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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
【学习目标】
　　1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
　　2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
　　3.掌握y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
◆ 知识点一　正弦函数、余弦函数的周期性
1.周期函数与周期
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个　　　　常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　=f(x) ,那么函数f(x)就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的　　　　,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.
3.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y=sin x是周期函数,　　　　　　　　　　都是它的周期,最小正周期是　　　　.
(2)余弦函数y=cos x是周期函数,　　　　　　　　都是它的周期,最小正周期是　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果T是y=f(x)的一个周期,那么kT(k∈N)也是它的周期. (　 )
(2)所有的周期函数都有最小正周期. (　 )
(3)因为sin(2x+2π)=sin 2x,所以函数y=sin 2x的最小正周期为2π. (　 )
◆ 知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性与
对称性
1.正弦曲线关于　　　　　　对称,正弦函数y=sin x是　　　　函数.
2.余弦曲线关于　　　　对称,余弦函数y=cos x是　　　　函数.
3.正、余弦曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.
函数 y=sin x y=cos x
图象
对称性 对称轴:　　　　　 对称中心:　　　　 对称轴:　　　　　 对称中心:　　　　
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin x,x∈(-π,π]是奇函数. (　 )
(2)函数f(x)=sin 2x是奇函数. (　 )
(3)函数f(x)=sin是偶函数. (　 )
2.已知函数f(x)=cos,则其图象的对称中心的坐标是　　　　　　　　,对称轴方程是　　　　　　　　.
◆ 探究点一　三角函数的周期性
例1 求下列函数的最小正周期,其中x∈R.
(1)f(x)=2sin x;
(2)f(x)=cos 4x;
(3)f(x)=2sin;
(4)f(x)=|sin x|.
变式 (1)下列函数中,最小正周期为的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=sin B.y=sin 2x
C.y=sin D.y=sin 4x
(2)(多选题)下列函数中,是周期函数的为 (　 )
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=sin|x+1| D.y=cos x-1
(3)设f(n)=cos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)= (　 )
A.- B.-
C.0 D.
[素养小结]
求函数周期的方法:
(1)定义法.紧扣周期函数的定义.
(2)公式法.对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω>0)的函数,可利用T=来求函数的最小正周期.
(3)图象法.可画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
◆ 探究点二　三角函数的奇偶性与对称性
例2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=sin 2x;
(2)f(x)=sin;
(3)f(x)=xcos(π+x).
变式 判断下列函数的奇偶性.
(1) f(x)=sin;
(2)f(x)=cos+x2sin x;
(3)f(x)=.
例3 求下列函数的图象的对称轴和对称中心.
(1)f(x)=sin;
(2)f(x)=2cos+1.
变式 (1)函数y=2cos的图象在y轴右侧且距y轴最近的对称轴方程为 (　 )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
(2)[2023·山东历城二中高一月考] 函数y=2sin 3x+1的图象的对称中心为　　　　.
[素养小结]
(1)与三角函数相关的奇偶性问题,往往需要先利用诱导公式化简,再判断函数的奇偶性.
(2)判断函数的奇偶性时要注意:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
◆ 探究点三　三角函数的奇偶性与周期性的
综合应用
例4 (1)函数y=2sin是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为2π的偶函数
(2)若函数f(x)为偶函数且f=-f(x),f=1,则f=　　　　.
变式 (1)已知f(x)是定义在R上,且周期为π的奇函数,当x∈时,f(x)=sin x,则f+f+f= (　 )
A.0 B.1
C. D.1+
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)为偶函数,其中ω>0,0<φ<π,若此函数的最小正周期为π,则cos=　　　　.
[素养小结]
1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.
2.推得函数周期的若干形式:
(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;
(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;
(3)若f(x+t)=(f(x)≠0),则函数周期为2t;
(4)若f(x+t)=-(f(x)≠0),则函数周期为2t.5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
【课前预习】
知识点一
1.非零　f(x+T)　2.正数
3.(1)2kπ(k∈Z且k≠0)　2π　(2)2kπ(k∈Z且k≠0)　2π
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)当k=0时,kT不是y=f(x)的周期.
(2)如f(x)=c(c为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期.
(3)因为sin 2x=sin(2x+2π)=sin[2(x+π)],所以函数y=sin 2x的最小正周期为π.
知识点二
1.原点O　奇　2.y轴　偶
3.x=kπ+(k∈Z)　(kπ,0)(k∈Z)　x=kπ(k∈Z)
(k∈Z)
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)函数y=sin x,x∈(-π,π]不具有奇偶性.
