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《直角三角形全等的判定》教学设计
湖北省通城县隽水寄宿中学　刘大勇湖北省通城县隽水寄宿中学　黎　虎
一、内容和内容解析
（一）内容
直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”．
（二）内容解析
本课是在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．
教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．
基于以上分析，本节课的重点是：“斜边、直角边”判定方法的运用．
二、目标及目标解析
（一）目标
1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．
2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．
（二）目标解析
1．学生经历探索两个直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．学生能从具体的问题中找出符合“斜边、直角边”条件的两个直角三角形，并能证明这两个直角三角形全等．
三、教学问题诊断分析
由于直角三角形是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质．例如，对一般三角形来说，已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等，而对于直角三角形来说，已知斜边和一直角边分别相等，能够得到两个直角三角形全等．
直角三角形的斜边和一直角边确定了，根据勾股定理，得到第三边也是确定的，从而可以利用“边边边”或“边角边”证明满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．但是勾股定理是后面学习的内容，在这里不能运用勾股定理来证明这个结论，只能通过实验操作、观察得出定理．
基于以上分析本节课的难点是：“斜边、直角边”判定方法的理解．
四、教学过程设计
（一）引言
前面我们学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），本节课我们继续研究两个直角三角形全等的判定方法．
问题1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪几个条件，这两个直角三角形就全等了？
?
两个直角三角形满足的条件
全等依据
方法1
两条直角边分别相等
“SAS”
方法2
一个锐角和一条直角边分别相等
“ASA”或“AAS”
方法3
一个锐角和斜边分别相等
“AAS”
追问：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
师生活动：师生共同得出上面的三个判定方法，学生思考猜想：满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等．
【设计意图】直接进入本节课学习的内容，培养学生分类讨论的思想．让学生大胆提出猜想．
（二）探索新知
问题2：探究5
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
画法：
（1）画∠MC′N=90°；
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交C′N于点A′；
??? （4）连接A′B′．
追问：作图的结果反映了什么规律?
你能用文字语言和符号语言概括吗?
文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
符号语言：
在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．
师生活动：师生共同进行尺规作图，学生进行操作，观察是否全等．然后教师引导学生得出“斜边、直角边”判定方法，掌握文字和符号语言．
【设计意图】通过作图、剪图、比较图的过程让学生获得“斜边、直角边”的判定方法， 培养学生发现问题的能力，锻炼学生用数学语言的能力．
（三）应用新知，解决问题
问题3：例5：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD． 求证：BC=AD
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角
在Rt△ABC与Rt△BAD′中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC=AD．
追问：若图中AC，BD相交于点E，图中还有全等三角形吗?怎样证明?
师生活动：学生先口述理由，然后写出完整的证明过程，教师规范步骤．
【设计意图】让学生初步熟悉根据“HL”证明两个直角三角形全等的一般程序．同时意识到，除了“HL”，前面所学的判定也可以用来证明两个直角三角形全等．
（四）综合运用，巩固提高
问题4：完成教科书第43页练习1、2题．
1．如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗?为什么?
答： D，E与路段AB的距离相等．
证明： 由题意可知：DC=EC．
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A与∠B都是直角．
又∵C是路段AB的中点，
∴AC=BC．
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）．
∴AD=BE．
2．如图， AB=CD， AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：AE=DF
证明： ∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB与∠DFC都是直角．
又∵CE=BF，
∴BE=CF．
在Rt△ABE与Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．
∴AE=DF．
师生活动：学生板演，写出完整的证明过程，教师点评．
【设计意图】进一步巩固“斜边、直角边”的应用．
（五）小结反思
教师和学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：
1．这节课我们学习了哪个判定直角三角形全等的方法？
2．判定两个直角三角形全等总共有哪些方法?
师生活动：教师引导，学生小结．
【设计意图】回顾两个直角三角形全等的几种判定方法，形成知识体系．
（六）布置作业：
教科书习题12．2第7、8题．
五、目标检测设计
1． 如图AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：AB＝DC．
【设计意图】本题考查学生寻找“HL”条件证明两个直角三角形全等，并得到对应边相等的能力．
2． 如图DE⊥BD，DE⊥CE，点A在DE上，AB=AC，BD=AE．求证： AB⊥AC．
【设计意图】本题考查学生寻找“HL”条件证明两个直角三角形全等，并运用全等三角形的性质，进行分析、解决问题的能力．
《直角三角形全等的判定》同步试题
湖北省通城县隽水寄宿中学　刘大勇湖北省通城县隽水寄宿中学　黎　虎
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
1．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（????? ）
A．两条直角边对应相等???? ??B．斜边和一锐角对应相等．
C．斜边和一条直角边对应相等? D． 两个锐角对应相等．
考查目的：本题考查学生对判定两个直角三角形全等的所有方法的掌握程度．
答案：D
2．下列说法正确的有(?????? )
A． 两条边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等．
B． 两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形不一定全等．
C． 两条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
D． 有两条边分别相等的两个三角形全等．
考查目的：本题考查三角形全等的判定方法．
答案：C
3．如图： ∠A＝∠D=90°，BE=CF， ∠C＝∠E，根据这些条件得到△ABC≌△DEF其依据是(???? ) ．
A.????? HL??? ????B． AAS?? ?????C． SAS? ??????D． SSS
考查目的：本题考查学生在具体的问题中选择适当的判定方法证明两个直角三角形全等的能力．
答案：B
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
4．如图，△ABC和△ADC中， ∠B＝∠D=90°，AB=AD，则可根据_______，得到△ABC≌△ADC．
考查目的：本题考查学生在具体的图形中用“HL”证明两个直角三角形全等的能力．
答案：HL??
5．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E为AD上的点，则图中共有______对全等三角形．
考查目的：本题考查学生全面考虑问题的能力．
答案：3
6．在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′=90°，下列条件中能判定两三角形全等的有_____．
①AC= A′C′，∠A＝∠A′；????? ?②AC= A′C′，AB= A′B′；
③AC= A′B′，BC= B′C′；?? ?????④AB = A′B′， ∠A＝∠A′；
⑤AC= A′C′，BC= B′C′．
考查目的：本题考查学生在具体的图形中判定两个直角三角形全等的所有判定方法．
答案：①、②、④、⑤
解析：． “①”、“②”、“④”、“⑤”可分别根据“ASA” 、“HL” 、“AAS”、“SAS”证得Rt△ABC≌Rt△A′B′C′， “③”中的条件AC= A′B′明显不对应．
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
7．如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AB=CD，BF=DE．? 求证： AB∥CD．
考查目的：本题考查学生从具体问题中获取“HL”条件，证明两个直角三角全等，并综合运用所学知识解决问题的能力．
证明： ∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB与∠CFD都是直角．
又∵BF=DE，
∴BE=DF．
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
．∴∠ABE=∠CDF．
∴AB∥CD．
?
8．如图，△ABC中，∠B=∠C， 点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AE=AF，连接AD．
（1）求证： DE=DF;
（2）求证： D是BC的中点．
考查目的：本题考查学生从具体问题中获取“HL”“ AAS”条件，证明两个直角三角全等，并运用全等三角形解决相关问题的能力．
（1） 证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED与∠AFD都是直角．
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
．∴DE=DF．
?（2） 证明：
∵∠AED与∠AFD都是直角，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴DE=DF．
在△BDE与△CDF中，
∴ △BDE≌ △ CDF（AAS）．
∴BD=CD．
∴D是BC的中点．

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