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2023浙江中考压轴题汇编（一）
一、选择题
1.如图，已知内接于半径为1的，是锐角，则的面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
2.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，，连接设，，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，，则( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边点A，B，C，D，O在同一平面内，已知，，，则点A到OC的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设，，的面积分别为S，，，若要求出的值，只需知道( )
A. 的面积
B. 的面积
C. 的面积
D. 矩形BCDE的面积
5.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A. 正方形纸片的面积 B. 四边形EFGH的面积 C. 的面积 D. 的面积
6.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片EFGH的面积为，FH与GE相交于点当，，，的面积相等时，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( )
A. 的周长
B. 的周长
C. 四边形FBGH的周长
D. 四边形ADEC的周长
8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
9.如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作于点M，于点J，于点K，交CF于点若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，，则CH的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形若，，则的值为( )
A. B. C. D.
11.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边DE，BH于点P，若，，则CR的长为( )
A. 14
B. 15
C.
D.
13.已知点，在直线为常数，上，若ab的最大值为9，则c的值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
14.已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
15.如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE长为( )
A.
B.
C.
D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共22.0分）
16.如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，若，则______.
17.在直角三角形ABC中，若，则______.
18.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，与关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点.若，，则BN的长为__________，的值为__________.
19.图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形如图，则图1中所标注的d的值为__________；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点，，以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为__________ .
20.如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，已知，，则的度数为______，折痕CD的长为______.
三、解答题（本大题共2小题，共22.0分）
21.在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上不与点A重合，点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形
如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．
如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点
①求证：；
②设，和四边形AEHI的面积分别为，求证：
22.如图，C，D为上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，
求证：
点C关于DG的对称点为F，连结当点F落在直径AB上时，，，求的半径．
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2023浙江中考压轴题汇编（1）
一、选择题（本大题共15小题，共54.0分）
1.如图，已知内接于半径为1的，是锐角，则的面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：当的高AD经过圆的圆心时，此时的面积最大，
如图所示，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
故选：
要使的面积的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
2.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，，连接设，，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，，则( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】解：设，，则，，
，，，
，
，
，
，，
：：：3，
：：n，
故选：
设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得；：3，进而可求解n的值．
本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得，是解题的关键．
3.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边点A，B，C，D，O在同一平面内，已知，，，则点A到OC的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用-坡度角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【解答】
解：作于点E，作于点F，
四边形ABCD是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
故选
4.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设，，的面积分别为S，，，若要求出的值，只需知道( )
A. 的面积
B. 的面积
C. 的面积
D. 矩形BCDE的面积
【答案】C
【解析】解：作于点G，交BC于点F，
四边形BCDE是矩形，
，，，，
四边形BFGE是矩形，，
，，
，
只需知道，就可求出的值，
故选：
作于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，，可推导出，所以只需知道，就可求出的值，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5.将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )
A. 正方形纸片的面积 B. 四边形EFGH的面积 C. 的面积 D. 的面积
【答案】C
【解析】解：设，，则，
矩形纸片和正方形纸片的周长相等，
，
，
图中阴影部分的面积
，
A、正方形纸片的面积，故A不符合题意；
B、四边形EFGH的面积，故B不符合题意；
C、的面积，故C符合题意；
D、的面积，故D不符合题意；
故选：
根据题意设设，，则，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．
本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积和正方形的性质，解题的关键是根据用字母表示各图形的线段长和面积．
6.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片EFGH的面积为，FH与GE相交于点当，，，的面积相等时，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
如图，连接DG，AH，过点O作于证明，，可得结论．
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明，
【解答】
解：如图，连接DG，AH，过点O作于
四边形EFGH是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
同法可证，
，
，
，，，
，
，
，
故选：
7.和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( )
A. 的周长
B. 的周长
C. 四边形FBGH的周长
D. 四边形ADEC的周长
【答案】A
【解析】解：为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
≌，
和是两个全等的等边三角形，
，
五边形DECHF的周长，
，
只需知道的周长即可．
故选：
证明≌，得出由题意可知，则得出五边形DECHF的周长，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可.
【解答】
解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，，
阴影部分的面积，
较小两个正方形重叠部分的宽，长，
则较小两个正方形重叠部分的面积，
图中阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠部分的面积.
故选：
9.如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作于点M，于点J，于点K，交CF于点若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，，则CH的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：设CF交AB于P，过C作于N，如图：
设正方形JKLM边长为m，
正方形JKLM面积为，
正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，
正方形ABGF的面积为，
，
由已知可得：，，，
≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得或舍去，
，，
，
，
，
，，
，即P为AB中点，
，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
和是等腰直角三角形，
∽，
，
，
，
，
故选：
设CF交AB于P，过C作于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得，证明≌，可得，设，在中，，可解得，有，，从而可得，，，即知P为AB中点，，由∽，得，，即得，而，又∽，得，即，故
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
10.图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形若，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
在中，
，
，
在中，
，
故选：
在中，，可得OB的长度，在中，根据勾股定理得，代入即可得出答案．
本题主要考查了正弦的定义和勾股定理，熟练掌握正弦的定义和勾股定理进行计算是解决本题的关键．
11.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：如图，过点G作交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于设，则，
，
四边形ENFM是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
故选：
如图，过点G作交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于设，则，想办法求出BH，CG，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12.如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点C作于点R，再过点C作分别交边DE，BH于点P，若，，则CR的长为( )
A. 14
B. 15
C.
D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质和勾股定理等知识.
如图，连接EC，设AB交CR于证明∽，推出，由，可得，，由EC：：2，推出AC：：2，设，，证明四边形ABQC是平行四边形，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接EC，设AB交CR于
四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
，
，，
，
，C，H共线，A，C，I共线，
，
，
，
∽，
，
，
，，
：：2，
：：2，设，，
，，
，
，，
四边形ABQC是平行四边形，
，
，
，
负根已经舍弃，
，，
，
，
，
，
故选
13.已知点，在直线为常数，上，若ab的最大值为9，则c的值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】解：点，在直线上，
，
由①可得：，
的最大值为9，
，，
解得，
把代入②得：，
，
故选：
由点，在直线上，可得，即得，根据ab的最大值为9，得，即可求出
本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
14.已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：点在直线上，
，
又，
，
解得，
当时，得，
，
，
，
故选：
结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点在直线上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式中，可判断出a与b正负，即可得出结论．
本题主要考查一次函数上点的坐标特征，不等式的基本性质等，判断出a与b的正负是解题关键．
15.如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE长为( )
A.
B.
C.
D. 4
【答案】A
【解析】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，
四边形GMNP是矩形，
，，
，，
，
又点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
和FN分别是和的中位线，
，，
，，
，
，，
设，
，，
在中，，
在中，，
，
，
解得，即，
在中，
故选
分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
本题主要考查三角形的中位线定理，以及矩形的判定与性质.
二、填空题（本大题共5小题，共22.0分）
16.如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，若，则______.
【答案】
【解析】解：是的直径，BC与相切于点B，
，
，
，
设，，
，
，
，
故答案为：
根据切线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
17.在直角三角形ABC中，若，则______.
【答案】或
【解析】解：若，设，则，所以，所以；
若，设，则，所以，所以；
综上所述，的值为或
故答案为或
若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值；若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
18.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，与关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点.若，，则BN的长为__________，的值为__________.
【答案】2 ；

