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5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
　　1.能根据定义画出正弦函数的图象,并能根据余弦函数与正弦函数的关系画出余弦函数的图象.
　　2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数在一个周期内的简图.
　　3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.
◆ 知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
1.正弦函数、余弦函数的图象
图5-4-1
2.正弦函数y=sin x,x∈R的图象和余弦函数y=cos x,x∈R的图象分别叫作　　　　曲线和　　　　曲线.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正弦函数y=sin x,x∈R的图象在[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上形状相同,只是位置不同. (　 )
(2)正弦函数y=sin x,x∈R的图象介于直线y=1与直线y=-1之间. (　 )
(3)余弦函数y=cos x,x∈R的图象关于x轴对称. (　 )
◆ 知识点二　五点(画图)法
1.正弦曲线在区间[0,2π]上起关键作用的五个点分别为　　　　,,　　　　,,　　　　.
2.余弦曲线在区间[0,2π]上起关键作用的五个点分别为　　　　,,　　　　,,　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用“五点法”画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,点不是关键点. (　 )
(2)函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象最高点的坐标为(0,1)与(2π,1). (　 )
◆ 探究点一　利用“五点法”作图
例1 利用“五点法”作出函数y=sin x-1,x∈[0,2π] 的简图.
变式 利用“五点法”作出函数y=1+cos x,x∈[0,2π]的简图.
[素养小结]
“五点法”作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象时,其步骤如下:
(1)列表:取x=0,,π,,2π.
(2)描点:将表中所对应的点(x,y)标在坐标平面内.
(3)连线:用平滑的曲线将所描的点连接起来.
在连线过程中要注意曲线的“凸性”.
◆ 探究点二　利用平移变换和对称变换作图
例2 利用图象变换作出下列函数的图象:
(1)y=1-cos x,x∈[0,2π];
(2)y=|sin x|,x∈[0,4π].
变式 关于三角函数的图象,有下列说法:
①y=sin|x|与y=|sin x|的图象相同;
②y=sin|x|与y=sin x的图象关于y轴对称;
③y=cos(-x)与y=cos|x|的图象相同;
④y=sin与y=cos x的图象相同.
其中正确说法的序号是　　　　　.
[素养小结]
(1)函数y=f(x+h)的图象可由y=f(x)的图象向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度得到,函数y=f(x)+k的图象可由y=f(x)的图象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度得到.
(2)函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称,y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称,y=f(|x|)的图象关于y轴对称.
◆ 探究点三　正、余弦函数图象的应用
角度一　解有关三角不等式
例3 利用正弦曲线求满足sin x≥的x的取值集合.
变式 函数y=的定义域为　　　　　　　　.
[素养小结]
用三角函数图象解三角不等式的方法:
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)求不等式在区间[0,2π]上的解;
(3)根据公式一写出不等式的解集.
角度二　利用三角函数图象确定方程的根的个数
例4 若函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
变式 若cos x=2m-1(x∈R)有解,则m的取值范围是　　　　. 5.4　三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
【课前预习】
知识点一
2.正弦　余弦
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×
知识点二
1.(0,0)　(π,0)　(2π,0)
2.(0,1)　(π,-1)　(2π,1)
诊断分析
(1)√　(2)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:按五个关键点列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
sin x-1 -1 0 -1 -2 -1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
变式　解:按五个关键点列表:
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
1+cos x 2 1 0 1 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
探究点二
例2　解:(1)首先用“五点法”作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,再作出y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称的图象,即y=-cos x,x∈[0,2π]的图象,将y=-cos x,x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位长度即可得到y=1-cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
(2)首先用“五点法”作出函数y=sin x,x∈[0,4π]的图象,再将该图象在x轴下方的部分翻折到x轴的上方,并且保留x轴上方的部分,即得到y=|sin x|,x∈[0,4π]的图象,如图所示.
变式　③④　[解析] 画出函数y=sin|x|,y=|sin x|,y=sin x的简图(图略),由图知,①②错误.由诱导公式知,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,所以③正确.因为y=sin=cos x,所以④正确.故填③④.
探究点三
例3　解:作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=,如图所示.根据特殊角的正弦值可知,函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=的交点的横坐标为和,由图可知满足条件的x的取值集合为,k∈Z.
变式　,k∈Z　[解析] 要使函数有意义,则需2cos x-≥0,即cos x≥.作出函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象与直线y=,如图所示.根据特殊角的余弦值,可知函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象与直线y=的交点的横坐标为-和,由图可知函数的定义域为,k∈Z.
例4　解:作出函数f(x)=的简图如图所示,由图易知1变式　[0,1]　[解析] 由余弦函数的图象得-1≤cos x≤1,∴-1≤2m-1≤1,解得0≤m≤1,∴m的取值范围是[0,1].

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