体会变量与常量的含义．
问题2 在上述问题1的四个变化过程中，请思考：
（1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶． 行驶路程为s km/h，行驶时间为t h． s的值随t的值的变化而变化吗？
（2）电影票的售价为10元/张． 设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？
（3）美丽的水中涟漪图中，圆形水波纹慢慢地扩大．在这一过程中，设圆的半径为r，圆的面积S，S的值随r的值的变化而变化吗？
（4）用10m长的绳子围一个矩形．设矩形的一边长为x，邻边长为y，y的值随x的值的变化而变化吗？
师生活动? 学生思考并回答．
【设计意图】从实际问题中抽象出变量，进一步体会常量与变量之间、变量与变量之间的关系，初步体会同一个变化过程中两个变量之间的依赖关系和对应关系．
3．初步辨析，强化认识
问题3 指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元．
（2）某地手机通话费为0．2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元．
师生活动? 学生通过独立思考和合作交流，解决问题．
【设计意图】教师引导学生在2个常见的简单的实际问题中，通过合理、正确的思维，指出同一问题中的变量和常量．第（3）题仍然沿用圆形水波的问题背景，但讨论的角度由圆的面积变为圆的周长，常量为圆周率π，变量为圆的半径r和周长C．
问题4 ?请根据下列背景构造变化过程中的常量和变量：
（1）水中涟漪（圆形水波）不断扩大．
（2）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放）．
师生活动? 学生分组讨论，通过合作交流，探索结论．
【设计意图】本题是在学生认识了变化过程中的常量和变量后，只给出问题背景，让学生通过思考，在已有知识基础上构造变量，进一步认识常量与变量．
第（1）题可以记圆的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为π．
第（2）题可以第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．
4．简单应用，巩固概念
例1 ?指出下列变化过程中的常量和变量：
（1）购买一些单价为0．5元/支的铅笔，总价y随购买支数x的变化而变化．
（2）已知三角形底边长为8cm，高h可任意伸缩，面积S随高h的变化而变化．
师生活动1? 学生独立完成．
追问? 你能根据已经学过的知识，给出同一问题中两个变量之间的数量关系吗？
【设计意图】在数学问题中识别常量和变量，并分别用倍数关系和三角形面积公式找出两个变量之间的数量关系，为后续函数关系作铺垫．
5．小结
回顾本节课内容，引导学生总结新知：
（1）什么叫变量？什么叫常量？
（2）你认为同一变化过程中的变量之间有联系吗？
6．布置作业：举一组运动变化的例子并指出其变量和常量．
五、目标检测设计
1．半径是r的圆的周长为C=2πr，下列说法正确的是(? ???)??????? A．C，r是变量，2π?是常量?????????? B．C是变量，2，r是常量????? ?C． C，r是变量，2，π是常量??????? ?D．C，π是变量，2是常量?
【设计意图】考查常量与变量的意义．圆的周长C是随着圆的半径r的变化而变化的．
2．给定了火车的速度120km/h,要研究火车运行的路程与时间的关系．在这个问题中,常量是_?? ____,变量是________；若给定路程为500km，要研究速度与之间的关系．在这个问题中,常量是______，变量是________．
【设计意图】考查常量与变量的含义．在同一变化过程中，常量与变量的关系是相对的．
3．分别指出下列各关系式中的常量与变量:?
（1）如果等腰三角形的顶角的度数为α，那么底角的度数β与α之间的关系式为
．
（2）如果某种报纸的单价为a元/份，x表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总
价y(元)与份数x之间的关系式是y=ax．?
【设计意图】考查常量与变量的含义．第（1）题中常量是180°，变量是α，β．第（2）题中常量是a，变量是x，y．
《函数》同步测试
湖北省赤壁市教研室　来小静
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
1． 某人要在规定时间内加工100个零件，对剩余零件个数p与工作时间t之间的关系，下列说法正确的是（??? ）
A．数量100、p、t都是变量???? ?????????? B．数量100和p都是常量??
