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11.1与三角形有关的线段 ------《三角形的边》教学设计
湖北省咸宁市咸安区教育局教研室　王格林
一、内容和内容解析
1．内容
三角形中相关元素的概念、按边分类及三角形的三边关系．
2．内容解析
三角形是一种最基本的几何图形，是认识其他图形的基础，在本章中，学好了三角形的有关概念和性质，为进一步学习多边形的相关内容打好基础，本节主要介绍与三角形的的概念、按边分类和三角形三边关系，使学生对三角形的有关知识有更为深刻的理解．
本节课的教学重点：三角形中的相关概念和三角形三边关系．
本节课的教学难点：三角形的三边关系．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）了解三角形中的相关概念，学会用符号语言表示三角形中的对应元素．
（2）理解并且灵活应用三角形三边关系．
2．教学目标解析
（1）结合具体图形，识三角形的概念及其基本元素．
（2）会用符号、字母表示三角形中的相关元素，并会按边对三角形进行分类．
（3）理解三角形两边之和大于第三边这一性质，并会运用这一性质来解决问题．
三、教学问题诊断分析
在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、探究、推理、交流等活动过程，培养学生的和推理能力和合作学习的精神．
四、教学过程设计
1．创设情境，提出问题
问题　回忆生活中的三角形实例，结合你以前对三角形的了解，请你给三角形下一个定义．
师生活动：先让学生分组讨论，然后各小组派代表发言，针对学生下的定义，给出各种图形反例，如下图，指出其不完整性，加深学生对三角形概念的理解．
【设计意图】三角形概念的获得，要让学生经历其描述的过程，借此培养学生的语言表述能力，加深学生对三角形概念的理解．
2．抽象概括，形成概念
动态演示“首尾顺次相接”这个的动画，归纳出三角形的定义．
师生活动：
三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
【设计意图】让学生体会由抽象到具体的过程，培养学生的语言表述能力．
补充说明：要求学生学会三角形、三角形的顶点、边、角的概念以及几何表达方法．
师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，让学生学会由文字语言向几何语言的过渡．
【设计意图】进一步加深学生对三角形中相关元素的认知，并进一步熟悉几何语言在学习中的应用．
3．概念辨析，应用巩固
如图，不重复，且不遗漏地识别所有三角形，并用符号语言表示出来．
1．以AB为一边的三角形有哪些？
2．以∠D为一个内角的三角形有哪些？
3．以E为一个顶点的三角形有哪些？
4．说出ΔBCD的三个角．
师生活动：引导学生从概念出发进行思考，加深学生对三角形中相关元素概念的理解．
4．拓广延伸，探究分类
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，如果要按照边的大小关系对三角形进行分类，又应该如何分呢？小组之间同学进行交流并说说你们的想法．
师生活动：通过讨论，学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类，接着引出等腰三角形及等边三角形的概念，引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解．
三角形按边分类：
【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生分类讨论和归纳概括的能力，加深学生对三角形按边分类的理解．
5．联系实际，突破难点
情境引入：如右图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可选择？各条路线的长一样吗？
师生活动：引导学生讨论分析，得到两条路线：
（1）B直接到C即BC；
（2）先由B到A再到C即BA+AC．
显然，路线（1）中的BC要短一些，即：BC最后，师生共同得到：
BC即三角形的两边之和大于第三边．
【设计意图】根据“两点之间线段最短”这一几何公理，推理出三角形任意两边之和大于第三边，让学生亲历知识的形成过程，同时加深对 “三角形两边之和大于第三边”的理解．
6．应用巩固
例　用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：（１）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
???????????????????????????? x+2x+2x=18．
解得x＝3.6．
所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm．
（2）因为长为4的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm，
则????????????????????????????????????? 4+2x=18
解得x＝7．
如果4cm长的边为腰，设底边长为xcm，
则????????????????????????????????????? 2×4+x=18
解得x＝10．
因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形．
引导学生通过解决这样的应用问题，特别是（2）中思想方法，让学生学会什么情况下要用到分类讨论的思想，并通过问题的解答过程加深对三角形三边关系理解．
【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用知识的能力，培养学生分类讨论的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形三边关系的理解，一举多得．
