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第二章 匀变速直线运动的研究
实验：探究小车速度随时间变化的规律
一、实验原理
1．利用纸带计算瞬时速度：以纸带上某点为中间时刻取一小段位移，用这段位移的平均速度表示这点的瞬时速度．
2．用v－t图像表示小车的运动情况：以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系，用描点法画出小车的v－t图像，图线的倾斜程度表示加速度的大小，如果v－t图像是一条倾斜的直线，说明小车的速度是均匀变化的．
二、实验器材
打点计时器(带导线)、交变电源、纸带、一端带有定滑轮的长铝板、小车、细绳、槽码、刻度尺、复写纸、坐标纸．
三、实验步骤
1．如图所示，把一端带有定滑轮的长铝板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面．铝板上放一个可以左右移动的小车，小车一端连接穿过打点计时器的纸带，另一端连接绕过滑轮系有槽码的细绳．
2．把小车停在靠近打点计时器的位置．先启动打点计时器，后放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一行小点．随后，立即关闭电源．
3．换上新纸带，并增减所挂槽码(或在小车上放置重物)重新操作两次．
四、数据记录
1．采集数据
舍掉纸带开头一些过于密集的点，找一个适当的点作为计时起点．可选择相隔0.1 s(或更短)的若干计数点进行测量．
如图所示，先测量出各个计数点到计时起点的距离：x1、x2、x3、x4、x5…，再计算出相邻的两个计数点间的距离：Δx1＝x1，Δx2＝x2－x1，Δx3＝x3－x2，Δx4＝x4－x3，Δx5＝x5－x4，…，填入自己设计的表中．
2．求各计数点的瞬时速度
(1)各计数点对应的瞬时速度用平均速度来代替，即v1＝，v2＝，…
T为相邻两个计数点间的时间间隔，若交流电源频率为50 Hz，每5个点取一个计数点(中间隔4个点)，则T＝0.1 s.
(2)设计表格并记录相关数据
位置编号 0 1 2 3 4 5 6 …
时刻t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
v1/(m·s－1)
v2/(m·s－1)
v3/(m·s－1)
…
五、数据分析
1．在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点．
2.画一条直线，让这条直线通过尽可能多的点，不在直线上的点均匀分布在直线的两侧，偏差比较大的点忽略不计，如图所示．
3．观察所得到的直线，分析物体的速度随时间的变化规律．
4．根据所画v－t图像求出小车运动的加速度a＝.
六、注意事项
1．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器．
2．先启动打点计时器，等打点稳定后，再放开小车．
3．打点完毕，立即关闭电源．
4．选取一条点迹清晰的纸带，舍掉开头点迹密集部分，选取适当的计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少．
5．不要分段测量各段距离，应尽可能地一次测量完毕(可统一量出各计数点到计时起点之间的距离)．
6．在坐标纸上画v－t图像时，注意坐标轴单位长度的选取，应使图像大致布满坐标纸.
2　匀变速直线运动的速度与时间的关系
一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．匀变速直线运动的特点
(1)加速度a恒定不变；
(2)v－t图像是一条倾斜直线．
3．分类：
(1)匀加速直线运动：a和v同向，速度随时间均匀增加．
(2)匀减速直线运动：a和v反向，速度随时间均匀减小．
4．v－t图像与物体的运动
(1)匀速直线运动的v－t图像是一条平行于时间轴的直线．
(2)匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动．
①v－t图线的斜率的绝对值等于物体的加速度的大小，斜率的正、负表示加速度的方向．
②v－t图线与纵轴的交点的纵坐标表示物体的初速度．
(3)非匀变速直线运动的v－t图像是一条曲线，曲线上某点切线的斜率等于该时刻物体的加速度．
图甲、乙中，速度v随时间t的增加都增大．
甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt′内Δv2′<Δv1′，加速度减小．
二、速度与时间的关系
1．速度与时间的关系式：v＝v0＋at.
2．意义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at.