2.,k∈Z　x=2kπ-,k∈Z　[解析] 令+=kπ+,k∈Z,得x=2kπ+,k∈Z,故f(x)图象的对称中心的坐标是,k∈Z.令 +=kπ,k∈Z,得x=2kπ-,k∈Z,故f(x)图象的对称轴方程是x=2kπ-,k∈Z.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)∵f(x+2π)=2sin(x+2π)=2sin x=f(x),
∴由周期函数的定义知,f(x)=2sin x的最小正周期为2π.
(2)方法一:∵f=cos 4=cos(4x+2π)=cos 4x=f(x),
∴由周期函数的定义知,f(x)=cos 4x的最小正周期为.
方法二(公式法):最小正周期T==.
(3)方法一(定义法):令z=x-,
由x∈R得z∈R,且y=2sin z的最小正周期为2π,
即2sin(z+2π)=2sin z,
即2sin=2sin,
故2sin=2sin.
由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为6π.
方法二(公式法):最小正周期T==6π.
(4)方法一(图象法):作出f(x)=|sin x|的部分图象,由图可知f(x)=|sin x|的最小正周期为π.
方法二(定义法):∵f(x+π)=|sin(x+π)|= |-sin x|=|sin x|=f(x),∴由周期函数的定义可知,f(x)=|sin x|的最小正周期为π.
变式　(1)D　(2)BD　(3)B　[解析] (1)函数y=sin 4x的最小正周期T==,故选D.
(2)对于A,y=sin|x|的图象如图所示,由图可知y=sin|x|不是周期函数,故A不符合题意;对于B,y=cos|x|=cos x,因为y=cos x是周期函数,所以y=cos|x|是周期函数,故B符合题意;对于C,y=sin|x+1|的图象是由非周期函数y=sin|x|的图象向左平移1个单位长度得到的,所以y=sin|x+1|不是周期函数,故C不符合题意;对于D,y=cos x-1的图象是由周期函数y=cos x的图象向下平移1个单位长度得到的,所以y=cos x-1是周期函数,故D符合题意.故选BD.
(3)由题知,f(n)=cos的最小正周期T=4,且f(1)=cos=cos=-,f(2)=cos=-cos =-,f(3)=cos=sin=,f(4)=cos=cos=,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=505×0+=-.故选B.
探究点二
例2　解:(1)f(x)=sin 2x的定义域为R,
因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=sin=-cos的定义域为R,
因为f(-x)=-cos=-cos=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(3)f(x)=xcos(π+x)=-xcos x的定义域为R,
因为f(-x)=xcos(-x)=xcos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.
变式　解:(1)f(x)=sin=cosx,f(x)的定义域为R,∵f(-x)=cos=cosx=f(x),∴f(x)为偶函数.
(2)f(x)=cos+x2sin x=sin 2x+x2sin x,f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-(sin 2x+x2sin x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(3)由题知1+sin x≠0,∴函数的定义域为.
∵函数的定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
例3　解:(1)令2x+=+kπ,k∈Z,
解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
(2)令-=kπ,k∈Z,解得x=2kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称轴方程为x=2kπ+,k∈Z.
令-=+kπ,k∈Z,解得x=2kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
变式　(1)C　(2),k∈Z　[解析] (1)由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,则当k=0时,x=,为所求对称轴方程.故选C.
(2)令3x=kπ,k∈Z,可得x=,k∈Z,∴函数y=2sin 3x+1的图象的对称中心为,k∈Z.
探究点三
例4　(1)B　(2) 1　[解析] (1)设f(x)=2sin=2cos 2x,则f(x)的定义域为R,且f(x)的最小正周期T==π,又因为f(-x)=2cos(-2x)=2cos 2x=f(x),所以f(x)是偶函数.故选B.
(2)∵f=-f(x),∴f(x+π)=-f=f(x),即π是函数f(x)的一个周期,∴f=f=f=f=1.
变式　(1)A　(2)-　[解析] (1)因为f(x)是定义在R上,且周期为π的奇函数,所以f=f=f=-f,即f=0.因为当x∈时,f(x)=sin x,所以f=sin=,f=f=f=-f=-,所以f+f+f=+0-=0.故选A.
(2)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π,所以ω==2,可得函数f(x)=2sin(2x+φ),又函数f(x)=2sin(2x+φ)为偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,故cos=cos=-cos=-.

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