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第2课时　诱导公式(二)
【学习目标】
　　1.在诱导公式二~四的基础上,掌握诱导公式五~六的推导过程.
　　2.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.
◆ 知识点一　特殊角终边对称性
1.角-α的终边与角α的终边关于直线　　　对称,如图5-3-1所示.
图5-3-1
2.角-α的终边与角+α的终边关于直线　　　　对称.
◆ 知识点二　诱导公式
1.公式五
sin=　　　　,cos=　　　　.
2.公式六
sin=　　　　,cos=　　　　.
公式五和公式六可以概括为±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成　　　　时原函数值的符号.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角. (　 )
(2)在△ABC中,sin=cos. (　 )
(3)若α为第二象限角,则sin=cos α. (　 )
(4)若cos 10°=a,则sin 100°=a. (　 )
2.如何由公式四及公式五推导公式六
◆ 探究点一　利用诱导公式化简求值
例1 (1)已知cos θ=-,则sin=　　　　.
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°=　　　　.
(3)化简:sin(π+α)cos+sincos(π+α)= 　　　　.
变式 (1)已知cos=,则sin= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C.- D.-
(2)化简:cos2+cos2=　　　　.
[素养小结]
解决化简求值问题的策略:
(1)仔细观察已知条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系;
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
提醒:常见的互余关系有-α与+α,+α与-α等;
常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等.
◆ 探究点二　利用诱导公式证明
例2 求证:
=-tan α.
变式 求证:=.
[素养小结]
利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活应用,其证明的常用方法有:
(1)从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简.
(2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形,以消除差异.
◆ 探究点三　诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)=.
(1)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
(2)若f(α)-f=,且α∈,求tan α的值.
变式 已知tan(π+α)=2.
(1)若α是第三象限角,求cos α的值;
(2)求的值;
(3)求的值.
[素养小结]
在诱导公式的综合应用中要“三看”.
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称:一般是弦切互化.
三看式子结构:通过分析式子选择合适的方法,如分式中可对分子分母同乘一个式子变形,然后利用平方和差、立方和差公式.第2课时　诱导公式(二)
【课前预习】
知识点一
1.y=x
2.x=0
知识点二
1.cos α　sin α
2.cos α　-sin α　锐角
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)公式五和公式六中的角α可以是任意角.
(2)因为+=,所以由公式五可知sin=cos.
2.解:sin=sin=sin=cos α.
cos=cos=-cos=-sin α.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)- 　(2) 　(3)-1　[解析] (1)sin=cos θ=- .
(2)sin 95°+cos 185°+tan 240°=sin 95°+cos(90°+95°)+tan(180°+60°)=sin 95°-sin 95°+tan 60°=.
(3)sin(π+α)cos+sincos(π+α)=-sin αsin α-cos αcos α=-(sin2α+cos2α)=-1.
变式　(1)C　(2)1　[解析] (1) ∵cos=,∴sin=-sin=-sin=-cos=-cos=-,故选C.
(2) 原式=sin2+cos2=sin2+cos2=1.
探究点二
例2　证明:左边==
=
==-=-tan α=右边,故原等式成立.
变式　证明:左边========右边,所以原等式成立.
探究点三
例3　解:(1)因为f(α)=====sin α,所以f(α)=sin α=-,
又因为α∈(0,2π),所以α=或α=.
(2)由(1)知,f(α)=sin α,所以f(α)-f=sin α-sin=sin α+cos α=,
即sin α=-cos α,所以cos2α+=1,
即(5cos α-4)(10cos α+6)=0,
解得cos α=或cos α=-.
因为α∈,所以cos α<0,所以cos α=-,
则sin α=-cos α=-=,
故tan α==×=-.
变式　解:(1)由tan(π+α)=2,得tan α=2,
则cos2α====,
因为α是第三象限角,所以cos α<0,
所以cos α=-.
(2)=
=-=-=-.
(3)=
=-2sin2αtan α=-4sin2α=-=-=-.

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