3．v＝v0＋at的理解
(1)适用条件：公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
(2)公式的矢量性
①公式v＝v0＋at中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应先选取正方向．
②一般以v0的方向为正方向，此时匀加速直线运动a＞0，匀减速直线运动a＜0；对计算结果v＞0，说明v与v0方向相同；v＜0，说明v与v0方向相反．
4．两种特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at.由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比．
(2)当a＝0时，v＝v0.
加速度为零的运动是匀速直线运动，也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例．
两类特殊的匀减速运动：
(1)一种是刹车类的匀减速运动，当车速度减为零时停下来不再运动，故解决刹车类的匀减速运动问题需要判断车停下来的时间；刹车时间：t＝
(2)双向可逆类问题：另一种是刚开始质点做减速运动，速度减为零后又反向做匀加速运动.在处理实际问题时，要注意联系实际进行问题分析.
两类运动 运动特点 求解方法
刹车类 问题 匀减速到速度为零后停止运动,加速度a突然消失 求解时要先确定其实际运动的时间
双向可逆 类问题 匀减速到速度为零后反向运动,如沿光滑斜面上滑的小球,到达最高点后仍以原加速度匀加速下滑,全过程中加速度的大小、方向均不变 求解时可对全过程列方程,但必须注意x、v、a等矢量的正、负
3　匀变速直线运动的位移与时间的关系
一、匀变速直线运动的位移
1．位移公式的推导
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.其v－t图像如图所示．
(1)把匀变速直线运动的v－t图像分成几个小段，如图所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．
(2)把运动过程分为更多的小段，如图3所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
(3)把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
如图所示，v－t图线下面梯形的面积
x＝(v0＋v)t① 又因为v＝v0＋at② 由①②式可得 x＝v0t＋at2.
2．利用v－t图像求位移
v－t图像与时间轴所围的梯形面积表示位移，如图所示，x＝(v0＋v)t.
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，当初速度为0时，x＝at2.
二、速度与位移的关系
1．公式：v2－v＝2ax
2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋at
位移时间关系式x＝v0t＋at2 得v2－v＝2ax.
3．对位移时间关系式x＝v0t＋at2的理解
(1)适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动．
(2)矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．
①匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值．
②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．
(3)两种特殊形式
①当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
②当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式．
4．对速度与位移的关系v2－v＝2ax的理解
(1)适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
(2)矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
①若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
②x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
③v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此思路：
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t4　自由落体运动
一、自由落体运动
1．轻重不同的物体下落快慢的研究：现实生活中人们看到物体下落快慢不同是由于空气阻力的影响，如果没有空气阻力，所有物体下落的快慢都一样．
2．自由落体运动
(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
(2)物体的下落可看作自由落体运动的条件：空气阻力的作用比较小，可以忽略．
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示．
2．方向：竖直向下，但不一定垂直地面．
3．大小
①在同一地点，重力加速度都相同．
②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大；随高度（海拔）的增高而减小。但各处的重力加速度都接近9.8 m/s2，一般计算中g取9.8 m/s2或10 m/s2.
三、自由落体运动的规律
1．自由落体运动的性质：初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例．
2．匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动．
3．自由落体是一种理想化模型，这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．实际上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动．
4．运动图像：自由落体运动的v－t图像(如图)是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g.
5．自由落体运动的规律
(1)自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动规律自由落体运动规律
(1)匀变速直线运动的一切推论公式，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动．
四、自由落体运动的实验探究
1．实验器材
打点计时器、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物、夹子、交流电源、毫米刻度尺．
2．探究过程
(1)按如图所示将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路．
(2)使纸带穿过两个限位孔，下端用夹子夹住连到重物上，让重物靠近打点计时器．
(3)用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，启动计时器，放开纸带让重物自由下落，重物落地后立刻关闭电源，打点计时器就在纸带上打下一系列的点．
(4)改变重物的质量，重复几次上面的实验，选取一条点迹清晰的纸带进行处理．
3．数据处理
(1)用刻度尺测量打点计时器打出的纸带上的点之间的距离．
(2)用vn＝求出各点的速度，作v－t图像，图像应为一条过原点的倾斜直线．
(3)根据v－t图像的斜率求加速度或根据Δx＝aT2计算加速度．
4．实验结论
自由落体运动是初速度为零、加速度恒定(约为9.8 m/s2，与物体的质量无关)的匀加速直线运动．
研究自由落体运动、测定自由落体加速度的其他常用方法
1．频闪照相法
(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置，如图.
