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5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
【学习目标】
　　1.结合单位圆理解三角函数的定义,会用定义求给定角的三角函数值.
　　2.根据任意角终边所在象限的位置,会判断任意角三角函数值的符号.
　　3.掌握三角函数诱导公式一并会应用.
◆ 知识点一　三角函数的定义
1.如图5-2-1所示,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
(1)把点P的纵坐标　　　　叫作α的正弦函数,记作sin α,即　　　　;
(2)把点P的横坐标　　　　叫作α的余弦函数,记作cos α,即　　　　;
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值　　　　叫作α的正切,记作tan α,即　　　　　　.
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
图5-2-1
2.三角函数的定义域
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y=sin x 　　　
余弦函数 y=cos x 　　　
正切函数 y=tan x 　　　　　　
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin α,cos α,tan α的大小与点P(x,y)在角α的终边上的位置有关. (　 )
(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边与单位圆的交点,则cos α=-x. (　 )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　 )
2.如图5-2-2,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P到原点的距离为r,你能求出sin α,cos α,tan α吗 试试看.
图5-2-2
◆ 知识点二　三角函数值在各象限的符号
1.图示:
图5-2-3
图5-2-4
图5-2-5
2.口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α≥0. (　 )
(2)若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角.(　 )
(3)已知sin α=,cos α=-,则角α是第二象限角. (　 )
(4)已知α是第四象限角,设sin α·cos α=m,则m的符号不确定. (　 )
◆ 知识点三　公式一
终边相同的角的同一三角函数的值　　　　,即sin(α+k·2π)=　　　　,cos(α+k·2π)=　　　　, tan(α+k·2π)=　　　　,其中k∈Z.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知sin 5.1°=m,则sin 365.1°=m. (　 )
(2)tan=. (　 )
(3)若cos α=cos β,则α=β. (　 )
◆ 探究点一　求任意角的三角函数值
例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为,则sin αtan α=　　　　.
(2)利用定义求的正弦、余弦和正切值.
变式 (1)若角α的终边在直线y=2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
(2)已知角α的终边过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈,求sin α,cos α,tan α的值.
[素养小结]
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值.
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α=y,cos α=x,tan α=.
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先求r=,再求sin α=,cos α=,tan α=.
(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
◆ 探究点二　判断三角函数值的符号
例2 (1)(多选题)下列选项中,符号为负的是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.sin(-100°) B.cos(-220°)
C.tan 10 D.cos π
(2)[2022·西工大附中高一月考] 若α是第四象限角,则点P在 (　 )
A.第四象限 B.第三象限
C.第三或第四象限 D.第一或第二象限
变式 (1)若sin α·tan α<0,且<0,则角α是 (　 )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)(多选题)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,以x轴的非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值一定为负的是(　 )
A.sin α+cos α B.sin α-cos α
C.sin α·cos α D.
[素养小结]
判断三角函数值在各象限的符号的攻略:
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限;
(2)关键:准确记忆三角函数值在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度,导致象限判断错误.
◆ 探究点三　 求三角函数的定义域
例3 求下列函数的定义域:
(1)y=sin x+tan x;
(2)y=.
[素养小结]
(1)解题时要注意函数本身的隐含条件.
(2)求三角函数的定义域,应熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域,一般用弧度制表示.
◆ 探究点四　公式一的应用
例4 (1)sin 405°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.- B.
C. D.-
(2)cos = (　 )
A.- B.-
C. D.
(3)sin 810°+tan 1125°+cos 420°=　　　　.
(4)a2sin (-1350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos (-1080°)=　　　　.
变式 计算:(1)sin(-1395°)cos 1110°+cos(-1020°)sin 750°;
(2)sincos +tancos.
[素养小结]
利用公式一进行化简求值的步骤:
(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.
(2)转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值:若角α为特殊角,则可直接求出该角的三角函数值(需熟记特殊角的三角函数值).5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
【课前预习】
知识点一
1.(1)y　y=sin α　(2)x　x=cos α
(3)　=tan α(x≠0)
2.R　R　
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.解:如图,设角α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|.易知△OMP∽△OM0P0,∴=,即|y0|=,∵y0与y同号,∴y0=,即sin α=.同理可得cos α=,tan α=.
知识点二
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (4)∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴m<0.
知识点三
相等　sin α　cos α 　tan α
诊断分析
(1)√ 　(2)×　(3)×　[解析] (1)sin 365.1°=sin(360°+5.1°)=sin 5.1°=m.
(2)tan=tan=tan=.
(3)若cos α=cos β,则α=β+2kπ,k∈Z或α=-β+2kπ,k∈Z.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)-　[解析] (1)∵角α的终边与单位圆的交点坐标为,∴+y2=1,即y2=,∴y=或y=-.当y=时,sin α=,tan α=-,则sin αtan α=×(-)=-;当y=-时,sin α=-,tan α=,则sin αtan α=-×=-.综上可得,sin αtan α=-.
(2)解:如图所示,设坐标原点为O,角的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴交x轴于点B.在Rt△OPB中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,∴P,
故sin =,cos =-,tan==-.
变式　解:(1)设O为坐标原点.分两种情况讨论:①当角α的终边在第一象限时,在角α的终边上取一点P(1,2),
则由|OP|==,得sin α==,cos α==,tan α==2;
②当角α的终边在第三象限时,在角α的终边上取一点Q(-1,-2),
则由|OQ|==,得sin α==-,cos α==-,tan α==2.
(2)∵θ∈,∴cos θ<0,
∴|OP|==-5cos θ(O为坐标原点),
∴sin α==-,cos α==,tan α==-.
探究点二
例2　(1)ABD　(2)C　[解析] (1)-100°角是第三象限角,故sin(-100°)<0;-220°角是第二象限角,故cos(-220°)<0;∵10∈,∴10是第三象限角,故tan 10>0;cos π=-1<0.故选ABD.
(2)因为α是第四象限角,所以2kπ-<α<2kπ,k∈Z,则kπ-<0,tan <0,所以点P在第四象限.综上可得,点P在第三或第四象限.故选C.
变式　(1)C　(2)BCD　[解析] (1)由sin α·tan α<0,可知sin α,tan α异号,从而α是第二或第三象限角.由<0 可知cos α,tan α异号,从而α是第三或第四象限角.综上可知,α是第三象限角,故选C.
(2)由题意可得sin α<0,cos α>0,故sin α+cos α的符号不确定, A错误;sin α-cos α<0,B正确;sin α·cos α<0,C正确;<0,D正确.故选BCD.
探究点三
例3　解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义,
所以所以函数y=sin x+tan x的定义域为.
(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan x≠0,所以(k∈Z),
所以函数y= 的定义域为.
探究点四
例4　(1)B　(2)C　(3)　(4)0　[解析] (1)sin 405°=sin(360°+45°)=sin 45°=.故选B.
(2)cos =cos =cos =.故选C.
(3)原式=sin (2×360°+90°)+tan (3×360°+45°)+cos (360°+60°)=sin 90°+tan 45°+cos 60°=1+1+=.
(4)原式=a2sin (-4×360°+90°)+b2tan (360°+45°)-(a-b)2tan (2×360°+45°)-2ab·cos (-3×360°)=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
变式　解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=+=.
(2) 原式=sincos+tan cos=sin cos +tancos=×+1×=.

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