C．p、t都是常量??????? ???? ???????　　?? D．100、t都是常量?????
考查目的：考查常量和变量的概念．
答案：C．
解析：在同一变化过程中，始终保持不变的是常量，数量变化的是变量．故答案应选择C．
2． 一根蜡烛原长是a（cm），点燃后燃烧的时间为t（min）,剩余蜡烛的长为y（cm）下列说法正确的是（??? ）
A．常量是a，变量是y、t ???????????B．常量是t，变量是a、y ??
C．常量是y，变量是a、t ???????????D．以上说法都不对
考查目的：考查常量与变量的概念．
答案：A．
解析：蜡烛原长是固定的，所以a是常量，点燃后，燃烧时间越长，剩余蜡烛越短， y随着t的变化而变化,所以t，y是变量．故答案应选择A．
3．以固定的速度(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度(米)与小球的运动的时间(秒)之间的关系式是，在这个关系式中，常量、变量分别为(??? )
A．4．9是常量，、是变量?? ???????????B．是常量，、是变量
C．、是常量，、是变量? ??　? D．4．9是常量，、、是变量
考查目的：考查常量和变量的概念．
答案：C．
解析：在关系式中，速度和数量是常量，小球的高度(米)随小球的运动时间(秒)的变化而变化，是变量． 故答案应选择C．
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
4． 齿轮每分钟120转，如果表示转数，表示转动时间，那么用表示的关系是?????????????? ，其中??? ???????为变量，? ????????????为常量．
考查目的：考查常量与变量的概念．
答案：；；．
解析：齿轮的转速为转/分，是固定不变的，所以是常量；转数随着时间的变化而变化，所以是变量．
5． 表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度（单位m）落下时弹跳高度（单位m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是????????????????? ．
50
80
100
150
25
40
50
75
?
?
?
?
考查目的：考查变量间的关系．在具体问题中，用代数是表示变量间的关系．
答案：．
解析：根据表格数据分析，小球弹跳高度的取值是相应的下落高度的值的一半，故关系式为．
6． 下表是某报纸公布的世界人口数据情况：
年份
1957
1974
1987
1999
2010
2025
人口数
30亿
40亿
50亿
60亿
70亿
80亿
表中有????? 个变量，其中??????? 随??????? 的变化而变化，变化趋势是??????????????????? ．
考查目的：考查常量与变量的概念．
答案：2；人口数；时间；随着时间的增大，人口数也在增大．
解析：从表中可以看到，人口数随时间（年份）的变化而变化．变量有两个．随着时间的推移，人口数也越来越大．
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
7．某种水果的销售数量x（千克）与销售额y（元）的关系如下表所示：
数量x（千克）
1
2
3
4
5
销售额y（元）
2．1
4．2
6．3
8．4
10．5
（1）上面的表格反映了哪两个变量之间的关系？
（2）请估计销售量是15千克时，销售额是多少元？
考查目的：考查实际背景下常量与变量的概念．
答案：（1）表格反映了销售数量x（千克）与销售额y（元）之间的关系；（2）估计销售15千克时，销售额是31．5元．
解析：表格第一行是销售量，第二行是对应的销售额，用常量和变量的概念可以判断．根据表中提供的数据，不难发现，销量与销售额的数量关系为，将代入式中，可得．
8．已知直线m、n之间的距离是4，的顶点在直线m上，顶点、在直线n上，指出其中的变量和常量,并求的面积s与的边长x之间的关系式．
考查目的：考查常量与变量的概念及变量间的关系．
答案：常量是4，变量是x、s．面积s与的边长x之间的关系式为．
解析： 本题以三角形面积为问题背景，考查常量与变量之间的关系．此问题中，三角形的高是定值，当底边的长变化时，面积s相应变化．根据三角形面积公式得到．

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