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《角的平分线的性质》教学设计
湖北省通城县隽水寄宿中学　刘大勇湖北省通城县隽水寄宿中学　龚燕珍
一、内容和内容解析
（一）内容
角的平分线的性质．
（二）内容解析
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．
角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法． 因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫，具有举足轻重的作用．因此本节课在教材中占有非常重要的地位．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质．　
二、目标和目标解析
（一）目标
1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性．
2．探索并证明角的平分线的性质．
3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
（二）目标解析
达成目标1的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线．
达成目标2的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质．
达成目标3的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题．
三、教学问题诊断分析
本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤．
基于以上分析，本节课的教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．
四、教学过程设计
（一）创设情景，提出问题
如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？
师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．
?
（二）合作探究，形成知识
问题1： 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．
追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．
追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．
追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．
如果学生没有思路，教师可作如下提示：
1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？
2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？
师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．
【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：
1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：
?　　　　　　　　　　　　　　
2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________
3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．
追问1：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这个角两边的距离相等．
2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．
求证：PD=PE．
3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
∴ PD=PE．
师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论．如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．
追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步聚：
1．明确命题中的已知和求证．
2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．
3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
追问3：角的平分线的性质的作用是什么？
师生活动：学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力．而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷．
（三）巩固提高
1．下列结论一定成立的是 （??????? ）
A．如图1，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
B．如图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE ．
C．如图3，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
?
图1??????????????????? 图2?????????????????? 图3
2．如图4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．
图4
师生活动：学生先独立思考，然后小组交流 ，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程．
【设计意图】通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．
（四）小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
1．本节课学习了哪些主要内容？
2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？
3．角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？
【设计意图】引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，并建立知识之间的联系．
（五）布置作业
作业：教科书习题12．3第4、5题．
五、目标检测设计
1．如图，D是的∠BAC平分线上的一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（??? ）
A．DE=DF ???????B．AE=AF ??????C．△ADE≌△ADF????? D．AD=DE+DF
2．如图，AE是∠BAC的角平分线，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点．．求证：BD=CD
《角的平分线的性质》同步试题
湖北省通城县隽水寄宿中学　刘大勇湖北省通城县隽水寄宿中学　龚燕珍
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
1．下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（???? ）
A?????????????????????? B
考查目的：本题考查学生对于点到直线的距离的理解．
答案：A．
解析：根据点到直线的距离的概念．
2．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论不一定成立的是（???? ）
A．∠AOP=∠BOP???????? B．PE=PD
C．∠OPD=∠OPE???????? D．OP=PD+PE
考查目的：本题综合考查学生对于角平分线的概念、角平分线的性质以及三角形全等的知识的掌握情况．
答案：D．
解析：A答案是成立的，根据角平分线的概念;B答案是成立的，根据角平分线的性质；C答案是成立的，根据三角形全等的对应角相等．
3．下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则（???? ）中PD＝PE．
?
考查目的 ：本题考查学生对角平分线性质定理的理解．
答案：D．
A
?
解析：A、B、C都没有正确地标出点P到OA，OB的距离．???????? ??????????????????????????
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
4．如图1，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_____cm．
?
?
?
?
图1
考查目的：本题考查学生对角平分线的性质的掌握情况．
答案：4．
解析：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，则点D到AB的距离为 _____cm．
?
?
?
?
?
??????????????????????????????? ? 图2?????????????????????????????????
考查目的：本题考查学生对角平分线的性质的掌握情况
答案：3
解析：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．如图3，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=8cm， 则AD+DE=??? cm．?
考查目的：本题考查学生对角平分线的性质的掌握情况．
答案：8．
解析：角平线上的点到角两边的距离相等，因此CD=DE，AD+DE=AD+CD=AC=8cm．
????? 图3
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
7．如图4，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF
求证：CF=EA
图4
考查目的：本题主要学生对考查角平分线的性质以及三角形全等等知识的综合运用．
解析：根据角平分线的性质可知：CD=DE．根据“HL”即CD=DE，AD=DF，可判定Rt△CDF≌Rt△EDA，根据全等三角形的性质可知CF=EA．
∵∠C＝90°， DE⊥AB，BD平分∠ABC
∴CD=DE ．
在Rt△CDF和Rt△EDA中，
?? ∴Rt△CDF≌Rt△EDA ．
∴CF=EA．
?8．如图5，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：BE=CF．
图5
考查目的：本题主要考查学生运用角平分线的性质以及三角形全等的判定方法解决问题的能力．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC．
∴DE=DF．
∴∠DEB=∠DFC=90°．
在Rt△EBD与Rt△FCD中．
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴BE=CF．

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