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4.2.2等差数列的前项和公式（第一课时）
书读百遍
要点1 等差数列的前项和公式
首项为，末项为，项数为的等差数列的前项和为.
首项为，公差为，项数为的等差数列的前项和为.
要点2 公式的结构
公式形似于梯形的面积公式；
公式形似的二次式，且常数项为0，的系数为，即
公差的一半.
数列为等差数列.
要点3 图象特征
当，时，可以看成一次函数当时的函数值.
当时，可以看成二次函数当时的函数值.
①当时，有最小值；
②当时，有最大值.
要点4 在，，，，五个量中，已知其中三个量，可以求得其余两个量.
入木三分
1.写出下列常见的等差数列的前项和.
（1）；
（2）；
（3）；
2.如果一个数列的前项和的公式是，那么这个数列一定是等差数列吗？
题型一 等差数列的前项和公式
例1 已知数列是等差数列.
（1）若求公差；
（2）已知；
（3）若.
归纳：都称为等差数列的三个基本量，和都可以用这三个基本量来表示，五个量中知三可求二，一般是通过通项公式和前项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应该注意已知与未知的联系及整体思想.
练习：
在等差数列中，前项和为.
①已知
②已知.
（2）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项.
题型二 等差数列前项和的应用
例2 若数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
归纳：为等差数列.
练习：已知前项和为，且
求的通项公式；
（2）求证：不是等差数列.
例3
已知两个等差数列，的前项和分别为，若，则 ；
已知数列的前和为则这个数列的通项公式为 .
练习：设是等差数列的前项和，若，则 .
巩固练习：
记等差数列前项和为，若则该数列的公差 ；
等差数列中，，则 ；
设是等差数列的前项和，若，则 ；
等差数列和的前项和分别为和.若，则 ；
已知等差数列中，
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，求的值.

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