(2)根据匀变速直线运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝.也可以根据＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，求出重力加速度g.
2．滴水法
(1)让水滴落到水龙头下的盘子上，可以清晰地听到水滴碰盘子的声音，细心地调整水龙头的阀门，使第一个水滴碰到盘子听到响声的瞬间，第二个水滴恰好从水龙头滴水处开始下落．
(2)听到某个响声时开始计时，并数0，以后每听到一次响声，顺次加1，直到数到N，停止计时，表上时间的读数是T.
(3)用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h.
(4)由h＝gt2和t＝得g＝＝＝.
实验：研究匀变速直线运动的规律
一、实验原理
1．利用纸带判断物体是否做匀变速直线运动的方法
沿直线运动的物体在连续相等时间间隔T内的位移分别为x1、x2、x3、x4…xn(如图所示)，若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝aT2.
2．测定匀变速直线运动加速度的方法
(1)图像法
①先根据“平均速度”法求出各计数点的速度vn＝.
②作v－t图像，求出图像的斜率即物体的加速度．
(2)利用位移差公式
①xn＋1－xn＝aT2得a＝，其中T为两计数点之间的时间间隔．
②逐差法
a1＝，a2＝，a3＝，a＝＝.若纸带上选出多个计数点，可用逐差法求加速度．
二、实验器材(以小车的匀变速直线运动为例)
打点计时器、交变电源、纸带、一端附有定滑轮的长铝板、小车、细绳、槽码、复写纸、坐标纸、刻度尺、细铅笔．
三、注意事项
1．开始释放小车时，应使小车靠近打点计时器．
2．先启动打点计时器，打点计时器正常工作后，再放开小车，当小车停止运动时要及时断开电源．
3．要区别计时器打出的点与人为选取的计数点，一般在纸带上每隔四个点取一个计数点，即交变电源频率为50 Hz时，时间间隔为T＝0.02×5 s＝0.1 s.
4．描点时最好用坐标纸，在纵、横坐标轴上选取合适的单位，用细铅笔认真描点．
四、误差和有效数字
1．误差：测量值跟被测物理量的真实值之间的差异叫作误差．误差按产生原因可分为偶然误差和系统误差．
(1)偶然误差
①产生原因：由偶然因素造成的．
②特点：当多次重复测量时，偏大和偏小的机会比较接近．
③减小偶然误差的方法：取平均值．
(2)系统误差
①产生原因：由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的．
②特点：多次重复测量的结果总是大于(或小于)被测量的真实值．
③减小系统误差的方法：校准测量仪器，改进实验方法，完善实验原理．
2．绝对误差和相对误差
(1)绝对误差：测量值和真实值之差．
(2)相对误差：绝对误差与测量值之比．
3．有效数字
(1)定义：带有一位不可靠数字的近似数字叫作有效数字．
(2)运算结果一般取两位或三位有效数字．
专题强化　竖直上抛运动　追及和相遇问题
一、竖直上抛运动
1．竖直上抛运动
将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动．
2．竖直上抛运动的性质
(1)上升阶段：初速度v0向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速运动．
(2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动．
(3)全过程可以看作是初速度为v0(竖直向上)、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动．
3．竖直上抛运动的规律
通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g.
(1)速度公式：v＝v0－gt.
(2)位移公式：h＝v0t－gt2.
