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第2课时　单调性、最大值与最小值
【课前预习】
知识点
[-1,1]　[-1,1]　　　[2kπ-π,2kπ]　[2kπ,2kπ+π]　+2kπ
-+2kπ　2kπ　2kπ+π
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　[解析] (2)当x∈时,x+∈,故函数y=sin在区间上单调递增.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)>　(2)<　(3)>　(4)>　[解析] (1)∵函数y=sin x在上单调递减,且<<<π,∴sin>sin.
(2)cos=cos=cos=cos ,cos=cos=cos=cos.∵0<<<π,且y=cos x在[0,π]上单调递减,∴cos(3)cos 870°=cos(720°+150°)=cos 150°,sin 980°=sin(720°+260°)=sin 260°=sin(90°+170°)=cos 170°,∵0°<150°<170°<180°,且y=cos x在[0°,180°]上单调递减,∴cos 150°>cos 170°,即cos 870°>sin 980°.
(4)∵cos=sin,∴0sin.
例2　解:(1)由x+∈(k∈Z),
得x∈(k∈Z),
故函数y=sin的单调递增区间为(k∈Z).
由x+∈(k∈Z),
得x∈(k∈Z),故函数y=sin的单调递减区间为(k∈Z).
(2)函数y=cos=cos.
由2kπ-π≤x-≤2kπ,k∈Z,
解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数y=cos的单调递增区间为,k∈Z.
由2kπ≤x-≤2kπ+π,k∈Z,
解得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,
故函数y=cos的单调递减区间为,k∈Z.
变式　(1),k∈Z　(2),
[解析] (1)由2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数y=cos的单调递增区间为,k∈Z.
(2)y=2+sin=-sin+2,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数y=2+sin,x∈[0,π]的单调递减区间为,.
拓展　∪　[解析] 由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z,∵f(x)在上单调递增,∴解得-+4k≤ω≤+且ω>0,∴0<ω≤或≤ω≤3,∴ω的取值范围是∪.
探究点二
例3　解:(1)令t=x+,∵x∈,∴t∈.
∵函数y=sin t在上单调递增,在上单调递减,
当t=时,y=,当t=时,y=1,
当t=时,y=,∴所求函数的值域为.
(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤cos≤1.
当a>0时,由题意得解得
当a<0时,由题意得解得
故a=2,b=1或a=-2,b=2.
变式　解:因为-≤x≤,所以0≤2x+≤,
所以0≤sin≤1,所以-2≤-2sin≤0,
则1≤3-2sin≤3.
所以当sin=0,即x=-时,函数取得最大值3;当sin=1,即x=时,函数取得最小值1.
例4　(1)C　(2)D　[解析] (1)令t=sin x,则-1≤t≤1,y=t2+t-1=-,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以当t=-时,函数取得最小值-,当t=1时,函数取得最大值1,即函数y=sin2x+sin x-1的值域为,故选C.
(2)令t=sin x,因为|x|≤,所以-≤t≤,则y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x=-t2+t+1=-+,所以当t=-时,y取得最小值.故选D.
变式　2　[解析] f(x)=cos2x-asin x+b=-sin2x-asin x+b+1,令t=sin x(-1≤t≤1),则y=-t2-at+b+1(-1≤t≤1),该函数图象的对称轴方程为t=-.当-≤-1,即a≥2时,解得当-1<-<0,即0此时得到的解均不满足0【学习目标】
　　1.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.
　　2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的单调区间.
　　3.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.
◆ 知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 　　　 　　　
单调性 在每一个闭区间　　　　　　　　(k∈Z)上都单调递增,在每一个闭区间　　　　　　　　(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间　　　　　　(k∈Z)上都单调递增,在每一个闭区间　　　　　　(k∈Z)上都单调递减
最值 x=　　　　　(k∈Z)时,ymax=1; x=　　　　　(k∈Z)时,ymin=-1 x=　　　　(k∈Z)时,ymax=1; x=　　　　(k∈Z)时,ymin=-1
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)余弦函数在[-π,0]上单调递增. (　 )
(2)函数y=sin在区间上单调递增. (　 )
(3) x∈[0,2π],cos x=. (　 )
(4)函数y=1-cos 2x的最大值是 +1,最小值是1-,最小正周期是π. (　 )
(5)函数y=-2sin取得最小值时自变量x的取值集合是. (　 )
◆ 探究点一　三角函数的单调性及应用
角度一　比较三角函数值的大小
例1 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(1)sin　　　　sin;
(2)cos　　　　cos;
(3)cos 870°　　　　sin 980°;
(4)sin　　　　sin.
[素养小结]
利用单调性比较三角函数值大小的步骤:①异名函数化为同名函数;②利用诱导公式把角化到同一单调区间上;③利用函数的单调性比较大小.
角度二　求正弦型函数、余弦型函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间.
(1)y=sin;
(2)y=cos.
变式 (1)函数y=cos的单调递增区间为　　　　　　　　　.
(2)函数y=2+sin,x∈[0,π]的单调递减区间为　　　　　　　　　.
拓展 已知函数f(x)=sin ,其中ω>0,若f(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　　　　　　.
◆ 探究点二　三角函数的值域及最值
角度一　形如y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b(A≠0,ω>0)的最值(值域)问题
例3 (1)求y=sin,x∈的值域.
(2)已知函数f(x)=acos+b(a≠0),当x∈时,f(x)的最大值为3,最小值为0,求a和b的值.
变式 求函数y=3-2sin,-≤x≤的最大值、最小值及相应的x值.
[素养小结]
对于形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)(A≠0,ω>0)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t(或y=cos t)的最值(值域),最后求得原函数的最值(值域).注意当A为负数时的情况.
角度二　形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的最值(值域)问题
例4 (1) 函数y=sin2x+sin x-1的值域为 (　 )
A.[-1,1] B.
C. D.
(2) 若|x|≤,则y=cos2x+sin x的最小值是 (　 )
A. B.-
C.-1 D.
变式 若函数f(x)=cos2x-asin x+b(a>0)的最大值为0,最小值为-4,则2a+b=　　　　.
[素养小结]
对于形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的取值范围需要根据原函数的定义域来确定.

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