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14.1 整式的乘法
第2课时 幂的乘方
【知识重点】
知识点1 幂的乘方
1. 幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
即：用字母表示为(am)n＝amn(m，n都是正整数).
2. 法则的拓展运用
(1)幂的乘方运算法则的推广：[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整数)；
(2)幂的乘方法则也可以逆用，逆用时amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数).
特别解读
1. “底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘.
2. 底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)[(－x)3]4； (2)[(x－2y)3]4；
(3)(－a2)3； (4)x2·x4＋(x2)3.
解题秘方：紧扣幂的乘方法则的特征进行计算.
【例2】已知a2n＝3，求a4n－a6n的值.
解题秘方：此题已知a2n＝3，需逆用幂的乘方法则把a4n－a6n用a2n表示，再把a2n＝3 整体代入求值.
【同步练习】
一、选择题
1．【2023·宿迁】下列运算正确的是(　　)
A．2a－a＝1 B．a3·a2＝a5 C．(ab)2＝ab2 D．(a2)4＝a6
2．【2022·朝阳】下列运算正确的是(　　)
A．a8÷a4＝a2 B．4a5－3a5＝1 C．a3·a4＝a7 D．(a2)4＝a6
3．【2022·镇江】下列运算中，结果正确的是(　　)
A．3a2＋2a2＝5a4 B．a3－2a3＝a3 C．a2·a3＝a5 D．(a2)3＝a5
4．若(a3)2＝64，则a等于(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对
5．若a为正整数，则等于(　　)
A．a2a B．2aa C．aa D．aa2
6．计算(a2)3·a3的结果是(　　)
A．a2 B．a3 C．a5 D．a9
7．已知xa＝2，xb＝3，则xa＋2b的值为( )
A．11 B．12 C．15 D．18
8．计算(－x5)7＋(－x7)5的结果是( )
A．－x13 B．－2x35 C．－2x70 D．0
9．已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝(　　)
A．1 B．6 C．7 D．12
10．9m·81n可以写为(　　)
A．9m＋3n B．27m＋2n C．32m＋4n D．33m＋4n
11．下列四个算式中正确的有(　　)
①(a4)4＝a4＋4＝a8；②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；
③－(－x5)3＝－(－x15)＝x15；④(－y3)3＝y9.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．下列算式中正确的有(　　)
①(m5)5＝m5＋5＝m10；②[(n2)2]2＝n2×2×2＝n8；③[(－m)5]2＝(－m)10＝m10；④(－n2)3＝n6.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．【2023·泸州十五中模拟】已知10a＝20，100b＝50，则a＋b＋的值是(　　)
A．2 B. C．3 D.
二、填空题
14．在学校举办的手工制作大赛中，李佳做了一个足球模型．若它的半径是102 mm，则它的体积约为________mm3(球的体积公式：V球＝πR3，π取3)．
15．【2023·宜昌夷陵中学月考】数学讲究记忆方法，如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助(a5)2＝a5·a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算(a2)5－a3·a7的结果是________．
16．已知ax＝2，ay＝5，则a3x＋2y的值是_________.
17．若3×9m×27m＝321，则m的值为___.
18．若x，y均为实数，43x＝2 025，47y＝2 025，则43xy·47xy＝(________)x＋y.
三、解答题
19．计算：
(1)(x3)4－(x6)2；
(2)(x2)3·x2－(x4)2＋x2·x6；
(3)[(x＋y)2]3·(x＋y)3；
(4)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(5)[(x＋y)3]6＋[(x＋y)9]2(用x＋y的幂表示)．
20．(1)已知2x＋5y－3＝0，试求4x×32y的值；
(2)已知2m＝3，2n＝5，求24m＋2n的值．
21．若am＝an(a＞0且a≠1，m，n都是正整数)，则m＝n.利用此结论解决问题：
(1)若2×8x×16x＝222，求x的值；
(2)若(125x)2＝56，求x的值．
22．已知54m＝253n＋1，且23m＝42(n＋1)．求代数式(m＋n)2n－m的值．
23．(1)阅读下列解题过程：
试比较2100与375的大小．
解：∵2100＝(24)25＝1625，
375＝(33)25＝2725，
而16＜27，∴2100＜375.
请根据上述解答过程比较255,344,433的大小．
(2)阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，试比较a，b的大小．
解：因为a3＝2，b5＝3，所以a>0，b>0.
因为a15＝(a3)5＝25＝32，
b15＝(b5)3＝33＝27，32>27，所以a15>b15.所以a>b.依照上述方法解决问题：已知a2＝5，b3＝12，且a>0，b>0，试比较a，b的大小．
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)[(－x)3]4； (2)[(x－2y)3]4；
(3)(－a2)3； (4)x2·x4＋(x2)3.
解题秘方：紧扣幂的乘方法则的特征进行计算.
解：(1) [(－x)3]4 ＝(－x)3×4＝(－x)12＝x12；
(2) [(x－2y)3]4 ＝(x－2y)3×4＝(x－2y)12；
(3) (－a2)3 ＝－a2×3＝－a6；
(4)x2·x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6.
【例2】已知a2n＝3，求a4n－a6n的值.
解题秘方：此题已知a2n＝3，需逆用幂的乘方法则把a4n－a6n用a2n表示，再把a2n＝3 整体代入求值.
解： a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3
＝32－33
＝9－27
＝－18.
