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5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式(一)
【学习目标】
　　1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.
　　2.掌握诱导公式一~四并能运用诱导公式进行求值、化简.
◆ 知识点一　诱导公式二~四
终边关系 图示 公式
公 式 二 角π+α与角α的终边关于　　对称 sin(π+α)=　　　,cos(π+α)=　　　,tan(π+α)=　　　
公 式 三 角-α与角α的终边关于　　轴对称 sin(-α)=　　　,cos(-α)=　　　,tan(-α)=　　　
公 式 四 角π-α与角α的终边关于　　轴对称 sin(π-α)=　　　, cos(π-α)=　　　, tan(π-α)=　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. (　 )
(2)诱导公式中的角α一定是锐角. (　 )
(3)由诱导公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β). (　 )
(4)在△ABC中,sin(A+B)=sin C. (　 )
◆ 知识点二　诱导公式的本质
所谓三角函数的诱导公式,就是将角±α的三角函数转化为角α的三角函数.
◆ 探究点一　给角求值
例1 (1)cos的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.-
C. D.-
(2)cos 225°+tan 240°+sin(-60°)+tan(-60°)的值是 (　 )
A.-- B.-+
C.-- D.-+
(3)sincostan=　　　　　　　　　　　.
[素养小结]
求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为:负角化正角→正角化周内角→周内角化锐角→求值.
◆ 探究点二　给值(式)求值
例2 (1) 已知sin α=,且α为第二象限角,则cos(π-α)= (　 )
A.- B.
C.- D.
(2) 若tan=4,则tan= (　 )
A. B.-
C.4 D.-4
(3)已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)=　　　　.
变式 (1)已知α为第二象限角,且cos α=-,则sin(α+π)=　　　　.
(2)已知sin=,α∈,则cos= 　　　　.
[素养小结]
解决给值(式)求值问题的策略
(1)解决给值(式)求值问题,首先要仔细观察所给条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
◆ 探究点三　三角函数式的化简
例3 化简:.
变式 化简:.
[素养小结]
三角函数式化简的常用方法:
(1)合理转化:①将角化成kπ±α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z;②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数.5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式(一)
【课前预习】
知识点一
原点　-sin α　-cos α　tan α　x　-sin α　cos α
-tan α　y　sin α　-cos α　-tan α
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)A　(3)-　[解析] (1)cos=cos=cos=cos=-cos=-.
(2)cos 225°+tan 240°+sin(-60°)+tan(-60°)=cos(180°+45°)+tan(180°+60°)+sin(-60°)+tan(-60°)=-cos 45°+tan 60°-sin 60°-tan 60°=--,故选A.
(3)sincostan=-sincostan=-sincostan=-.
探究点二
例2　(1)D　(2)D　(3)　[解析] (1)∵sin α=,且α为第二象限角,∴cos α=-=-,∴cos(π-α)=-cos α=,故选D.
(2)因为tan=4,所以tan=tan=-tan=-4.故选D.
(3)因为cos(α-55°)=-<0,且α为第四象限角,所以α-55°是第三象限角,因此sin(α-55°)=-=-.又α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.
变式　(1)-　(2)　[解析] (1)∵α为第二象限角,且cos α=-,∴sin(α+π)=-sin α=-=-.
(2)因为α∈,所以α-∈,所以cos=cos=-cos=-cos== =.
探究点三
例3　解:=
=1.
变式　解:原式====-1.

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