补充说明：应用三角形的三边关系时要灵活应变，最简洁的方法只需判断两小边之和大于最大边即可组成三角形．
师生活动：结合具体图形，教师引导学生分析，活学活用．
7．总结反思
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．
（1）三角形的定义？三角形的相关元素的概念（边、顶点、角）？三角形的表示方法．
（2）三角形按边的分类．
（3）三角形三边之间的关系．
师生活动：教师引导，学生小结．
【设计意图】学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重难点．
8．布置作业
教科书第8页第1，2题．
11.1与三角形有关的线段 ------《三角形的边》同步试题
湖北省咸宁市咸安区教育局教研室　王格林
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
1．如图中的三角形有（　　）
A．4个???????? B．6个??????? C．8个?????? ??D．10个
考查目的：本题考查学生对三角形概念的掌握．
答案：C．
解析：根据三角形相关概念由不在同一条直线上三条线段首尾顺次相连组成的图形叫三角形．
2．下列说法中正确的个数有（　　）
①三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形
③等腰三角形中至少有两边相等
④等边三角形是等腰三角形
A．1个???????????????????????? B．2个?????????????????????????? C．3个????????????????????????? D． 4个
考查目的：本题考查学生按不同的标准对三角形进行分类．
答案：①③④是正确的，故选C．
解析：三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，而等边三角形属于特殊的等腰的三角形．
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．1 cm ，2cm ， 4cm??????????? 　?　　 　? B．4 cm ， 6 cm ， 8 cm
C．5 cm，??? 6 cm， 12 cm????????　　　????? D．2 cm， 3 cm，? 5 cm
考查目的：本题考查学生对三角形三边关系的应用．
答案：B．
解析：组成三角形的条件是两边之和大于第三边．
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
4．三条线段a，b，c长度均为整数且a=3，b=5．则以a，b，c为边的三角形共有________个．
考查目的：本题考查学生对三角形三边关系的应用，并且按要求找出符合条件的整数的个数．
答案：5．
解析：本题先求出第三边取值范围5-3＜c＜5+3，即2＜c＜8，而在这个范围中的整数有3，4，5，6，7共5个数，所以满足条件的三角形有5个．
5． 同一平面上有四个点A、B、C、D，用它们作顶点可以组成________几个三角形．
考查目的：本题重在考察学生对同一平面上A、B、C、D四点的位置关系的分类，突出分类讨论的思想．
答案：0个或3个或4个．
解析：同一平面上A、B、C、D四点的位置关系有如下3种，而不在同一条直线上的三点可以作为三角形的三个顶点，组成一个三角形．
?
结合上述分析，可组成如下图5，6所示的三角形，图4中四点共线不能组成三角形
所以可组成三角形的个数为：0个或3个或4个．
6．若三角形三边长为3、2-1、8，求的取值范围是________．
考查目的：本题考查学生对三角形三边关系的应用，并结合不等式组求解．
答案：3＜＜6．
解析：把2-1看成第三边之长，则5＜2-1＜11，解不等式组：
解得3＜＜6．
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
8．已知等腰三角形周长为18 cm，一边长为7 cm，求另外两边之长．
考查目的：本题重在考虑组成三角形应满足三边关系的前提下还应突出分类讨论的思想．
答案：因为长为7 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论：
如果7 cm长的边为底边，设腰长为x cm，
则? ? 7+2x=18
解得x＝5.5
如果7cm长的边为腰，设底边长为xcm，
则????????????????????????????????????? 2×7+x=18
解得x＝4．
因为5.5+5.5＞7，7+4＞7，都符合三角形两边的和大于第三边，所以所以这两种情都能组成等腰三角形．
解析：一边长为7 cm，这一边可能为腰，也可能为底，所以要分两种情况进行讨论．
由以上讨论可知，该等腰三角形另外两边的长为5.5，5.5或4，7．
9．如图，已知P为△ABC内一点．求证: PA+PB+PC＞(AB+BC+AC) ．
考查目的：本题考查学生结合实际图形对三角形三边关系的灵活应用．
证明：在△ABP中有AP+BP＞AB? ，①
在△ACP中有AP+CP＞AC? ，②
在△BCP中有CP+BP＞BC ?，③
把上述三个式子左右两边同时分别相加得：
2AP+2BP+2CP＞AB+ AC +BC．
即PA+PB+PC＞(AB+BC+AC) ．
解析：在△ABP中有AP+BP＞AB? ，①
在△ACP中有AP+CP＞AC? ，②
在△BCP中有CP+BP＞BC ?，③
把上述三个式子左右两边同时分别相加得即可求证结论．
2014-08-29??人教网

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