【同步练习】
一、选择题
1．【2023·宿迁】下列运算正确的是(　B　)
A．2a－a＝1 B．a3·a2＝a5 C．(ab)2＝ab2 D．(a2)4＝a6
2．【2022·朝阳】下列运算正确的是(　C　)
A．a8÷a4＝a2 B．4a5－3a5＝1 C．a3·a4＝a7 D．(a2)4＝a6
3．【2022·镇江】下列运算中，结果正确的是(　C　)
A．3a2＋2a2＝5a4 B．a3－2a3＝a3 C．a2·a3＝a5 D．(a2)3＝a5
4．若(a3)2＝64，则a等于(　C　)
A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对
5．若a为正整数，则等于(　A　)
A．a2a B．2aa C．aa D．aa2
【解析】注意同底数幂的乘法与幂的乘方的区别．原式＝(aa)2＝a2a.
6．计算(a2)3·a3的结果是(　D　)
A．a2 B．a3 C．a5 D．a9
7．已知xa＝2，xb＝3，则xa＋2b的值为( D )
A．11 B．12 C．15 D．18
8．计算(－x5)7＋(－x7)5的结果是( B )
A．－x13 B．－2x35 C．－2x70 D．0
9．已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝(　D　)
A．1 B．6 C．7 D．12
【解析】∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m＋3n＝32m×33n＝3×4＝12.
10．9m·81n可以写为(　C　)
A．9m＋3n B．27m＋2n C．32m＋4n D．33m＋4n
11．下列四个算式中正确的有(　C　)
①(a4)4＝a4＋4＝a8；②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；
③－(－x5)3＝－(－x15)＝x15；④(－y3)3＝y9.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．下列算式中正确的有(　C　)
①(m5)5＝m5＋5＝m10；②[(n2)2]2＝n2×2×2＝n8；③[(－m)5]2＝(－m)10＝m10；④(－n2)3＝n6.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．【2023·泸州十五中模拟】已知10a＝20，100b＝50，则a＋b＋的值是(　C　)
A．2 B. C．3 D.
【解析】∵10a×100b＝10a×102b＝10a＋2b
＝20×50＝1 000＝103，∴a＋2b＝3.
∴原式＝(a＋2b＋3)＝×(3＋3)＝3.
二、填空题
14．在学校举办的手工制作大赛中，李佳做了一个足球模型．若它的半径是102 mm，则它的体积约为________mm3(球的体积公式：V球＝πR3，π取3)．
【答案】4×106
15．【2023·宜昌夷陵中学月考】数学讲究记忆方法，如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助(a5)2＝a5·a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算(a2)5－a3·a7的结果是________．
【答案】0
16．已知ax＝2，ay＝5，则a3x＋2y的值是_________.
【答案】200
17．若3×9m×27m＝321，则m的值为___.
【答案】4
18．若x，y均为实数，43x＝2 025，47y＝2 025，则43xy·47xy＝(________)x＋y.
【解析】43xy·47xy＝(43x)y·(47y)x＝2 025y×2 023x＝2 025x＋y.
【答案】2025
三、解答题
19．计算：
(1)(x3)4－(x6)2；
解：原式＝x12－x12
＝0.
(2)(x2)3·x2－(x4)2＋x2·x6；
原式＝x6·x2－x8＋x8＝x8；
(3)[(x＋y)2]3·(x＋y)3；
解：原式＝(x＋y)6·(x＋y)3
＝(x＋y)9.
(4)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
解：原式＝－7x16＋5x16－x16
＝－3x16.
(5)[(x＋y)3]6＋[(x＋y)9]2(用x＋y的幂表示)．
解：原式＝(x＋y)18＋(x＋y)18
＝2(x＋y)18.
20．(1)已知2x＋5y－3＝0，试求4x×32y的值；
(2)已知2m＝3，2n＝5，求24m＋2n的值．
解：(1)4x×32y＝(22)x×(25)y＝22x×25y＝22x＋5y，∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴22x＋5y＝23＝8，∴4x×32y的值为8
(2)24m＋2n＝(2m)4×(2n)2，∵2m＝3，2n＝5，∴(2m)4×(2n)2＝34×52＝2025，∴24m＋2n的值为2025
21．若am＝an(a＞0且a≠1，m，n都是正整数)，则m＝n.利用此结论解决问题：
(1)若2×8x×16x＝222，求x的值；
(2)若(125x)2＝56，求x的值．
解：(1)∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝27x＋1＝222，
∴7x＋1＝22，解得x＝3.
(2)∵(125x)2＝(53x)2＝56x＝56，
∴6x＝6，解得x＝1.
22．已知54m＝253n＋1，且23m＝42(n＋1)．求代数式(m＋n)2n－m的值．
解：由54m＝253n＋1，得54m＝(52)3n＋1，
即54m＝52(3n＋1)，
∴4m＝2(3n＋1)①，
由23m＝42(n＋1)得23m＝(22)2(n＋1)，
即23m＝24(n＋1)，∴3m＝4(n＋1)②.
联立①②，解得m＝8，n＝5，
∴(m＋n)2n－m＝(8＋5)2×5－8＝132＝169.
23．(1)阅读下列解题过程：
试比较2100与375的大小．
解：∵2100＝(24)25＝1625，
375＝(33)25＝2725，
而16＜27，∴2100＜375.
请根据上述解答过程比较255,344,433的大小．
解：∵255＝(25)11＝3211，
344＝(34)11＝8111，
433＝(43)11＝6411，
而32<64<81，
∴255<433<344.
(2)阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，试比较a，b的大小．
解：因为a3＝2，b5＝3，所以a>0，b>0.
因为a15＝(a3)5＝25＝32，
b15＝(b5)3＝33＝27，32>27，所以a15>b15.所以a>b.依照上述方法解决问题：已知a2＝5，b3＝12，且a>0，b>0，试比较a，b的大小．
解：∵a6＝(a2)3＝53＝125，b6＝(b3)2＝122＝144，125＜144，
∴a6＜b6.又∵a＞0，b＞0，∴a＜b.

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