(3)位移和速度的关系式：v2－v＝－2gh.
(4)上升的最大高度：H＝.
(5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间：t＝.
4．竖直上抛运动的对称性
时间对称 ①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回抛出点所用时间相等,即t上＝t下= ②物体在上升过程中某两点之间所用的时间与下降过程中该两点之间所用的时间相等
速度对称 ①物体上抛时的初速度与物体落回抛出点时的速度大小相等、方向相反 ②物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反
能量对称 竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能分别相等
5．研究方法
分段法 ①上升过程：v0≠0、a＝g的匀减速直线运动． ②下降过程：自由落体运动．
全程法 ①整个过程：初速度v0向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h＝v0t－gt2. ②正负号的含义(取竖直向上为正方向) a．v＞0表示物体上升，v＜0表示物体下降． b．h＞0表示物体在抛出点上方，h＜0表示物体在抛出点下方．
二、追及、相遇问题
1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．
2．追及相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B(两物体做匀速或匀变速运动)，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB.
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB.
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB.
3．解题思路和方法

4.追及、相遇问题常见情境(1)速度小者追速度大者
追及类型 图像描述 相关结论
匀加速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离,则应有以下结论: ①t=t0以前,后面物体与前面物体间的距离增大 ②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx ③t=t0以后,后面物体与前面物体间的距离减小 ④一定能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速
匀加速追 匀减速
(2)速度大者追速度小者
追及类型 图像描述 相关结论
匀减速 追匀速 设x0为开始时两物体间的距离,开始追时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻: ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0,则相遇两次,设t1时刻两物体第一次相遇,则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇
　　专题强化　匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式
v－t图像的综合应用
一、匀变速直线运动的平均速度公式
1．公式的推导
由图知t时间内的位移x＝t 所以＝ 又因v＝v0＋at 所以＝v0＋a· 即＝
故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．
2.＝与＝及＝的比较
＝适用于任何形式的运动；＝和＝只适用于匀变速直线运动．
3．注意在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度与中间位置的瞬时速度是不同的，＝，＝.
4．可以证明：不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞.
二、位移差公式Δx＝aT2
匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内，位移差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2.
(1)推导：在时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①
在时间2T内的位移x2＝v0·2T＋a·(2T)2②
则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③
由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2.
(2)应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
②求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝.
三、v－t图像的综合应用
1．利用v－t图像求位移
v－t图线与时间轴所围成的“面积”表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．
2．x－t图像与v－t图像的比较
v－t图像 x－t图像
图线斜率 表示加速度 表示速度
图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义
两图线交点坐标 表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点 表示相遇
3．四类图像
(1)a t图像：由v＝v0＋at可知图像与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图所示．
(2) t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，如图乙所示．
(3)v2 x图像：由v2－v＝2ax可知v2＝v＋2ax，图像斜率为2a.
(4)x v图像：x与v的关系式：2ax＝v2－v，图像表达式：x＝ v2－ v.
专题强化　匀变速直线运动规律的应用
一、匀变速直线运动公式的比较
1．匀变速直线运动公式的比较
一般形式 特殊形式(v0＝0) 不涉及的物理量
速度公式 v＝v0＋at v＝at x
位移公式 x＝v0t＋at2 x＝at2 v
位移、速度关系式 v2－v＝2ax v2＝2ax t
平均速度求位移公式 x＝t x＝t a
位移差公式 x2－x1＝aT2 v0、v
2.解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法
(1)如果题目已知条件中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目已知条件中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题目已知条件中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v＝2ax.
(4)如果题目中给出两段连续相等时间的位移，则一般选用位移差公式x2－x1＝aT2求加速度，此公式在利用纸带求加速度的实验中得到充分应用．
3．逆向思维法的应用
匀减速直线运动倒过去可看成匀加速直线运动．特别是对于末速度为零的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为v＝at，x＝at2，计算更为简洁．
二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
3．解决匀变速直线运动的六种方法
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