【解析】【分析】
连接BF，FM，由翻折及可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得先证明≌得，再证明∽可得，进而求解．
本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．
【解答】
解：，
，
，
，
又，
，
，
为CD中点，
连接BF，FM，
由翻折可得，，
，
，
，
，
四边形BEFM为平行四边形，
，
四边形BEFM为菱形，
，，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
设，
则，，
，
∽，
，
即，
解得舍或，
，
故答案为：2；
19.图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形如图，则图1中所标注的d的值为__________；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点，，以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为__________ .
【答案】

【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，圆等知识，解题的关键是读懂图象信息，推出，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
连接FW，由题意可知点，O，在线段FW上，连接，，过点O作于证明，解直角三角形求出JK，OH，，再求出，可得结论．
【解答】
解：如图，连接FW，由题意可知点，O，在线段FW上，连接，，过点O作于
大正方形的面积，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为
故答案为；
20.如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，已知，，则的度数为______，折痕CD的长为______.
【答案】
【解析】解：如图，设翻折后的弧的圆心为，连接，，，，交CD于点H，
，，，
将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，
，
，
，
则的度数为；
，
，
，，
，
，
，
故答案为：，
设翻折后的弧的圆心为，连接，，，，交CD于点H，可得，，，根据切线的性质开证明，则可得的度数；然后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（本大题共2小题，共22.0分）
21.在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上不与点A重合，点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形
如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．
如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点
①求证：；
②设，和四边形AEHI的面积分别为，求证：
【答案】解：如图1，
点M是边AB的中点，若，当点E与点M重合，
，
，
，
在中，，
正方形EFGH的面积；
如图2，
①证明：
四边形ABCD是正方形，
，
，
四边形EFGH是正方形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
②证明：四边形ABCD是正方形，
，
，
四边形EFGH是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
，

【解析】由点M是边AB的中点，若，当点E与点M重合，得出，由，得出，由勾股定理得出，即可求出正方形EFGH的面积；
①由“一线三直角”证明∽，得出，由，得出，进而证明；
②先证明≌，得出，再证明∽，得出，由正弦的定义得出，进而得出，得出，即可证明
本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
22.如图，C，D为上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，
求证：
点C关于DG的对称点为F，连结当点F落在直径AB上时，，，求的半径．
【答案】解：，
，
为的直径，
，
；
如图，连接DF，
，AB是的直径，
，，
，
点C，F关于DG对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为
【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
根据圆周角定理和AB为的直径，即可证明；
连接DF，根据垂径定理可得，再根据对称性可得，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出的半径．
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